广东省珠海市金砖四校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份广东省珠海市金砖四校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设斜率为，倾斜角为，
∵，∴，．
故选：D．
2. 样本数据45，50，51，53，53，57，60的下四分位数为（ ）
A. 50B. 53C. 57D. 45
【答案】A
【解析】由这组数据共7个，则，
所以这组数据的下四分位数为第2个数据50.
故选：A．
3. 对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确；
B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确；
D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确.
故选：B
4. 已知组数据，，…，的平均数为2,方差为5,则数据2+1，2+1，…，2+1的平均数与方差分别为（ ）
A. =4,=10B. =5,=11
C. =5,=20D. =5,=21
【答案】C
【解析】根据题意，数据，，，的平均数为2，方差为5，
则数据，，，的平均数，
其方差；
故选．
5. 从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人的基本事件有：
（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），（乙、丙），（乙、丁），（乙、戊），（丙、丁），（丙、戊），（丁、戊），共10种，
甲被选中的基本事件有：（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），共4种，
所以甲被选中的概率为，
故选：B.
6. 已知向量，，，若，，共面，则（ ）
A. 4B. 2C. 3D. 1
【答案】D
【解析】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得，
即，即，解得.
故选：D
7. 已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为空间向量，，
所以
则在上的投影向量坐标是：
故选：B
8. 已知直线经过定点，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题设有，
而直线与连接两点的线段总有公共点，故或，
故选：C.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）
A. 平均数为3B. 标准差为
C. 众数为2D. 85%分位数为5
【答案】AD
【解析】由平均数的计算公式，可得，
所以A正确；
由方程的公式，
可得，
所以标准差为，所以B错误；
由众数的定义，可得数据的众数为2和3，所以C错误；
将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，可得，
所以第85百分位数为5，所以D正确.
故选：AD.
10. 有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ）
A. B. 与相互独立
C. 与相互独立D. 与相互独立
【答案】ACD
【解析】对A：，故A正确；
对B：，，
则，故与不相互独立，故B错误；
对C：，，
则，故与相互独立，故C正确；
对D：，
则，故与相互独立，故D正确；
故选：ACD.
11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【解析】在选项A中，∵，，，
且平面，
∴平面，平面
∴，
同理，，
∵，且平面，
∴直线平面，故A正确；
在选项B中，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵点在线段上运动，
∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，
∴三棱锥的体积为定值，故B正确；
在选项C中，
∵，
∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.
易知为等边三角形，
当为的中点时，；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为.
故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
在选项D中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为1，则，，，，所以，.
由A选项正确：可知是平面的一个法向量，
∴直线与平面所成角的正弦值为：，
∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在空间直角坐标系为坐标原点）中，点关于轴的对称点为点，则点的坐标为____________.
【答案】
【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为.
13. 某校学生志愿者协会共有200名成员，其中高一学生100名，高二学生60名，高三学生40名.为了解志愿者的服务意愿，需要用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则高三学生应抽取_________名.
【答案】10
【解析】根据分层抽样定义及性质,设高三学生应抽取名，，.
14. 如图，电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为，，则该电路正常工作的概率______.

【答案】0.672
【解析】由题意，电路能正常工作的条件是：
必须正常工作，，至少有一个正常工作，
所以电路能正常工作的概率为，
故答案为：.
四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
解：（1）
，
若，则，
即，解得；
（2），
若，则，
即，
化简可得，解得或.
16. 连续抛掷一枚均匀的骰子2次，试求下列事件的概率：
（1）第一次掷出的点数恰好比第二次的大3；
（2）第一次掷出的点数比第二次的大；
（3）2次掷出的点数均为偶数．
解：（1）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，一共有以下情况：
，
共36种情况，
其中第一次掷出的点数恰好比第二次的大3的情况有，共3种情况，
故第一次掷出的点数恰好比第二次的大3的概率为；
（2）第一次掷出的点数比第二次的大的情况有
，共15种情况，故第一次掷出的点数比第二次的大的概率为；
（3）2次掷出的点数均为偶数的情况有
，共9种情况，
故2次掷出的点数均为偶数的概率为.
17. 的三个顶点是，，，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）边BC垂直平分线的方程．
解：（1）BC的中点坐标为，
则边BC上的中线所在直线的方程为；
（2）边BC斜率为，则其上的高的斜率为，且过，
则边BC上的高所在直线的方程为；
（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，
则边BC的垂直平分线的方程为.
18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记．
（1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小？
（3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
解：如图建立空间直角坐标系，
，， ， ，
，， ．
（1）；
（2），
当时，最小，最小值为；
（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，
则，0，，，，，取的中点，连接，，
则，，，
，，，，
是平面与平面的夹角或其补角．
，，
．
平面与平面夹角的余弦值是．
19. 随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮．为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了个区间：、、、、、，整理得到如下频率分布直方图：
（1）求图1中的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；
（2）估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为、的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为：、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②．
（1）解：由频率分布直方图可得，
解得，
甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数是.
（2）解：，
.
（3）证明：①，即得证；
②
，
，，
同理可得，
，
所以，，即得证．