2024-2025学年甘肃省甘南州高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年甘肃省甘南州高一（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知z=21−i，则|z|=( )
A. 0B. 1C. 2D. 2
2.已知向量a=(2,1),b=(−2,4)，则a−2b=( )
A. (−2,9)B. (0,5)C. (4,−3)D. (6,−7)
3.已知圆锥的底面半径为1，侧面积为6π，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
4.tan10°+tan50°+ 3tan10°tan50°的值为( )
A. − 3B. 3C. 3D. 33
5.甲、乙两人独立地解同一问题.解决这个问题的概率分别为23和34，则恰好有1人解决这个问题的概率为( )
A. 12B. 512C. 14D. 16
6.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2a−b=2ccsB，且csA+csB=1，则△ABC的形状为( )
A. 等边三角形B. 顶角为120°的等腰三角形
C. 顶角为150°的等腰三角形D. 等腰直角三角形
7.已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA|=|OB|=|OC|,NA+NB+NC=0，且PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A. 重心 外心 垂心B. 重心 外心 内心C. 外心 重心 垂心D. 外心 重心 内心
8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P，Q分别为棱A1B1，DD1的中点，过P，Q，B作正方体的截面，则截面多边形的周长为( )
A. 25+9 5+2 136B. 5+2 5+ 132
C. 5+ 5+ 132D. 52+ 5+2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若m//α，m//β，则α//β
B. 若m//α，n//α，则m，n可以是异面直线
C. 若m⊥α，m//β，则α⊥β
D. 若m⊥α，n⊥m，则n//α
10.已知向量a,b满足a⋅b=2,|b|=2，且|a+b|=2 3，则( )
A. |a|=2B. a与b的夹角为π6
C. a与b的夹角为π3D. a⊥(a−2b)
11.在平面直角坐标系中，若M(x1,y1)，N(x2,y2)，则称“d(M,N)=|x1−x2|+|y1−y2|”为M，N点的“曼哈顿距离”.若动点E到两定点F1(−c,0)，F2(c,0)(c>0)的“曼哈顿距离”之和为定值2a(a>c)，则称点E的轨迹为“曼哈顿椭圆”.若点P为该“曼哈顿椭圆”上一点，则下列说法正的是( )
A. 已知点A(1,2)，B(3,5)，则d(A,B)=5
B. “曼哈顿椭圆”关于x轴、y轴、原点对称
C. △PF1F2的周长为2a+2c
D. 该“曼哈顿椭圆”的面积为2(a2−c2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是______．
13.已知sin(α+π6)+csα= 33，则cs(2α−π3)的值为______．
14.在平面四边形ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线AC折成四面体B−ACD，在折起的过程中，四面体外接球表面积最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=m2−4m+3+(m2−1)i，m∈R．
(1)若z为纯虚数，求m的值；
(2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
16.(本小题15分)
已知某校高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为540，360，360.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去儿童福利院参加庆六一献爱心活动．
(1)应从高一、高二、高三三个年级的学生中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担献爱心活动的主持工作．
(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
(ⅱ)设事件T为“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件T发生的概率．
17.(本小题15分)
如图，四棱锥S−ABCD的各个棱长均相等，P为侧棱SD上的点，且SP=2PD．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知向量a=(sinx,csx),b=(csx, 3csx)．
(1)若a//b，求cs2x的值；
(2)若f(x)=a⋅b：
(i)求函数f(x)的单调递增区间；
