2024-2025学年江西省宜春市丰城市九年级上学期期末数学试卷

这是一份2024-2025学年江西省宜春市丰城市九年级上学期期末数学试卷，共37页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一、选择题．
1 ．下列各种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是( )
A．
B．
C．
D．
2 ．下列计算中，不正确的是( )
A ．(2a )3 = 8a3 B ．(a2 )3 = a6
C ．a2 . a3 = a5 D ．a3 + a3 = a6
3 ．如图，AE Ⅱ DF ，AE = DF ，若利用“ASA ”来判定△AEC ≌△DFB ，则需添加的条件是 ( )
A ．上E = 上F B ．AC = BD C ． ∠E = ∠DBF D ．EC = BF
4 ．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是( )
A ．18x2y = 2x .3x .3y B ．2x - 8 = 2 (x - 4)
C ．(3 - x)(3 + x) = 9 - x2 D ．x2 - 2x + 3 = x (x - 2) + 3
5 ．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”、《九章算术》已经能十分灵活地运用“出 入相补”原理解决平面图形的面积问题．在《九章算术》中，三角形被称为圭田．圭田术曰“半 广以乘正纵”，也就是说三角形的面积等于底的一半乘高，说明三角形的面积是运用“出入相 补”原理，由长方形面积导出的．如图中的三角形下盈上虚，以下补上．如果图中矩形的面
积为 20，那么图中阴影部分的面积是( ).
A ．15 B ．10 C ．5 D ．2 ．5
6．如图，在等边 △ABC 中，AB = 6 ，点O 在AB 上，且AO = 4 ，点E 是边BC 上一动点，OE = OD ， 且上DOE = 60° . 有下面三个结论：① △ODE 为等边三角形；②点D 到直线AB 的距离不变； ③当BE = 1时， CD 最小．所有正确结论的序号为( )
A ．③ B ．①② C ．①③ D ．①②③
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
7 ．剑邑大桥是一座沟通丰城赣江南北、贯通全市河东河西，实现赣江两岸联通，促进城乡 体化梦想的桥梁．剑邑大桥是一座斜拉索桥，斜拉索大桥中运用的数学原理是 ．
8 ．微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积 大约为 0.00000075 平方毫米，用科学记数法表示为 平方毫米．
9 ．因式分解：4m2 - 36 = ．
10 ．计算：(6x4 - 8x3 ) ÷ (-2x2 ) = ．
11 ．如图，已知直角三角形 ABC 的三条边 AB ＝10，AC ＝8 ，BC ＝6，AD 平分 AC ，猜想Ð C 与 ÐB 的大小关系； 【操作证明】
（2）如图 1，某同学发现在 △ABC 中，若AB > AC ，可将 △ABC 折叠，使边AC 落在AB 上， 点 C 落在边AB 上的E 点，折线交BC 于点 D，连接 ED
,发现 上AED = 上B + 上EDB ，-，请用上述思路证明（1）中猜想的结论；
【操作发现】同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角；大角对大边”．发现存在图 1 中 的四边形AEDC ，满足 AE = AC ，DE = DC ．查阅资料，如图 2 有两组邻边分别相等的四 边形叫作“筝形”．
【拓展应用】
（3）资料显示，“筝形”仪器可用于检测门框是否水平．如图 3，“筝形”仪器AEDC 上的点A 处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤．某同学将仪器上的点 E、C 紧贴门框上方，观察若 线绳恰好经过点 D，则可判断门框是水平的 ．请说明此同学做法的理由；
（4）如图 4 ，AD 是锐角△ABC 的高，将△ABD 沿边AB 翻折后得到 △ABE ，将 △ACD 沿边 AC 翻折后得到△ACF ，延长 EB ，FC 交于点 G ．若上BAC = 50° ,当 △BCG 是等腰三角形 时， ÐBAD 的度数为 （直接写出答案）．
1 ．D
【分析】本题考查了轴对称图形的识别， 熟练掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条 直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．利用轴 对称图形的识别方法分别判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D．
2 ．D
【分析】本题考查幂的运算性质和合并同类项，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 根据积的乘方，幂的乘方、同底数幂乘法，合并同类项法则，逐一进行判断即可．
【详解】A ． (2a )3 ，根据积的乘方法则， (ab)n = anbn ，故 (2a )3 = 23 . a3 = 8a3 ，计算正确， 故本选项不符合题意；
B ．(a2 )3 ，根据幂的乘方法则，(am )n = am.n ，故(a2 )3 = a2×3 = a6 ，计算正确，故本选项不符 合题意；
C ．a2 . a3 ，根据同底数幂相乘法则，am . an = am+n ，故 a a a a2323 5. ，计算正确，故本选 项不符合题意；
D ．a3 + a3 ，合并同类项时系数相加，字母部分不变，故a3 + a3 = 2a3 ，但选项结果为a6 ，计 算错误，故本选项不符合题意；
