暑假初高中数学衔接教材20讲word版练习配答案

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\l "_Tc23538" 第二章——衔接补充 PAGEREF _Tc23538 3
\l "_Tc29840" 2.1 数与式 PAGEREF _Tc29840 3
\l "_Tc975" 2.1.1 乘法公式 PAGEREF _Tc975 3
\l "_Tc1595" 2.1.2 因式分解 PAGEREF _Tc1595 8
\l "_Tc31793" 2.1.3 分式与根式 PAGEREF _Tc31793 12
\l "_Tc14739" 2.2 方程与方程组以及不等式 PAGEREF _Tc14739 17
\l "_Tc7884" 2.2.1 韦达定理 PAGEREF _Tc7884 17
\l "_Tc25968" 2.2.2 分式方程与无理方程以及二元方程组 PAGEREF _Tc25968 22
\l "_Tc844" 2.2.3 不等式 PAGEREF _Tc844 26
\l "_Tc5713" 第三章——学习新知 PAGEREF _Tc5713 29
\l "_Tc4519" 3.1 集合 PAGEREF _Tc4519 29
\l "_Tc21477" 3.1.1 集合的基本概念 PAGEREF _Tc21477 29
\l "_Tc15390" 3.1.2 集合的基本性质 PAGEREF _Tc15390 29
\l "_Tc21387" 3.1.3 集合的表示方法 PAGEREF _Tc21387 30
\l "_Tc17962" 3.1.4 集合间的基本关系 PAGEREF _Tc17962 32
\l "_Tc2057" 3.1.5 集合间的基本运算 PAGEREF _Tc2057 34
\l "_Tc26599" 3.2 常用逻辑用语 PAGEREF _Tc26599 40
\l "_Tc16336" 3.2.1 充分条件、必要条件、充要条件 PAGEREF _Tc16336 40
\l "_Tc22969" 3.2.2 全称量词与存在量词 PAGEREF _Tc22969 42
\l "_Tc20099" 3.3 函数的概念与性质 PAGEREF _Tc20099 45
\l "_Tc29250" 3.3.1 函数的概念 PAGEREF _Tc29250 45
\l "_Tc25504" 3.3.2 函数的表示法 PAGEREF _Tc25504 47
\l "_Tc4323" 3.3.3 分段函数的应用 PAGEREF _Tc4323 47
\l "_Tc32630" 3.3.4 函数的图象 PAGEREF _Tc32630 49
\l "_Tc8536" 3.3.5 函数的定义类问题 PAGEREF _Tc8536 51
\l "_Tc16593" 3.3.6 函数值域的求法 PAGEREF _Tc16593 52
\l "_Tc10551" 3.3.7 恒成立问题 PAGEREF _Tc10551 54
第一章——前言
首先，恭喜同学们进入高中数学殿堂的学习，同时也祝贺大家在数学的学习上进入一个更高的层次。当然，随之而来的是学习内容的增多，学习方法的巨变，学习技巧的提高，高中数学对同学们的学习提出了更高的要求，主要体现在高中数学学习时“知识体系更严谨”、“考查方式更灵活”、“数学思想更重要”。
高中数学的知识会让同学们觉得更复杂、关联性更强，这就要求我们需要有“举一反三”、“化繁为简”、“知识迁移”的学习技巧。在后续的衔接课程中，我们将通过具体的例子去体会上述所讲的各类名词的具体含义。
下面简要列出高中阶段最重要的几类数学思想，请同学们在学习时，多加思考，每次学习时、每次做题时，都使用到了什么数学思想。
“数形结合思想”、“分类与整合思想”、“特殊与一般思想”、“函数与方程思想”
