安徽省2025届高三联考最后一卷数学试卷（解析版）

这是一份安徽省2025届高三联考最后一卷数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数z=3-i2，则z=（ ）
A．3B．2C．23D．4
【答案】D
【解析】z=3-i2=2-23i ，则z=2+23i .
所以 z=2+23i=22+232=4 .
故选：D
2．已知p：lg2x≤2，q：2x-2≤4，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】已知lg2x≤2，解得00，知道a>0.由韦达定理可知x1+x2=2，x1x2=3-a3.
则(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=4-4(3-a)3=4a3，
若(x2-x1)2=4，即4a3=4，解得a=3，故A正确.
对于选项B，f(x1)-f(x2)=(x1-1)3-(x2-1)3+a(x2-x1)
=(x1-x2)[(x1-1)2+(x1-1)(x2-1)+(x2-1)2]+a(x2-x1)
=(x1-x2)[(x12+x22)-3(x1+x2)+x1x2+3-a]
=4a3⋅2a3，若f(x1)-f(x2)=12，即4a3⋅2a3=12，解得a=34，故B错误.
对于选项C，由[f(x)-1]2=a3，可得3[f(x)]2-6f(x)+3-a=0，
设t=f(x)，则3t2-6t+3-a=0，其两根为t1=x1，t2=x2.
因为f(x)的图象与直线y=x1有且仅有两个公共点，所以方程f(x)=x1有2个实数根；f(x)的图象与直线y=x2有且仅有一个交点，所以方程f(x)=x2有1个实数根，
则所求方程共有3个实数根，故C错误.
对于选项D，因为f'(x2)=3(x2-1)2-a=0，所以a=3(x2-1)2.
则f(x2)=(x2-1)3-ax2-b=-2a3x2-a3-b，f(3-2x2)=(2-2x2)3-a(3-2x2)-b=8a3(1-x2)+2ax2-3a-b=-2a3x2-a3-b，所以f(3-2x2)=f(x2).
又由题可知x2≠1，所以3-2x2≠x2，由题意易知存在唯一的实数x0满足f(x0)=f(x2)，且x0≠x2，因此x0=3-2x2，所以x0+2x2=3，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
12．已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1=2，S9=126，若ak=26，则k= .
【答案】9
【解析】设等差数列an的公差为d，由S9=9a1+a92=9a5=126，得a5=14，
故d=a5-a14=3，由ak=a1+k-1d=2+3k-1=26，得k=9.
故答案为：9
13．已知sinα-sinβ=13，csα+csβ=12，则csα+β= ，csα-β= .
【答案】-5972；513
【解析】因为sinα-sinβ=13，csα+csβ=12，
所以，将两个等式分别平方可得：
sin2α+sin2β-2sinαsinβ=19①，
cs2α+cs2β+2csαcsβ=14②.
①+②，得2+2csαcsβ-sinαsinβ=2+2csα+β=1336，
则csα+β=-5972，
②-①，得：
cs2α+cs2β+2csαcsβ+sinαsinβ=cs2α+cs2β+2csα-β=536，
则csα+β+α-β+csα+β-α-β+2csα-β=2csα+βcsα-β+2csα-β=536.
将csα+β=-5972代入上式，可得cs(α-β)=513.
故答案为：-5972；513
14．甲同学完成一道英语七选五型选择题组练习（即从七个选项中选择五个，分别填入五个空中），已知每个空有且仅有一个正确答案，若甲同学每个空均作答且每个选项不重复选择，则甲同学此题五个空全部答错的情况数为 .
【答案】1214
【解析】对于a1,a2,⋯,an和b1,b2,⋯,bn+2,规定aii=1,2,⋯,n与bi相配对,视为“正确配对”,其余的视为“错误配对”，
设Fn为对于任意的ii=1,2,⋯,n,都不存在“正确配对”的配对方式数，即错排方式数，
易知F1=2,F2=7，
首先证明Fn+1=n+2Fn+nFn-1，
假设a1,a2,⋯,an+1和b1,b2,⋯,bn+3全错配,分三类情况:
（1）an+1和bii∈n+2,n+3配对,余下a1,a2,⋯,an和b1,b2,⋯,bn+2（或bn+3）,余下部分属于n个时的错配,故总共2Fn种错排方式；
（2）an+1和bii∈1,2,⋯,n配对,且bn+1与ai,配对，此时余下部分属于n-1个时的错配，故总共nFn-1种错排方式;
（3）an+1和bii∈1,2,⋯,n配对,且bn+1与ai不配对,此时可将bn+1等效为bi,则余下部分属于n个时的错配,故总共nFn种错排方式.
综上，所以Fn+1=n+2Fn+nFn-1，
所以F3=4F2+2F1=32,F4=5F3+2F2=181,F5=5F6+3F7=1214，
所以所求的结果为1214.
故答案为：1214.
四、解答题
15．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且acsC+3asinC-b-2c=0.
（1）求A；
（2）若a=2，且△ABC的面积为34，求b，c.
解：（1）根据正弦定理，原条件即sinAcsC+3sinAsinC=sinB+2sinC，
也即sinAcsC+3sinAsinC=sinA+C+2sinC，
所以3sinAsinC=csAsinC+2sinC，
由于sinC>0，所以3sinA=csA+2，即sinA-π6=1，
由于00，解得-20的一部分，
由直线MN平分△OB1B'1的面积知，a'=22a，b'=22b.
由（2）知xQ+xT2=a2bbx0-ay0+a2bbx0+ay02=2a2b2x02b2x02-a2y02=x0，即线段QT的中点为切点P.
由直线MN与线段OB1相交且平分△OB1B'1的面积，可知包络形成的双曲线最上方的点为点B1与线段OB'中点连成线段的中点，其坐标为a+a22,b-b22，即为3a4,b4，
同理包络形成的双曲线最下方的点的坐标为3a4,-b4.
故所求轨迹方程为2x2a2-2y2b2=12a2≤x≤3a4.