故选：D．
3 ．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由平行线的性质得到上A = 上D ，要想用“ASA ” 去证△AEC ≌△DFB ，则只需要 上E = 上F ，据此可得答案，
【详解】解:添加条件: 上E = 上F ， 理由:∵AE Ⅱ DF ，
: 上A = 上D ，
又AE = DF ，上E = 上F ， :△AEC ≌△DFB ，
故选:A．
4 ．B
【分析】本题考查了因式分解的意义， 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫 做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【详解】解：A 、18x2y 是单项式，不符合题意因式分解的定义，不是因式分解，不符合题 意；
B 、2x - 8 = 2 (x - 4) 是因式分解，符合题意；
C 、(3 - x)(3 + x) = 9 - x2 等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D 、x2 - 2x + 3= x (x - 2) + 3 等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意．
故选：B．
5 ．C
【分析】连接 EF ，由“出入相补”原理得到 △BME≌△AGE ， △CNF≌△DGF 即可得到答案． 【详解】解：连接 EF ，由“出入相补”原理得到 △BME≌△AGE ， △CNF≌△DGF ，
: AE = BE, DF = CF ，
: 图中阴影部分的面积= 10 - 5 = 5 ．
故选 C．
【点睛】本题主要考查割补法求面积，理解题目意思是解题的关键．
6 ．B
【分析】由旋转的性质得出OD = OE ，由等边三角形的判定可得出结论；在BC 上取点M ， 使BM = BO ，连接OM ，FD ，证明 ΔBOM 是等边三角形，由全等三角形的性质得出OB = OM ， 上BOM = 上BMO = 60° ,证明 △BOE≌△MOD(SAS) ，得出 上OMD = 上B = 60° ,证出点 D 在过点M 且平行于直线AB 的直线上，过点C 作CN 丄 DM 于点N ，因为C 为定点，当点D 与点N重
合时，CD 最小，由②得 △BOM 是等边三角形，上BOM = 上OMD = 60° ,此时 E 与 M 重合，
BE = BM = 2 ，故③是错误的．本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的 判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解： Q将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到线段OD ，且 上DOE = 60° .
: OD = OE ，
又Q 上DOE = 60° ,
:△ODE 是等边三角形， 故①是正确的；
在BC 上取点M ，使 BM = BO ，连接 OM ，FD ，
Q△ABC 是等边三角形，
: AB = BC = 6 ，
QOA = 6 ，
: OB = AB - OA = 2
上ACB = 上B = 60° ,
,
QBM = OB = 2 ， Ð B=60° , : △BOM 是等边三角形，
: OB = OM ，上BOM = 上BMO = 60° ,
:上BOM = 上DOE ，
:上BOE = 上MOD ，
:△BOE≌△MOD(SAS) ，
:上OMD = 上B = 60° ,
:上BOM = 上OMD = 60° ,
:上B + 上BMD = 180° ,
:MD Ⅱ AB ，
: 点D 在过点M且平行于直线AB 的直线上，
即根据平行线之间距离相等，点D 到直线AB 的距离不变； 故②是正确的；
过点C 作CN 丄 DM 于点N ， QC 为定点，
: 当点D 与点N重合时， CD 最小，
由@得 △BOM 是等边三角形，上BOM = 上OMD = 60°
此时E 与 M 重合， BE = BM = 2 ，
故③是错误的；
故选：B．
7 ．三角形的稳定性
【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，根据三角形的三边一旦确定， 则形状大小完全确定，即三角形的稳定性进行作答即可．
【详解】解：可以推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性．
8 ．7.5 × 10-7
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：a ×10n ,1 ≤ a < 10, n 为整数， 进行表示即可．
【详解】解：0.00000075 = 7.5 × 10-7 ； 故答案为：7.5 × 10-7 ．
9 ．4(m + 3)(m - 3)
【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式， 先提公因式，再利用平方差公式即可求解． 【详解】解：4m2 - 36 = 4(m2 - 9) = 4(m + 3)(m - 3) ，
故答案为：4(m + 3)(m - 3) ．
10 ．-3x2 + 4x
【分析】本题考查了多项式除以单项式， 根据多项式除以单项式运算法则计算即可求解，掌 握多项式除以单项式运算法则是解题的关键．
根据多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，把所得的商相加，可得答案． 解：原式
= -3x2 + 4x ，
故答案为：-3x2 + 4x ．
11 ． .
