山西名校2024-2025学年高二上学期11月期中联合考试数学试卷（解析版）

这是一份山西名校2024-2025学年高二上学期11月期中联合考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了 已知集合，则， 已知复数满足，则的共轭复数， 若动圆过定点，且和定圆， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，所以.
故选：A.
2. 已知复数满足，则的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，则.
故选：D.
3. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 0
【答案】B
【解析】由偶函数性质得，.
故选：B.
4. 从和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】组成两位数的样本空间，样本点总数为8.能被3整除的数为24，42，有2个.故所求概率为.
故选：D．
5. 图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为，
由点可得，解得，所以.
当时，，所以水面宽度为.
故选：C.
6. 已知椭圆，过点的直线交于、两点，且是的中点，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】若线段轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，
设、，由题意可得，，
则，两式相减可得，
所以，，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：A.
7. 若动圆过定点，且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A. （）B. （）
C. （）D. （）
【答案】D
【解析】定圆的圆心为，与关于原点对称.
设，由两圆外切可得，所以,
所以的轨迹为双曲线的右支.
设的轨迹方程为，则，
所以轨迹方程为.
故选：D.
8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ）
A.B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，则，，
因为，所以，
即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上.
点在直线上，
所以直线与圆有公共点，
则，解得
故选:B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（ ）
A. 直线过点B. 直线的倾斜角为
C. D. 是等边三角形
【答案】ABD
【解析】抛物线的焦点为，而，所以直线过点，故A正确；
设直线的倾斜角，因为直线的斜率为，，
所以，即直线的倾斜角为，故B正确；
因为，故C错误；
因为点在抛物线上，由抛物线定义可知，，
又，所以是等边三角形，故D正确.
故选：ABD.

10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点中心对称
D. 在上单调递增
【答案】ABD
【解析】.
A：，所以的最小正周期为，故A正确；
B：令，得，
当时，，所以为函数的一条对称轴，故B正确；
C：令，得，
当时，，所以为函数的一个对称中心，故C错误；
D：令，得，
当时，，即的单调递增区间为，
而为的真子集，故D正确.
故选：ABD.
11. 若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，， 分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，（ ）

A. 若，则
B. 存在点H，使得平面
C. 线段长度的最小值是
D. 存在点H，使得
【答案】ABC
【解析】对于A：因为为直四棱柱，，所以以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ，

则，，，，，
故，，
所以，即Q，B，N，P四点共面，
若，则，解得，A正确；
对于B：过点H作，交于点G，过点G作AB的垂线，垂足即，
过点A作的垂线，垂足即，连接，，由题意可得，
则，，，，
故，，，，
易得是平面的一个法向量，若平面，
则，即，解得，符合题意，
所以存在点H，使得平面，B正确，
对于C：，
当时，取得最小值，最小值为，C正确.
对于D：若，则，
得，无解，所以不存在点H，使得，D错误.
故选：ABC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知单位向量满足，则与的夹角为__________.
【答案】
【解析】由，可得，解得，
则，又，
所以与的夹角为.
13. 如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则__________.
【答案】6
【解析】棱长为的正方体中，
连接，则是边长为的等边三角形，
.
14. 已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则__________.
【答案】2
【解析】由题意可知，，
所以.
因为，所以，即，
所以.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知在中，，，，记的外接圆为圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点且与圆相切的直线的方程.
解：（1）（方法一）直线的方程为，、的中点为，
所以线段的中垂线方程为，
直线的方程为，、的中点为，
线段的中垂线方程为.
直线与直线的交点为，即圆的圆心为.
点与点的距离为，
即圆的半径为，所以圆的标准方程为.
（方法二）设圆的标准方程为，
则，，解得，
故圆的标准方程为.
（2）圆圆心为，，直线的斜率为，
所以切线斜率为，所求切线方程为，
整理得.
16. 如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，.

（1）证明：平面.
（2）求二面角的余弦值.
（1）证明：设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为n=x,y,z，
则即
令，则
证明：.
因为，所以，
平面ACD1，所以平面.
（2）易知为平面的一个法向量，
且.
.
易得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
17. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与轴垂直的直线交于两点，是与的一个公共点，，.
（1）求与的标准方程；
（2）过点且与相切的直线与交于点，求.
解：（1）记，则抛物线方程为，其准线方程为.
因为，所以，解得，则的标准方程为.
不妨设点在第一象限，记，因为，
所以，解得.因为，所以，即.
由解得所以的标准方程为.
（2）不妨设点在第一象限，则.
设直线.
联立得.
由，解得，则.
设.
联立得，则，
故.
18. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面.
（1）证明：.
（2）点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
（1）证明：取的中点，连接.
因为为等边三角形，所以.
因为为等腰直角三角形，且，所以.
因为平面平面，所以平面，
所以.
（2）解：因为平面平面，平面平面平面，所以平面.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则
设平面的法向量为n=x,y,z，
则即
令，则，所以.
设直线与平面所成的角为，
则
，当且仅当时，等号成立.
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
19. 已知为坐标原点，双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左､右顶点分别为，圆过点，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且.
（1）求的方程；
（2）过点且斜率不为0的直线与双曲线的左､右两支的交点分别为，，连接并延长，交双曲线于点，记直线与直线的交点为，证明：点在曲线上.
解：（1）因为圆过点，得，所以，.
在中，，
所以，
所以是等边三角形，.
双曲线的一条渐近线的斜率为，即，所以.
故的方程为.
（2）证明点在曲线上，即证明点在曲线上.
设直线，则.
联立得，
则.
直线的方程为，直线的方程为
将直线与直线的方程变形可得,
即,
得，
即，
即，
化简可得.
得，
，
，
，
化简得.
将代入可得，
即点在曲线上.