浙江省浙南名校2024-2025学年高一下4月期中数学试卷（解析版）

这是一份浙江省浙南名校2024-2025学年高一下4月期中数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为sin3000=-sin600=-,利用诱导公式可知．选D
2. 的值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B
3. 若圆台的轴截面为底角为60°的等腰梯形，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为6，则圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设是上下底面圆心，，
连接,过点作的垂线，垂足为,
在直角三角形中，,则圆台的母线长为,

由圆台的侧面积公式可得；
故选：C.
4. 已知为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则至少与，中一个平行
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
【答案】A
【解析】对于A，由线面平行的性质可得若，，则m至少与，中一个平行，故A正确；
对于B，若，，则或，故B错误；
对于C，若，，则或，故C错误；
对于D，若，，，则或相交，故D错误.
故选：A
5. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以.
因为，
所以.
故选：D.
6. 已知在平行四边形中，，，且，，则的值为（ ）
A. -3B. -6C. -9D. -12
【答案】C
【解析】在平行四边形中,，,
因为，，
所以，
两式相减可得，
所以.
故选：C.
7. 在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的4倍，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
即，在中，作边上高，垂足为，
则，
故选：A
8. 水平桌面上放置了4个完全相同的半径为1的小球（不叠起），四个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．用一个半球形容器（容器壁厚度不计）罩住这四个小球，则这个半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
如图，4个小球球心构成的正方形为，中心为，
由题意，，
半球形容器的球心为O，显然当半球形容器与4个小球都相切时球O的半径最小，半球形容器与球的切点为，
连接ON，则小球的半径，
球O的半径；
所以半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为，
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，，，，则下列叙述中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. D. 若，则
【答案】AB
【解析】对于A：因为，，因为，两边同乘以，不等号的方向不变，得，所以，故A正确；
对于B：因为，，所以，所以，，两边同乘以并化简得，所以，故B正确；
对于C：时不等式左边无意义，不能比较.
当时做如下分析：，
符号不确定，故结论不确定，故C错误;
对于D：若，则，故D错误.
故选：AB
10. 在中，角的对边分别为，则下列说法正确的有（ ）
A. 若为锐角三角形，则
B. 若，，有两解，则
C. 若，则是的垂心
D. 若，，为的外心，则的值为
【答案】BCD
【解析】对于A，若为锐角三角形，设为等边三角形，则，故A错误；
对于B，若，，由正弦定理，
因为有两解，，所以，所以，故B正确；
对于C，由，得，即，所以，即.同理，，所以点P是的垂心，故C正确；
对于D，因为，为的外心，则，
设为中点，则，
，
同理，
又，，所以，故D正确；
故选：BCD
11. 已知复数，（，为虚数单位），，定义：，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若是复数的共轭复数，则恒成立
B. 对任意，都有恒成立
C. 存在，有成立
D. 对任意，都有恒成立
【答案】ABD
【解析】对于A，，则，则，故A正确；
对于B，，，，所以，故B正确；
对于C，设，
，
，
，，
，
由绝对值不等式可得，故C错误；
对于D，设，则
，，，
由，，得恒成立，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设向量，，若与共线，则实数a的值为_______．
【答案】
【解析】因为与共线，所以，得，
故答案为：
13. 甲船在岛的南偏东方向处，两地相距100千米．甲船向北偏西方向航行，同时乙船自岛出发向北偏东的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行．则两小时后，甲、乙两船的距离为_______千米．
【答案】
【解析】设两小时后，甲、乙两船的位置分别为处，
由题意可知，所以，
由余弦定理可得：，即，
所以，
故答案为：
14. 如图1，“折扇”又名“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子，其平面图是如图2的扇形，其中，，点在弧上运动（包括端点），记在方向上的投影向量为，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】设，则
，为在方向上的投影向量，
所以，
所以
，
由，可知当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以的取值范围是，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知复数，，其中为虚数单位．
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）若，设，，求的值．
解：（1）由题意，因为z是纯虚数，所以有，解得.
（2）因为，所以，，
则，
所以，.则.
16. 已知向量与的夹角为，且，，若，．
（1）当时，求实数的值；
（2）当取最小值时，求向量与夹角的大小．
解：（1），
，
∴
∴
（2）
当时，，此时
所以向量与夹角的大小为30°．
17. 如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，，．
（1）求证平面；
（2）若平面，求的值；
（3）当时，若，，，请在图中作出四棱锥过点的截面（保留作图痕迹），并求出截面周长．
解：（1）取的中点为，连接，，
∵，分别为、的中点；∴，
∵平面，∴平面，
又∵为的中点，∴，
∵平面，∴平面，
∵，平面，∴平面平面，
又平面，∴平面.
（2）连接交于点，连接．
∵平面，平面平面，∴，∴．
又，∴，∴．
（3）设为上靠近点的三等分点，连接，，，，则四边形为所求截面．
证明过程如下：∵，∴，∴．又∵，．
∴四边形是平行四边形，∴，∴．
故共面，故四边形为所求截面．
∵，，，，，
在中，∵，∴
故∴，
故，
所以截面周长为．
18. 已知分别为斜三个内角的对边，且满足.
（1）求角的值；
（2）记边上的高为，
（i）若，求的值；
（ii）求的取值范围.
解：（1）由及正弦定理可得：.
在中，∵，
∴，
代入上式化简可得：.
∵，∴，即，
∴.
又∵，∴，∴或，即或.
又为斜三角形知，∴.
（2）（i）由（1）知.
∵面积，边上的高，
∴.
由余弦定理可知：，即，即，∴或.
所以或.
（ⅱ）由，得，
∴
.
∵，∴，∴.
19. 对集合，若存在实数，使得对于，，则称集合有下界，实数的最大值为函数的下确界，记作．
（1）记函数，的值域为，求；
（2）已知函数
（i）记集合，若，求实数α的取值范围；
（ii）记集合，，若，求实数a的值．
解：（1），，∴
（2）（i）在上的下确界为，
故，
令，，则
，（参变分离）
∵，∴，∴
（ii）当时，；
而时，的下确界为，
故必有在上的下确界为，令，，则
，的下确界为，
对称轴时，，，此时舍去；
对称轴时，，舍去；
当时，，，合题意；
当时，；此时在单调递减，
故
综上所述，．