深圳市南山实验教育集团南海中学2024-2025学年 八年级上学期数学期中测试卷

这是一份深圳市南山实验教育集团南海中学2024-2025学年 八年级上学期数学期中测试卷，共25页。试卷主要包含了即绝对值的意义等内容，欢迎下载使用。
说明：1．全卷包含选择题和非选择题两部分，共4页．
2．考试时间为 90分钟，满分100分．
3.答题时，考生务必将姓名、班级、考号、考试科目、试卷类型用2B铅笔填涂在答题卡上，并用黑色签字笔填写相应信息．请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
第Ⅰ卷（选择题共24分）
一、选择题（8小题，每小题3分，共24分）
1. 实数4的算术平方根是（ ）
A. B. 2C. D. 16
2. 下列四组数中，是勾股数的一组是（ ）
A. 1，2，3B. 3，4，5C. 3，3，4D.
3. 估计值在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
4. 北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震，震源深度10公里．以下能够准确表示这次地震震中位置的是（ ）
A. 北纬B. 东经
C. 甘肃西南方向D. 北纬，东经
5. 已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列说法正确的个数是（ ）
（1）若，则点表示原点
（2）点在第四象限
（3）已知与，则直线AB平行于y轴
（4）已知，轴，且，则B点的坐标为
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
7. 如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ）
A B. C. D.
8. 如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（ ）
A 2或+1B. 3或C. 2或D. 3或+1
第Ⅱ卷（非选择题共76分）
二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）
9. 如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是____________．

10. 若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为5、到y轴的距离为4，则点P的坐标是 _______．
11. 若一个三角形的三边长分别为5，12，13，则此三角形的最长边上的高为_____．
12. 若是正比例函数，则m的值为_____．
13. 如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．中间竖有一堵砖墙高MN＝2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走________的路程．
三、解答题（共7小题，14题每小题3分，共12分；15题6分，16题6分，17题8分，18题7分，19题10分，20题12分，共61分）
14. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
15 如图，已知、、．
（1）求点C到x轴的距离；
（2）求的面积；
（3）点P在y轴上，当的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
16. “白银2号”种子的价格是10元/kg，如果一次性购买10kg以上的种子，则超过10kg部分的种子价格打折．购买种子所需的付款金额y（单位：元）与购买量x（单位：kg）之间的函数关系如图所示：
（1）根据图象，求当购买种子超过10kg时，付款金额y（单位：元）关于购买量x（单位：kg）的函数关系式；
（2）当顾客付款金额为元时，求此顾客购买了多少种子？
17. 如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为米，为米，．
（1）求梯子的长；
（2）当梯子的顶端A下滑米时，求梯子的底端向外移动的距离．
18. 根据以下素材，探索完成任务．
19. 阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．
（1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，则 ， ．
（2）已知的小数部分为a，的小数部分为b．求的值；
（3）已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求的平方根．
20 综合探究：
“在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．

（1）直接写出图1中的面积是______；
（2）若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积．
（3）拓展应用：求代数式：的最小值．
南海中学2024-2025学年度第一学期期中质量检测
八年级数学学科试卷
说明：1．全卷包含选择题和非选择题两部分，共4页．
2．考试时间为 90分钟，满分100分．
3.答题时，考生务必将姓名、班级、考号、考试科目、试卷类型用2B铅笔填涂在答题卡上，并用黑色签字笔填写相应信息．请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
第Ⅰ卷（选择题共24分）
一、选择题（8小题，每小题3分，共24分）
1. 实数4的算术平方根是（ ）
A. B. 2C. D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查算术平方根的性质和应用，掌握算术平方根的含义是解题的关键．
根据算术平方根的概念：一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为，根据定义求解即可．
【详解】解：实数的算术平方根是：，
故选：B．
2. 下列四组数中，是勾股数的一组是（ ）
A. 1，2，3B. 3，4，5C. 3，3，4D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数的定义：都是正整数且满足，满足勾股数的定义即符合题意．
【详解】解：A、，不符合题意，故该选项是错误的；
B、，符合题意，故该选项是正确的；
C、，不符合题意，故该选项是错误的；
D、都不是正整数，不符合题意，故该选项是错误的；
故选：B．
3. 估计的值在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
【答案】C
【解析】
【分析】找到与接近的两个连续的有理数，进而分析得出答案．
详解】解：∵，即：，
∴的值在4和5之间，
故选：．
【点睛】本题主要考查是估算无理数的大小，正确得出与无理数接近的两个连续的整数是解决此类型题目的关键，“无限逼近法”是估算的一般方法，也是常用方法．
4. 北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震，震源深度10公里．以下能够准确表示这次地震震中位置的是（ ）
A. 北纬B. 东经
C. 甘肃西南方向D. 北纬，东经
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了坐标确定位置，理解坐标的定义是解题的关键．根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可．
【详解】解：A．北纬无法确定这次地震震中位置，故此选项不合题意；
B．东经无法确定这次地震震中位置，故此选项不合题意；
C．甘肃西南方向无法确定这次地震震中位置，故此选项不合题意；
D．北纬，东经能确定这次地震震中位置，故此选项符合题意；
故选：D．
5. 已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数与系数的关系，由已知函数图象判断k、b，然后根据系数的正负判断函数y=－bx+k的图象位置．
【详解】∵函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b>0，
∴－b＜0，
∴函数y=－bx+k的图象经过第二、三、四象限．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的图象与系数，明确一次函数图象与系数之间的关系是解题关键．
6. 下列说法正确的个数是（ ）
（1）若，则点表示原点
（2）点在第四象限
（3）已知与，则直线AB平行于y轴
（4）已知，轴，且，则B点的坐标为
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，直接利用坐标轴上点的坐标特点以及平行于坐标轴的直线上点的关系分别分析得出答案．
【详解】解：（1）、若，则点表示在坐标轴上，故此选项错误；
（2）、点一定在第四象限或x轴上，故此选项错误；
（3）、已知点与点，则直线AB平行y轴，正确；
（4）、已知点，轴，且，则B点的坐标为或，故此选项错误．
说法正确的有个。
故选：B．
7. 如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出的值最大值与最小值是解题关键．
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件以及根据勾股定理即可求出的取值范围．
【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，