(ii)已知A(−3,2)，B(3,10)，将f(x)的图象向左平移π12个单位长度，向下平移 32个单位长度得到函数g(x)的图象.在g(x)的图象上是否存在一点P，使得AP⊥BP？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
(1)如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积；
(2)如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为a，b，c，d，试证明其面积为S= (p−a)(p−b)(p−c)(p−d)(p=12(a+b+c+d))．
(3)已知凸四边形的边长分别为AB=1，BC=2，CD=4，DA=3，求四边形ABCD内切圆半径r的取值范围．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：z=21−i，则|z|=|21−i|=2|1−i|=2 2= 2．
故选：C．
结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模的性质，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为a=(2,1)，b=(−2,4)，
所以则a−2b=(2,1)−(−4,8)=(6,−7)．
故选：D．
根据向量的线性运算的坐标公式求结论．
本题主要考查据向量的线性运算的坐标公式，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意圆锥的底面半径为1，侧面积为6π，
可设圆锥的母线长为l，
则π⋅1⋅l=6π，得l=6，
又设圆锥的侧面展开图的圆心角为θ，
则θ⋅6=2π⋅1，得θ=π3．
故选：C．
根据圆锥的侧面积公式及扇形的弧长公式即可求解．
本题考查了圆锥的侧面积公式及扇形的弧长公式，是中档题．
4.【答案】B
【解析】解：tan10°+tan50°+ 3tan10°tan50°
=tan(10°+50°)(1−tan10°tan50°)+ 3tan10°tan50°
= 3(1−tan10°tan50°)+ 3tan10°tan50°
= 3− 3tan10°tan50°+ 3tan10°tan50°
= 3．
故选：B．
直接根据两角和正切公式的变形形式tan(α+β)(1−tanαtanβ)=tanα+tanβ；整理即可得到答案．
本题主要考查两角和与差的正切公式的应用．在应用两角和与差的正切公式时，一般会用到其变形形式：tan(α+β)(1−tanαtanβ)=tanα+tanβ．
5.【答案】B
【解析】解：记“甲解决问题”为事件A，“乙解决问题”为事件B，
根据题意可知，甲、乙两人独立地解决这个问题的概率分别为23和34，
则P(A)=23，P(B)=34，P(A−)=13，P(B−)=14，
因为甲、乙两人独立地解同一问题，所以事件A与B相互独立，故A与B−，A−与B相互独立，
记“恰有一人解决问题”为事件C，则C=AB−+A−B，且AB−与A−B互斥，
所以P(C)=P(AB−+A−B)=P(AB−)+P(A−B)=P(A)P(B−)+P(A−)P(B)
=23×(1−34)+(1−23)×34=512．
故选：B．
根据题意，“恰有一人解决这个问题”可分拆为两个互斥事件：“甲解决且乙没有解决”和“甲没有解决且乙解决”，结合互斥事件的概率加法公式和独立事件定义计算其概率．
本题考查了互斥事件的概率加法公式，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：因为2a−b=2ccsB，
可得2sinA−sinB=2sinCcsB，
又sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，代入化简得2(sinBcsC+csBsinC)−sinB=2sinCcsB，
又sinB≠0，
化简可得csC=12，可得C=60°，
则A+B=120°，即A=120°−B，
可得cs(120°−B)+csB=1，
可得12csB+ 32sinB=1，
可得sin(B+30°)=12csB+ 32sinB=1，
因为0c)，
即d(P,F1)+d(P,F2)=2a，
即|x+c|+|y|+|x−c|+|y|=2a，
即|x+c|+|x−c|+2|y|=2a(a>c>0)，
所以“曼哈顿椭圆”的方程为|x+c|+|x−c|+2|y|=2a(a>c>0)；
将点(−x,y)代入得，|−x+c|+|−x−c|+2|y|=2a，
即|x+c|+|x−c|+2|y|=2a，方程不变，
所以“曼哈顿椭圆”关于y轴对称，
将点(x,−y)代入得，|x+c|+|x−c|+2|−y|=2a，
即|x+c|+|x−c|+2|y|=2a，方程不变，
所以“曼哈顿椭圆”关于x轴对称，
将点(−x,−y)代入得，|−x+c|+|−x−c|+2|−y|=2a，
即|x+c|+|x−c|+2|y|=2a，方程不变，
所以“曼哈顿椭圆”关于原点对称，
所以“曼哈顿椭圆”关于x轴，y轴，原点对称．故选项B正确；
对于选项C，先研究第一象限及x轴和y轴非负半轴上点的轨迹，
d(P,F1)+d(P,F2)= 2x+2y,x≥c,y≥02y+2c,0≤x