接下来，我们通过几类可以利用初中知识解决的题目来具体体会一下高中数学学习的魅力。
引例1：是什么？是什么？又是什么？
答案：对于
对于
同理，限于篇幅不在此继续分析。
引例1体现了数形结合、分类与整合、特殊与一般的数学思想，体现了举一反三的学习技巧。
引例2：设为均为正数，且，证明：
答案：①特殊情况：观察易得当时，不等式取等
②一般情况：可用代数和几何意义解决，我们着重讲解几何意义
易得
综上两种情况，可得
引例2体现了特殊与一般、数形结合的数学思想，体现了化繁为简的学习技巧。
*思考题：设为均为正数，求证：
本题与引例2有什么不同？做一做并体会其中奥妙
解析：由于大小关系不确定，所以需要引入绝对值保持该式仍然成立。
第二章——衔接补充
2.1 数与式
2.1.1 乘法公式
一、 【归纳初中知识】
在初中，我们学习了多项式的运算，知道乘法公式可以让多项式的运算变得简单方便，初中我们主要学习了两个基本乘法公式：
①平方差公式：
②完全平方公式：
在初中阶段我们常要求掌握上述2个公式，但从今往后我们更多要求的是对公式的推广、对定理的多重认知，比如我们可以利用引例2的思想来研究上述公式的几何维度解析。
你能说出上述图形验证了哪一个式子吗？
例1：利用几何图形证明当时，
解析：
由完全平方公式我们还可以得到两个重要式子：
，我们常常把这种式子之间的变换方式称作恒等变换，恒等变换在高中数学当中是一个非常重要的工具。
【衔接高中知识】
高中代数部分是以函数为主线展开学习的，为研究函数的性质，需要同学们具有很强的代数恒等变换能力，在此，我们对乘法公式进行一些拓展，请大家进行部分自主提炼：
③完全立方和公式：
④完全立方差公式：
公式③、④我们统称为完全立方公式，我们能否由完全立方和与完全立方差的公式得到立方和与立方差的公式呢？
⑤立方和公式：
⑥立方差公式：
最后，我们再填补三数平方和的公式：
⑦三数平方和：
【例题精讲】
例1：观察下列算式：
按照上述规律续写2个式子；
用文字反应出上述式子的规律；
证明你所发现规律的正确性；
答案：（1） （2）任意相邻奇数之差为8的倍数（本题是大数减小数）
（3）
例2：观察下列算式：
按照上述规律续写两个式子；
求
答案：（1）
（2）由题意可知，连续相邻自然数的立方差具有规律，则从此入手。
则有：
例3：若
求；
（2）求；
答案：（1）
…………①
其中………②
将②带入①式得
例4：已知，求的值。
答案：
由
所以
例5：证明：函数中与具有相同的增减性
答案：要证与具有相同的增减性当时，
故设，则
所以
例6：设，则对于任意的，与的大小关系为（ ）
B. C. D.
答案：
在本题中得出一个重要结论
由本题，我们可以引出高中乃至高考的重点知识：
⑧基本不等式：
或
初步认识“对勾函数”
在平时的学习中，我们应该注重多深究，多追问，多归纳！
课后习题
已知，，则
2、三角形的三边满足，则该三角形的形状为____等腰_____
3、，则
4、已知：，
则
5、当时，计算
6、
7、已知，求
8、已知，，，
则
9、已知且，则代数式
10、函数在时的最小值为
解析：
11、已知均为正数，且，则的最小值为
解析：
***12、函数的最大值为
解析：取倒，
故（此题不考虑最小值）
2.1.2 因式分解
一、 【归纳初中知识】
把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做因式分解。初中阶段我们常用的两种因式分解方法有：
方式①：提取公因式法
方式②：公式法
【衔接高中知识】
下面我们介绍几种常用的高中因式分解的方法：
方式③：分组分解法
我们知道形如这样的二次三项式可以分解为，它的特点是二次项系数为1，常数与一次项系数可以通过“十字相乘，乘积相加”的方式建立联系，得到。这种方法能推广到更深层次吗？
下面来看二次三项式，将二次项系数与常数项建立十字形式：
我们发现“十字相乘，乘积相加”刚好得到一次项系数，从而我们有
方式④：十字相乘法
***方式⑤：大除法
我们引入这样一个问题：求方程的解
显然，由观察得出是方程的一个根，那么该方程左边的多项式必定可以写成下面形式：
，那么我们如何确定空缺部分呢？下面我们介绍大除法：
【例题精讲】
例1：分解因式
例2：分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
例3：已知是正整数，且是质数，求的值
解析：质数只能分解为1和本身之积，所以首先需要对其进行因式分解
易错点：，此路无法进行分解
课后习题
若则，
若，且均为整数，则
4、下列各式中，不是因式的是（ D ）
B、 C、 D、
解析：
5、分解因式
解析：
若多项式能用完全平方公式进行分解，则
解析：
分解因式：
解析：
分解因式：=__________
解析：
法一：易得为其中一个因式，大除法：
***法二：拆项
9、设，试用表示
解析：
***10、多项式的一个因式是，计算
法一：大除法
法二：设项，由左边六项可得右边剩余一项为的形式，设出计算即可
设，左右展开一样得
代入原式可得
2.1.3 分式与根式
一、 【归纳初中知识】
1. 在初中阶段我们把形如的式子叫做分式，并且常常用到以下性质：
在初中阶段我们把形如的式子叫做二次根式，表示的是非负数的算数平方根，并且常用到以下性质：
二、 【衔接高中知识】
1. 进入高中之后，我们对分式部分知识点的要求就变得逐渐高起来，具体体现在要求同学们需要有更强的运算能力以及恒等变形能力。
2. 进入高中之后，我们对根式部分的掌握要求就不再是二次根式，而是更高的三次根式，四次根式，次根式等等……
三、 【例题精讲】
例1：若，求的值
解析：
例2：，求的值
解析：
例3：设，求的值
解析：
例4：设，求
解析：
***例5：已知，证明
解析：
例6：阅读材料，回答下列问题：
…………
我们发现
计算；
求证：
解析：（1）
（2）
例7：（1）若，求；（2）求（为正整数）
解析：（1）
（2）
例8：已知，求的值
解析：已知
***例9：已知实数非负，若，求证：
解析：
**例10：若，则的值为？
解析：
课后习题
1、若，则
2、计算：
3、比较大小：
（1）；（2）___