，
如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，

在中，，，
，
此时，
取值范围是．
故选：D．
8. 如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（ ）
A. 2或+1B. 3或C. 2或D. 3或+1
【答案】D
【解析】
【分析】利用一次函数与坐标轴的交点求出△AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得∠CAD＝∠OBA，分别从∠ACD＝90°或∠ADC＝90°时，即当△ACD≌△BOA时，AD＝AB，或△ACD≌△BAO时，AD＝OB，分别求得AD的值，即可得出结论．
【详解】解：∵直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，
当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2，
∴A（1，0），B（0，2）．
∴OA＝1，OB＝2．
∴AB＝．
∵AP⊥AB，点C是射线AP上，
∴∠BAC＝90°，即∠OAB＋∠CAD＝90°，
∵∠OAB＋∠OBA＝90°，
∴∠CAD＝∠OBA，
若以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则∠ACD＝90°或∠ADC＝90°，
即△ACD≌△BOA或△ACD≌△BAO．
如图1所示，当△ACD≌△BOA时，∠ACD＝∠AOB＝90°，AD＝AB，
∴OD＝AD＋OA＝＋1；
如图2所示，当△ACD≌△BAO时，∠ADC＝∠AOB＝90°，AD＝OB＝2，
∴OD＝OA＋AD＝1＋2＝3．
综上所述，OD的长为3或＋1．
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题共76分）
二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）
9. 如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是____________．