【分析】寻找 Q 点关于 AD 的对称点Q ' ，然后将求 PC＋PQ 最小值转化为求CQ ' 最小值, 即 可得.
【详解】
∵AD 平分∠BAC
:作 Q 点关于 AD 的对称点Q ' , Q ' 落在 AB 上，则求 PC＋PQ 得最小值转化为 PC＋PQ ' 的 最小值
当 C,P, Q ' 在同一条直线上时，CQ ' 比不在一条直线上小，此时求CQ ' 的最小值
当CQ ' 丄AB 时，CQ ' 最小
故答案为: .
【点睛】本题考查的知识点是求最值问题，解题关键是寻找对称点，作适当的转化进行作答.
12 ．1 或
【分析】由以点 D 、M、C 为顶点的三角形与以点 E、N、C 为顶点的三角形全等．可知
CE=CD，而 CE ，CD 的表示由 E ，D 的位置决定，故需要对 E ，D 的位置分当 E 在 BC 上， D 在 AC 上时或当 E 在 AC 上，D 在 AC 上时，或当 E 到达 A，D 在 BC 上时，分别讨论．
【详解】解：当 E 在 BC 上，D 在 AC 上，即0＜t≤时，
CE=（8-3t）cm ，CD=（6-t）cm，
∵以点 D 、M、C 为顶点的三角形与以点 E、N、C 为顶点的三角形全等． :CD=CE，
:8-3t=6-t，
:t=1s，
当 E 在 AC 上，D 在 AC 上，即 时，
CE=（3t-8）cm ，CD=（6-t）cm，
:3t-8=6-t，
当 E 到达 A ，D 在 BC 上，即 时，
CE=6cm ，CD=（t-6）cm，
:6=t-6，
:t=12s，
故答案为 或 12．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类， 分别表示出每种情况下 CD 和 CE 的长．
13 ．（1）-1；（2）3cm
【分析】本题考查了算术平方根、化简绝对值和零指数幂、全等三角形的性质， 熟练掌握运 算法则和全等三角形的性质是解题关键．
（1）先计算算术平方根、化简绝对值和零指数幂，再计算加减法即可得；
（2）先根据全等三角形的性质可得EF = BC = 8cm ，再根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：（1）原式 = 5 - 7 + 1
= -1 ．
（2）: △ABC ≌△DEF ，BC = 8cm ， : EF = BC = 8cm ，
∵ EC = 5cm ，
: CF = EF - EC = 3cm ．
14 ．（1）3 (x - 2y)2 ；（2）x2 + 2y2
【分析】本题考查了因式分解、完全平方公式、单项式乘以多项式， 熟练掌握运算法则和因 式分解的方法是解题关键．
（1）先提取公因式 3，再利用完全平方公式分解因式即可得；
（2）先计算完全平方公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减法即可得． 【详解】解：（1）原式 = 3 (x2 - 4xy + 4y2 )
= 3 (x - 2y)2 ．
（2）原式 = x2 + 2xy + y2 - 2xy + y2
= x2 + 2y2 ．
15 ．(1)一
(2)过程见解析，原分式方程无解
【分析】注意去分母时不要漏项，对于不含分母的项需同时乘；
【详解】（1）解：去分母时漏项，故第一步出现错误；
解 ，
方程两边乘(x - 2) ，得1- x = -1- 2(x - 2) ．
去括号，得1 - x = -1 - 2x + 4 ， 解得x = 2 ．
检验：当x = 2 时，x - 2 = 0 ， : 原分式方程无解．
【点睛】本题考查分式方程的求解，注意去分母时不要漏项．
16 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定与性质， 熟练掌握平行线的判定与 性质是解答本题的关键．
（1）结合平行线的判定与性质画图即可．
（2）结合垂线的定义画图即可．
【详解】（1）解：如图①,直线CD 即为所求 （2）解：如图@ ，BE 即为所求
17 ．(1)见解析
(2)13
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含 30 度角的直角三角形的性质，等边三角形 的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）等边对等角，结合等角的余角相等，对顶角相等，得到 上F = 上ADF 即可；
（2）根据含 30 度角的直角三角形的性质，求出BE 的长，证明 △ABC 为等边三角形，求出BC 的长，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【详解】（1）证明：: AB = AC ， : 上B = 上C ，
: DE 丄 BC ，
: 上B + 上BDE = 90°, 上C + 上F = 90° , : 上BDE = 上F ，
: 上BDE = 上ADF ，
: 上F = 上ADF ，
: AF = AD ，
:△ADF 是等腰三角形；
（2）解：: DE 丄 BC ，上B = 60°, BD = 16, AD = 5 ，AB = AC ， : 上BDE = 30°, AB = BD + AD = 21 ，ABC 为等边三角形，
: EC = BC - BE = 13 ．
18 ． 当a = -1 时，原式
【分析】本题考查了分式的化简求值， 先根据分式的混合运算化简，然后根据分式有意义的 条件取舍a 的值，代入化简结果进行计算即可求解．
解：原式 (a - 1)2 a + 2
= .
