2024-2025学年吉林省白山市五校高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年吉林省白山市五校高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的50种饮料中抽取了30种饮料，对其质量进行了检查.在这个问题中，30是( )
A. 总体B. 个体C. 样本D. 样本量
2.已知向量a,b满足|a|=2，且a⋅b=−3，则(2a+b)⋅a的值为( )
A. 1B. 3C. 5D. 7
3.设有三个命题：①直角三角形绕一边旋转一周形成的几何体是圆锥；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③四棱柱所有的面都是平行四边形；其中真命题的个数是( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
4.已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.8，P(B)=0.3，则P(A∪B)=( )
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
5.在△ABC中，AB= 7,AC=2,C=120°，则sinA=( )
A. 714B. 2114C. 5 714D. 3 2114
6.已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. 16 2πB. 16 2π3C. 32 2πD. 32 2π3
7.欧拉恒等式eiπ+1=0(i为虚数单位，e为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式eix=csx+isinx的特例：当自变量x=π时，eix=csπ+isinπ=−1，得eiπ+1=0根据欧拉公式，复数z=e3i在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8.如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西60°方向，则M、N两建筑物之间的距离为( )
A. 32 6米B. 32 3米C. 16 3米D. 16 6米
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组数据：0，1，5，6，7，11，12，则( )
A. 这组数据的平均数为6B. 这组数据的方差为16
C. 这组数据的极差为11D. 这组数据的第70百分位数为7
10.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若m//α，α//β，则m//β
B. 若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
C. 若α//β，β//γ，则α//γ
D. 若α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n
11.下列关于平面向量的说法中，正确的是( )
A. 若a=b，b=c，则a=c
B. 若a//b，b//c，则a//c
C. (a⋅b)c=a(b⋅c)
D. 若非零向量a，b满足xa+yb=0(x,y∈R)，且a，b不共线，则x=y=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面内，复数z对应的点为(2,−1)，则iz−1= ______．
13.已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为______．
14.如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,0)，b=(m,−1)，a−2b=(−3,2)．
(1)求|a+b|；
(2)设向量a，b的夹角为θ，求csθ的值．
16.(本小题15分)
如图，在正四棱锥P−ABCD中，AB=2，PA=3．
(1)求四棱锥P−ABCD的体积；
(2)求四棱锥P−ABCD的表面积．
17.(本小题15分)
为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本(成绩均在[80,150]内)，将所得成绩分成7组：[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，整理得到样本频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；(同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1)
(2)从样本内数学分数在[130,140)，[140,150]的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在[140,150]中的概率．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为 34(b2+c2−a2).
(1)求角A的大小；
(2)若b=3，c=6，AD是△ABC的一条中线，求线段AD的长．
19.(本小题17分)
如图，已知在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，且CC1=2CA=2CB=2，点P在线段BC1(含端点)上运动，设λ=BPBC1．
(1)当AB//平面A1CP时，求实数λ的值；
(2)当平面A1CP⊥平面A1C1P时，求平面A1CP与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.D
5.B
6.B
7.B
8.D
9.AD
10.BC
11.AD
12.2i

14. 66
15.(1)向量a=(1,0)，b=(m,−1)，
则a−2b=(1−2m,2)，
a−2b=(−3,2)，
则1−2m=−32=2，解得m=2，
故b=(2,−1)，
a+b=(3,−1)，
所以|a+b|= 32+(−1)2= 10；
(2)a⋅b=(1,0)⋅(2,−1)=1×2−0×1=2，|a|=1，|b|=√5，
则csθ=a⋅b|a||b|=21× 5=2 55．
16.解：(1)连接AC，BD，记AC∩BD=O，连接PO，如图所示．
由正四棱锥的特征可得PO⊥平面ABCD，
又AO⊂平面ABCD，所以PO⊥AO，
因为AB=2，PA=3，
所以AO=12AC=12×2 2= 2，
所以PO= PA2−AO2= 7，
所以四棱锥P−ABCD的体积V=13S四边形ABCD⋅PO=13×2×2× 7=4 73；
(2)取AB的中点E，连接OE，PE，如图所示．
因为PO⊥平面ABCD，OE⊂平面ABCD，所以PO⊥OE，所以PE= PO2+OE2=2 2，
所以四棱锥P−ABCD的表面积S=4S△PAB+S四边形ABCD=4×12×2×2 2+2×2=4+8 2．
17.解：(1)由题意知(0.012+0.028+0.022+0.018+0.010+a+0.002)×10=1，
解得a=0.008，
数学成绩的平均数为：
x−=85×0.12+95×0.22+105×0.28+115×0.18+125×0.10+135×0.08+145×0.02=107.4，
由频率分布直方图知，分数在区间[80,100)、[80,110)内的频率分别为0.34，0.62，
所以该校数学成绩的中位数m∈[100,110)，
则(m−100)×0.028+0.34=0.5，解得m=7407≈105.7；
(2)抽取的5人中，分数在[130,140)内的有+0.02×5=4人，
在[140,150]内的有1人，
记在[130,140)内的4人为a，b，c，d，在[140,150]内的1人为A，
从5人中任取3人，有(a,b,c)，(a,b,d)，(a,b,A)，(a,c,d)，(a,c,A)，(a,d,A)，(b,c,d)，(b,c,A)，(b,d,A)，(c,d,A)共10种，
选出的3人中恰有一人成绩在[140,150]中，有(a,b,A)，(a,c,A)，(a,d,A)，(b,c,A)，(b,d,A)，(c,d,A)，共6种，
故所求概率为P=610=35．
18.解：(1)因为S=12bcsinA= 34(b2+c2−a2)，
所以12bcsinA= 34×2bccsA，
解得tanA= 3，又A∈(0,π)，可得A=π3．
(2)根据余弦定理，a2=b2+c2−2bccsA，
所以，a2=32+62−2×3×6×12=27，解得a=3 3，
因为D为BC的中点，则AD为BC边的中线，

根据平行四边形对角线的平方的和等于四条边的平方和，可得2(9+36)=27+4AD2，
∴AD=3 72．
即线段AD的长度为3 72．
19.解：(1)连接AC1，交A1C于点D，连接PD，则D为AC1的中点，
且平面A1CP∩平面ABC1=PD，
∵AB//平面A1CP，AB⊂平面ABC1，
∴AB//PD，
∴P为BC1的中点，
即实数λ的值为12．
(2)∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面A1B1C1，A1C1⊂平面A1B1C1，
∴CC1⊥A1C1，
∵AC⊥BC，AC//A1C1，
∴A1C1⊥BC，
又CC1∩CB=C，CC1⊂平面CBB1C1，CB⊂平面CBB1C1，
∴A1C1⊥平面CBB1C1，
又∵CP⊂平面CBB1C1，
∴A1C1⊥CP，
过点C作CP⊥BC1于点P，
∴A1C1⊥CP，
又∵A1C1∩BC1=C1，A1C1⊂面A1C1P，BC1⊂面A1C1P，
∴CP⊥平面A1C1P，
又CP⊂面A1CP，
∴平面A1CP⊥平面A1C1P，
延长CP交BB1于点E，BE=12，
过点C作CF⊥AB交AB于点F，过点F作FH⊥A1E于点H，
∴∠CHF是平面A1CP与平面ABB1A1所成锐二面角的平面角(∠CHF