【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理计算长方形对角线的长，再由点A的位置，确定点A的符号，即可得出点A的坐标．
【详解】解：长方形对角线的长：=，
∴OA=，
∵点A在原点左侧，
∴A点表示的数是：，
故答案为．
【点睛】本题考查实数与数轴的关系和勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
10. 若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为5、到y轴的距离为4，则点P的坐标是 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求点的坐标，根据第二象限内点的符号特征为，点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，进行求解即可．
【详解】解：∵点P在第二象限，
∴，
∵点P到x轴的距离为5、到y轴的距离为4，
∴，
∴点的坐标为：；
故答案为：
11. 若一个三角形的三边长分别为5，12，13，则此三角形的最长边上的高为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理，证明三角形是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求出三角形的最长边上的高．
【详解】解：，，
，
该三角形是直角三角形，
此三角形的最长边上的高，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形面积公式，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
12. 若是正比例函数，则m的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题时注意的系数不等于0这个条件．根据的次数为1，系数不等于0，计算即可．
【详解】解：根据题意得：，
，
故答案为：．
13. 如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．中间竖有一堵砖墙高MN＝2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走________的路程．
【答案】26m
【解析】
【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．
【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加4米，则AB=20+4=24(m)，
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，
∴AC==26(m)，
∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走26m的路程．
故答案为：26m．
【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．
三、解答题（共7小题，14题每小题3分，共12分；15题6分，16题6分，17题8分，18题7分，19题10分，20题12分，共61分）
14. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）9
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键：
（1）先进行乘法运算，化简二次根式，然后合并即可；
（2）先化简各数，再进行加减运算即可；
（3）先化简各数，再合并同类二次根式即可；
（4）先进行乘法公式，去绝对值运算，再合并即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
原式；
【小问3详解】
原式；
【小问4详解】
原式．
15. 如图，已知、、．
（1）求点C到x轴的距离；
（2）求的面积；
（3）点P在y轴上，当的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）3 （2）18
（3）或
【解析】
【分析】此题考查了点到坐标轴的距离、三角形的面积、坐标与图形等知识，数形结合是解题的关键．
（1）根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值即可解答；
（2）利用三角形的面积公式求解即可；
（3）设点P的坐标为，利用的面积为6可得，解得或，即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴点C到x轴的距离为3；
【小问2详解】
解：的面积；
【小问3详解】
解：设点P的坐标为，
∵的面积为6，
∴，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．
16. “白银2号”种子的价格是10元/kg，如果一次性购买10kg以上的种子，则超过10kg部分的种子价格打折．购买种子所需的付款金额y（单位：元）与购买量x（单位：kg）之间的函数关系如图所示：
（1）根据图象，求当购买种子超过10kg时，付款金额y（单位：元）关于购买量x（单位：kg）的函数关系式；
（2）当顾客付款金额为元时，求此顾客购买了多少种子？
【答案】（1）
（2）50kg
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题关键．
（1）设将点代入即可求解；
（2）令即可求解．
【小问1详解】
解：当时，
由图象可知y是x的一次函数，且过点
∴设
则
解得：
∴；
【小问2详解】
解：根据图像可知当顾客付款金额为元时，购买数量大于，
令时，
解得：x=50，
∴当顾客付款金额为元时，此顾客购买了种子．
17. 如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为米，为米，．
（1）求梯子的长；
（2）当梯子的顶端A下滑米时，求梯子的底端向外移动的距离．
【答案】（1）梯子的长为
（2）梯子的底端向外移动的距离为
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，是解题的关键：
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）根据梯长不变，利用勾股定理求出梯子下滑后，底端到点的距离，再减去的长即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
在中，，
由勾股定理，得：；
答：梯子的长为；
【小问2详解】
如图，由题意，得：，，
在中，，
∴梯子的底端向外移动的距离为：；
答：梯子的底端向外移动的距离为．
18. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：，；任务2：画图见解析，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大
【解析】
【分析】本题考查化简绝对值，画一次函数图象，一次函数的增减性：
任务1：化简绝对值即可；
任务2：列表描点，连线画出函数图象，根据图象判断增减性即可．
【详解】解：任务1：当时，，
∴当时，；当时，；
故答案为：，；
任务2：列表如下：
描点，连线，画出函数图象如图：
由图象可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
19. 阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．
（1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，则 ， ．
（2）已知的小数部分为a，的小数部分为b．求的值；
（3）已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求的平方根．
【答案】（1），3
（2）
（3）
【解析】
【分析】./..本题考查了无理数的估算、不等式的性质，以及平方根的求解，理解并掌握题中的估算方法是解题的关键．
（1）由，，即可得到，的值；
（2）由，利用不等式的性质，即可得到，，从而得到，的值，由此得解；
（3）由，即可得到，的值，代入可求出的值，再计算平方根即可；
【小问1详解】
解：，即，
的整数部分为2，小数部分，
，即 ，
的整数部分为．
【小问2详解】
解： ，
，，
的小数部分为，
的小数部分为，
．
【小问3详解】
解： ，
，，
，
的平方根为：.
20. 综合探究：
“在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．

（1）直接写出图1中的面积是______；
（2）若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积．
（3）拓展应用：求代数式：的最小值．
【答案】（1）
（2）图见解析，
（3）5
【解析】
【分析】（1）分割法求出三角形的面积即可；
（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积．
（3）将代数式转化为平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，利用成轴对称的性质，进行求解即可．
【小问1详解】
解：由图可知：的面积是；
故答案为：；
【小问2详解】
的边长分别为、、（，，且），
∴的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边，构造三角形如图：

由图可知：的面积是；
【小问3详解】
，可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图：

设，，，则：，
过点作轴的对称点，则：，，当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长，
∵，，
∴．
∴最小值为5．
【点睛】本题考查勾股定理与网格问题，坐标与轴对称．解题的关键是理解并掌握构图法，将代数问题转化为几何问题，利用数形结合的思想进行求解．
探究函数y=|x-m|的图象性质
素材1
七年级数学教材绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义
素材2
八年级数学教材中，我们经历了“确定函数的表达式一利用函数图象研究其性质一应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象．
问题解决
任务1
对于函数，当时化简函数的表达式：
当时， ；当时， ；
任务2
在平面直角坐标系中，画出函数的图象，结合所画图象，总结y随x的增加而呈现的变化情况．
探究函数y=|x-m|的图象性质
素材1
七年级数学教材绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义
素材2
八年级数学教材中，我们经历了“确定函数的表达式一利用函数图象研究其性质一应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象．
问题解决
任务1
对于函数，当时化简函数的表达式：
当时， ；当时， ；
任务2
在平面直角坐标系中，画出函数的图象，结合所画图象，总结y随x的增加而呈现的变化情况．
0
1
2
3
4
2
1
0
1
2