(a + 2)(a - 2) a - 1
a -1
=
a - 2
,
Qa + 2 ≠ 0, a - 2 ≠ 0, a -1 ≠ 0 ，
: a 只能取-1，
-1-1 2
当a = -1 时，原式= = ．
-1- 2 3
19 ．(1) CE = BD ．理由见解析；
(2) 6cm ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关结论即可．
（1）证 △COE ≌△OBD 即可求解；
（2）由题意得：CE = 14cm，AB = 8cm ，根据 △COE ≌△OBD 得出 OE = BD = 8cm ，CE = OD = 14cm ，即可求解；
【详解】（1）解：CE = BD ．理由如下：
∵ OB 丄 OC ，
: 上BOD + 上COE = 90° , ∵ BD 丄 OA，CE 丄 OA ， : 上ODB = 上CEO = 90° , : 上BOD + 上OBD = 90° , : 上OBD = 上COE ，
在 △COE 和 △OBD 中，
ï
ì上CEO = 上ODB
í上COE = 上OBD ， ïl CO = OB
: △COE ≌△OBD ， : CE = BD
（2）解：由题意得：CE = 14cm，AB = 8cm ， ∵ △COE ≌△OBD ，
: OE = BD = 8cm ，CE = OD = 14cm ， : DE = OD - OE = 14 - 8 = 6cm ，
:两次摆动中点 B 和 C 的高度差DE 的长为6cm ．
20 ．(1) 22.5°
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质， 利用截长补短法构造全等三角形，是解题的关 键：
（1）证明 △ADC ≌△BEC ，得到 上ACD = 上BCE ，利用角的和差关系，进行求解即可；
（2）延长BA 至点G ，使BF = AG ，先证明 △CBF≌△CAG ，再证明 △FCD≌△GCD ，根据线 段的和差关系和等量代换即可得出结论．
【详解】（1）解：: AC = BC, 上ACB = 90° ,
: 上A = 上B = 45° , 又: AD = BE ，
: △ADC ≌△BEC ， : 上ACD = 上BCE ， : 上ECD = 45° ,
: 上ACD + 上BCE = 上ACB - 上ECD = 45° ,
（2）延长 BA 至点G ，使 BF = AG ，
: 上CAB = 上ABC = 45°, BF 丄 AB ，
: 上CAG = 180° - 上CAB = 135°, 上CBF = 上ABC + 上ABF = 135° , : 上CAG = 上CBF ，
又: AB = AC ，
: △CBF≌△CAG ，
: 上ACG = 上BCF ，CG = CF ，
: 上ACD + 上BCE = 上ACB - 上DCE = 45° ,
: 上ACG + 上ACD = 45° ,即： 上GCD = 上ECD ， 又: CD = CD ，
: △FCD≌△GCD ， : DF = DG ，
: DG = AD + AG ， : AD + BF = DF ．
21 ． 元可购买《古今数学思想》的数量是y 套.
