2024-2025学年新疆阿克苏地区普通高中联考高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年新疆阿克苏地区普通高中联考高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用数字1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位偶数的个数是( )
A. 120B. 60C. 50D. 48
2.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )
A. 在(1,2)上f(x)是减函数B. 在(3,5)上f(x)是增函数
C. 在x=1处取得极大值D. 在x=−1处取得极小值
3.函数f(x)=x−lnx的单调递减区间为( )
A. (0,1)B. (1,+∞)C. (0,+∞)D. (0,1)，(0,+∞)
4.我国商用中大型无人机产业已进入发展快车道，某无人机生产公司2022年投入研发费用4亿元，计划此后每年研发费用比上一年都增加2亿元，则该公司一年的研发费用首次达到20亿元是在( )
A. 2029年B. 2030年C. 2031年D. 2032年
5.某旅行社共有5名专业导游，其中3人会英语，3人会日语，若在同一天要接待3个不同的外国旅游团，其中有2个旅游团要安排会英语的导游，1个旅游团要安排会日语的导游，则不同的安排方法种数有( )
A. 12B. 13C. 14D. 15
6.若a=ln44，b=1e，c=ln33，则以下不等式正确的是( )
A. c>b>aB. a>b>cC. b>a>cD. b>c>a
7.在新高考改革中，学生可先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科参加高考，现有甲、乙两名学生若按以上选科方法，选三门学科参加高考，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有( )
A. 24B. 30C. 48D. 60
8.过点(1,0)可以做三条直线与曲线y=xex−a相切，则实数a的取值范围是( )
A. (−5e2,0)B. (−5e2,e)C. (−5e,e)D. (−1e,0)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 已知函数f(x)在R上可导，若f′(1)=2，则Δx→0limf(1+2Δx)−f(1)Δx=4
B. 已知函数f(x)=ln(2x+1)，若f′(x0)=1，则x0=12
C. (csxx)′=xsinx+csxx2
D. 设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=x2+3xf′(2)+lnx，则f′(2)=−94
10.记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n(n∈N∗)，则( )
A. a3=6
B. 数列{Snan}是公差为1的等差数列
C. 数列{1Sn}的前n项和为nn+1
D. 数列{(−1)nan}的前2025项的和为−2026
11.现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是( )
A. 若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法
B. 若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有40种
C. 若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有2160种
D. 若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有384种
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列{an}中，a3，a15是方程x2−6x−1=0的两根，则a9=______．
13.在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有______种.(用数字作答)
14.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB、直角边AC，△ABC的三边所围成的区域．若BC=10，过点A作AD⊥BC于D，当△ABD面积最大时，黑色区域的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算：
(1)3C83−2C52+C88；
(2)A103A7710!．
16.(本小题15分)
某种产品的加工需要经过5道工序．
(1)如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
(2)如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？
(3)如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？
17.(本小题15分)
