2024-2025学年吉林省普通高中友好学校联合体高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年吉林省普通高中友好学校联合体高二（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(2 x−1x2)5展开式中的常数项为( )
A. 5B. −5C. 80D. −80
2.已知随机变量X～N(80,σ2)，且P(X≥120)=0.21，则P(400(a−1)x+3a−2,x≤0在(−∞,+∞)上是单调函数，则a的取值范围是( )
A. [1,+∞)B. (1,3]C. [12,1)D. (1,2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中错误的有( )
A. 相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱
B. 决定系数R2越接近1，表明模型的拟合效果越好
C. 若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=23，则E(3X+2)=3，D(3X+2)=4
D. 随机变量X～N(3,σ2)，若P(X≤5)=0.7，则P(X≤1)=0.3
10.已知(2−x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则( )
A. a0=32B. a1+a2+…+a5=1
C. a2=80D. a1−a2+a3−a4+a5=−211
11.已知函数f(x)=x3+ax2+3x+1(a∈R)，则下列说法正确的是( )
A. 曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=3x+1
B. 当a=−3时，x=1是f(x)的极值点
C. 存在实数a，使得f(x)的图象关于点(0,1)对称
D. 若f(x)在区间[12, 3]内存在极值点，则a的取值范围是(−5,−3)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=lnx+ax，若f′(1)=2，则a= ______．
13.已知函数g(x)=13x3−a2x2+2x+5，若函数g(x)在(−2,−1)上单调递减，则实数a的取值范围为______．
14.已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量X，则D(X)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=lnx+mx．
(1)若m=2，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
(2)求函数f(x)在[1,e]上的单调区间和最小值．
16.(本小题15分)
若(1−3x)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8，请求值：
(1)a0；
(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|+|a8|；
(3)a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7+8a8．
17.(本小题15分)
某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：
(1)求收益y关于售出水量x的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？
附：b =i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2,a =y−−b x−,x−=6,y−=146,i=15xiyi=4420,i=15xi2=182
(2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201～500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生不获得奖学金.学生甲获一等奖学金的概率为25，获二等奖学金的概率为13，不获得奖学金的概率为415.求在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率．
18.(本小题17分)
向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型Sra(以下简称Sra)，能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查Sra的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如表所示．
(1)根据所给数据，判断是否有99.9%的把握认为Sra的应用与视频从业人员的减少有关？
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
(2)某公司视频部拟开展Sra培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为23，12，13，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sra．
①求员工经过培训能应用Sra的概率；
②已知开展Sra培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sra培训后，能应用Sra的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sra培训平均每人每年成本为1万元.视频部现有员工100人，根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sra培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=xlnx−x−a，g(x)=x2+lnx−ax．
(1)讨论g(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；
(3)若f(x)+2x≤g(x)对任意的x≥1恒成立，求实数a的取值范围．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：由题设，(2 x−1x2)5展开式通项为Tr+1=C5r(2 x)5−r(−1x2)r=(−1)r25−rC5rx5−5r2，r=0，1，…，5，
当r=1时，有T2=(−1)1⋅25−1⋅C51=−80．
故选：D．
运用二项式展开式的通项求常数项．
本题考查二项式定理的应用，属于中档题．
2.【答案】B
【解析】解：已知随机变量X～N(80,σ2)，且P(X≥120)=0.21，得μ=80，
则P(400时，f(x)=ex−x+2a，
∴f′(x)=ex−1>0在(0,+∞)上恒成立，
即f(x)在(0,+∞)上单调递增，
又∵函数f(x)在(−∞,+∞)上是单调函数，
∴a−1>03a−2≤e0+2a，解得10，函数ℎ(x)单调递增，
当x∈[1,3]时，ℎ′(x)