(2)5
【分析】
本题考查了分式方程的应用、由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系， 正确列出分式方程是解题的关键．
（1）由《几何原本》及《古今数学思想》单价间的关系， 可得出每套《几何原本》的价 格为 1.5x 元，利用数量＝总价÷单价，结合 3000 元可购买《古今数学思想》的数量比
《几何原本》多 40 套，可列出关于 x 的分式方程；利用单价＝总价÷数量，结合小明所 列方程，即可找出y 的含义；
（2）利用读书时间＝读书总页数÷每天读书页数，结合阅读 25 页《古今数学思想》的所 用时间与阅读 10 页《几何原本》所用时间相同， 可列出关于 m 的分式方程，解之经检验 后，即可得出结论．
【详解】（1）
解：:《几何原本》的单价是《古今数学思想》单价的 1.5 倍，且每套《古今数学思想》 的价格为 x 元，
:每套《几何原本》的价格为1.5x 元，
又:3000 元可购买《古今数学思想》的数量比《几何原本》多 40 套，
:可列出方程 ．
:单价＝总价÷数量，结合小明所列方程为 :y 表示 3000 元可购买《古今数学思想》的数量．
故答案为 元可购买《古今数学思想》的数量y 套；
（2）
根据题意得
解得：m = 5 ，
经检验，m = 5 是所列方程的解，且符合题意．
答：m 的值为 5．
(2)8
(3)10
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用， 完全平方公式的变形求值，熟 知完全平方公式是解题的关键．
（1）方案二：大正方形面积可以看成一个边长为a 的正方形面积加上两个上底为a ，下底 为a + b ，高为b 的梯形面积，据此仿照方案一求解即可；
（2）先求出 a2 - 2ab + b2 = 16，进而得到 a2 + 2ab + b2 = 64 ，则 a + b = ±8 ．
（3）先求出 a + b = 10 ，a2 + b2 = 80，再根据S阴影 = S△AOB + S△COD 求解即可．
【详解】（1）解：方案三：∵大正方形面积可以看成① (a + b)2 ， 又可以看成
故答案为：(a + b)2 ，a2 + 2 . . b ，a2 + 2ab + b2 ．
（2）解：∵ a - b = 4 ， :(a - b)2 = 16 ，
: a2 - 2ab + b2 = 16 ，
Q ab = 12 ，
:a2 - 2ab + b2 + 4ab = 16 + 4 × 12 = 64 ， :a2 + 2ab + b2 = 64，即(a + b)2 = 64 ， :a + b = 8 （负值已舍去）．
（3）解：根据题意设 AO = CO = a, BO = DO = b ，
则a + b = AD = 10 ，S△AOC + S△
故a + b = 10 ，a2 + b2 = 80 ， 则S阴影 = S△AOB + S△COD
= ab

= 10 ．
23 ．（1）上C > 上B ；（2）见解析；（3）见解析；（4）10° 或40° 或25° 【分析】（1）由图形可猜想 上C > 上B ；
（2）利用三角形的外角的性质，即可得出结论；
（3）由等腰三角形的性质可求解；
（4）分情况讨论：当BC = BG 时， 由折叠性质即可求解；当BC = CG 时，当 GC = BG 时， 同理可得答案．
【详解】解：（1）猜想：上C > 上B ；
（2）证明：由折叠可得：AC = AE ，上C = 上AED ，
∵ 上AED = 上B + 上EDB ， : 上C = 上B + 上BDE ，
: 上C > 上B ；
（3）证明：∵ AC = AE ，DE = DC ， : AD 垂直平分EC ，
: AD 丄 EC ；
∵ AD 为铅锤线，
: EC 是水平的，即门框是水平的；
（4）当 BC = BG 时，连接AG ,如图 2，
∵ 上BAD = 上BAE ，上CAD = 上CAF ，上BAC = 50° ,
: 上EAF = 2上BAC = 100° , ∵ 上E = 上F = 90° ,
: 上EGF = 180° -100° = 80° , ∵ BC = BG ，
: 上BCG = 上BGC = 80° , : 上ACB = 上ACF = 50° ,
: 上ABC = 180° - 50° - 50° = 80° ,
∵ 上ADB = 90° , : 上BAD = 10° ;
当BC = CG 时，同理可得上BAD = 40° ;
当GC = BG 时，同理可得上BAD = 25° , 综上： ÐBAD 的度数为10° 或40° 或25° .
故答案为：10° 或40° 或25° .
【点睛】本题是四边形综合题， 考查了折叠的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键 是熟练掌以上知识．