设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，已知a1=b1=3，b2=a3，b3=4a2+3．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若cn=1anan+1+an−n+1bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=12x2−mlnx+(m−1)x，m∈R．
(1)当m=2时，求函数f(x)的最小值；
(2)当m≤0时，讨论函数f(x)的单调性；
(3)求证：当m=−2时，对任意的x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，有f(x2)−f(x1)x2−x1>−1．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)在区间D上单调递增，则称f(x)为区间D上的凹函数；若f′(x)在区间D上单调递减，则称f(x)为区间D上的凸函数.已知函数f(x)=xex+λln(x+1)．
(1)若f(x)在[2,3]上为凹函数，求实数λ的取值范围；
(2)已知F(x)=f(x−1)，且F(x)在(1,+∞)上存在零点，求实数λ的取值范围．
参考答案
1.D
2.D
3.A
4.B
5.C
6.D
7.D
8.B
9.ABD
10.ACD
11.BC
12.3
13.240
14.25 32
15.(1)3C83−2C52+C88=3×8×7×63×2×1−2×5×42×1+1=149；
(2)A103A7710!=10×9×8×7!10!=1．
16.解：某种产品的加工需要经过5道工序，
(1)先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，有A32=6种不同的排法，
再将剩余的3道工序全排列，有A33=6种不同的排法，
故由分步乘法原理可得，共有6×6=36种加工顺序；
(2)先排这2道工序，有A22=2种不同的排法，再将它们看作一个整体，
与剩余的工序全排列，有A44=24种不同的排法，
故由分步乘法原理可得，共有2×24=48种加工顺序；
(3)先排其余的3道工序，有A33=6种不同的排法，出现4个空位，再将这2道工序插空，
有A42=12种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有6×12=72种加工顺序．
17.(1)因为{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，
a1=b1=3，b2=a3，b3=4a2+3，
则3q=3+2d3q2=15+4d，解得d=3q=3或d=−3q=−1(舍去)，
故an=3+3(n−1)=3n，bn=3×3n−1=3n；
(2)cn=1anan+1+an−n+1bn=13n(3n+3)+2n+13n=19n(n+1)+2n+13n，
设{19n(n+1)}前n项和为An，∵19n(n+1)=19(1n−1n+1)，
∴An=19[(1−12)+(12−13)+…+(1n−1n+1)]=19(1−1n+1)=n9(n+1)，
设{(2n+1)⋅(13)n}的前n项和为Bn，
所以Bn=3×13+5×(13)2+7×(13)3+⋯+(2n+1)⋅(13)n，
13Bn=3×(13)2+5×(13)3+7×(13)4+⋯+(2n−1)⋅(13)n+(2n+1)⋅(13)n+1，
两式相减可得：
23Bn=3×13+2×(13)2+2×(13)3+2×(13)4+⋯+2×(13)n−(2n+1)⋅(13)n+1
=1+2×[(13)2+(13)3+(13)4+⋯+(13)n]−(2n+1)⋅(13)n+1
=1+2×(13)2[1−(13)n−1]1−13−(2n+1)⋅(13)n+1
=1+13×[1−(13)n−1]−(2n+1)⋅(13)n+1=43−(13)n×(2n+43)，
所以Bn=2−(n+2)⋅(13)n，
∴Sn=An+Bn=n9(n+1)+2−(n+2)⋅(13)n．
18.(1)显然函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
当m=2时,f′(x)=x2+x−2x=(x−1)(x+2)x．
∴当x∈(0,1)时，f′(x)0．
∴f(x)在x=1时取得最小值，其最小值为 f(1)=32．
(2)∵f′(x)=x−mx+(m−1)=x2+(m−1)x−mx=(x−1)(x+m)x
∴①当−10，f(x)为增函数；
x∈(1,−m)时，f′(x)0，f(x)为增函数．
证明：(3)不妨设0f(x1)+x1
当m=−2时，函数f(x)=12x2+2lnx−3x．
考查函数ℎ(x)=f(x)+x=12x2+2lnx−2x
∵ℎ′(x)=x+2x−2=x2−2x+2x=(x−1)2+1x>0
∴ℎ(x)在(0,+∞)上是增函数，
对任意0f(x1)+x1，
∴f(x2)−f(x1)x2−x1>−1
命题得证
19.解：(1)f′(x)=1−xex+λx+1=m(x)，
则m′(x)=x−2ex−λ(x+1)2，
依题意知，m′(x)≥0对任意的x∈[2,3]恒成立，则(x+1)2(x−2)ex≥λ恒成立，
令n(x)=(x+1)2(x−2)ex=x3−3x−2ex，x∈[2,3]，
则n′(x)=1ex(−x3+3x2+3x−1)=x+1ex(−x2+4x−1)>0，
故n(x)在[2,3]上单调递增，故n(2)=0≥λ，
则实数λ的取值范围为(−∞,0]；
(2)依题意得，F(x)=f(x−1)=x−1ex−1+λlnx，
若λ≥0，当x>1时，x−1ex−1>0，lnx>0，
所以F(x)>0，F(x)在(1,+∞)上无零点，舍去；
若λ