广西部分名校2024-2025学年高二上学期10月联合检测数学试卷（解析版）

这是一份广西部分名校2024-2025学年高二上学期10月联合检测数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列直线的倾斜角最大的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A，B，C，D四个选项中直线的斜率分别为，
其中，，且，
所以当时，直线的倾斜角最大.
故选：D.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】因为，，且，
所以，即，所以，解得， 即．
故选：A.
3. 已知圆关于直线对称，则圆的半径为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】A
【解析】由，可得圆的圆心为.
因为圆关于直线对称，
所以由圆的对称性可知，圆心在直线上，
则，解得，
故圆，可化为，
所以圆的半径为.
故选：A.
4. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由已知可得，，
所以向量在向量上的投影向量是，
故选：D.
5. 已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）
A. 6B. C. D. 3
【答案】B
【解析】，圆的半径为，
所以，
故选：B.
6. 设点，斜率为的直线过点且与线段相交，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图，直线的斜率，
直线的斜率，
所以当直线与线段相交时，
的斜率的取值范围是.
故选：D.
7. 已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设，因为，所以，
又在圆：上，
故，即的方程为．
故选：C.
8. 如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
，当且仅当与重合时，等号成立，
故的最小值为12.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，且直线不经过第二象限，则，
B. 方程（）表示的直线都经过点
C. ，直线不可能与轴垂直
D. 直线的横、纵截距相等
【答案】BD
【解析】对于A，因为，所以可化为，
若直线不经过第二象限，则即，，故A错误；
对于B，直线方程可整理为，
由得
所以直线恒过定点2,1，故B正确；
对于C，当时，直线方程为，此时与轴垂直，故错误；
对于D，直线的横、纵截距均为，故正确．
故选：BD．
10. 已知圆，圆，且圆与圆相交于，两点，则（ ）
A. 过点且被圆截得的弦长最短的直线方程为
B. 直线的方程为
C.
D. 以线段为直径的圆的方程为
【答案】BCD
【解析】圆，圆，
所以圆心为，半径为，圆心为，半径为，
点A0,-1在圆内，当弦与垂直时，所截得的弦最短，此时的直线方程为，A错误；
圆和圆的方程相减可得，所以直线的方程为，B正确；
点到直线：的距离为，故，C正确；直线的斜率直线的方程为，即，
与直线的方程为联立可得的中点为，即圆心为原点半径为，所以以线段为直径的圆的方程为，D正确.
故选：BCD.
11. 已知正方体的棱长为1，点满足（，），下列说法正确的是（ ）
A. 若，则与垂直
B. 三棱锥的体积恒为
C. 若，，平面与平面夹角的余弦值为
D. 若，，则点到平面距离为
【答案】ACD
【解析】A．若，则点在上且不与重合，建立如下空间直角坐标系：
，，
，，，，故A正确．
B．由（，），可知点在平面上，
则点到平面的距离恒为1，故三棱锥的体积恒为，故B错误．
C．若，，则为的中点，
由上图，则，，，．
设平面的法向量为，，，
，则令，则，
易知是平面的一个法向量，，故C正确．
D．设点到平面的距离为，则，
即点到平面的距离为，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在四面体中，空间的一点满足．若，，，四点共面，则______．
【答案】3
【解析】由题意知，，
根据四点共面充要条件可得，解得．
13. 点关于直线的对称点坐标为__________.
【答案】
【解析】设点关于直线的对称点为，
由直线的斜率为，可得，解得，
所以点关于直线的对称点坐标为.
14. 已知直线与圆相交于两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率为，则______.
【答案】
【解析】由，可化为，则圆心，
设圆的半径为且，则，
当时，的最大值为，
不妨取直线的方程为，因为，
所以点到直线的距离为，所以，解得，
又由，可得，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的顶点坐标是为的中点.
（1）求中线的方程；
（2）求经过点且与直线平行的直线方程.
解：（1）因为，所以，
故的方程是，即；
（2）因为直线的斜率，
所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.
16. 如图，在四棱柱中，，，，，是线段上的点，且．
（1）求的长；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
解：（1）因为，即，
所以，
．
（2），
，
，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
17. 已知直线过点且与圆相切.
（1）求直线的方程；
（2）若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程.
解：（1）可化为，即圆心为，半径为
将点的坐标代入圆的方程，成立，则点在圆上，
点与点连线的斜率为，
所以直线的斜率为1，
故直线的方程为，即.
（2）设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，因此该圆的半径为，
所以该圆的方程是.
因为该圆被直线截得的弦长为，
所以该圆圆心到直线的距离，
由，解得.
故圆的标准方程为或.
18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，．
（1）证明：平面．
（2）若，求点到平面的距离．
（3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
（1）证明；因为平面平面，平面平面，，
所以平面，
又平面，所以．
因为，且，平面，
所以平面．
（2）解：在中，，．
以为原点，，的方向分别为轴，轴的正方向，
过点作垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
得，，．
设为平面的一个法向量，
则取，得，
所以点到平面的距离．
（3）解：取为的中点，连接，过点作，垂足为，连接．
易知平面，平面BCD，所以，则．
设，则，，
因为，平面平面，平面平面，
所以平面，所以为直线与平面所成的角，
故，当且仅当时，取得最大值，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
19. 已知为坐标原点，圆：，直线：（），如图，直线与圆相交于（在轴的上方），两点，圆与轴交于两点（在的左侧），将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴正半轴，原轴正半轴所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）若．
（ⅰ）求三棱锥的体积；
（ⅱ）求二面角的余弦值．
（2）是否存在，使得折叠后的长度与折叠前的长度之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）（ⅰ）若，折叠前直线的方程为，
联立，解得或，
可得，，
圆：，与轴交于两点，则，
折叠后三棱锥的体积为．
（ⅱ）由（ⅰ）及已知，则，，，，
，．
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，所以．
易知为平面一个法向量，
设二面角的大小为，由题可知为锐角，
所以
故二面角的余弦值为．
（2）设折叠前，，圆心到直线的距离，
则，
直线与圆方程联立得，
即，．设，在新图形中的对应点分别为，
，，
．
若折叠后的长度与折叠前的长度之比为，则，解得，
故当时，折叠后的长度与折叠前的长度之比为．