浙江省丽水市五校高中发展共同体2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版）

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选择题部分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直线方程的斜截式为：，所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，所以，因为，所以.
故选：D.
2. 已知空间向量，，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
3. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 内含B. 内切C. 外离D. 相交
【答案】D
【解析】，，，因此两圆相交，故选：D．
4. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知：，且焦点在轴上，
即，可得，
所以该双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
5. 在正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设分别是的中点，由于分别是的中点，结合正方体的性质可知，
所以是异面直线和所成的角或其补角，
设异面直线和所成的角为，设正方体的棱长为，
，，
则.
故选：A.
6. 如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为4m，深度为0.5m，则该抛物线顶点到焦点的距离为（ ）

A. 0.25mB. 0.5mC. 1mD. 2m
【答案】D
【解析】以该抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：

设此抛物线方程为，依题意点在此抛物线上，
所以，解得，则该抛物线顶点到焦点的距离为.
故选：D.
7. 已知椭圆分别为左右焦点，为椭圆上一点，满足，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由椭圆方程可知：，
可得，
在中，由余弦定理可得
，
即，解得，
因为为线段的中点，则，
可得
，
所以的长为.
故选：A.
8. 已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（ ）
A.B.
C. D.
【答案】B
【解析】取的中点,,
则，
所以．
所以在以为球心，为半径的球面上，如图，
可知在上的投影数量最小值为，
所以的最小值为，
所以的最小值为．
故选：B．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于选项：因为，所以三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于选项：因为，
所以三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故D错误；
因为是空间中不共面的三个向量，
对于选项B：设，显然不存在实数使得该式成立，
所以不共面，可以作为基底向量，故B正确；
对于选项C：设，
则，方程无解，即不存在实数使得该式成立，
所以不共面，可以作为基底向量，故C正确；
故选：BC.
10. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ）
A. B.
C. 以为直径的圆与相切D.
【答案】CD
【解析】直线过抛物线的焦点，
可得，则，所以A选项错误；
抛物线方程为，准线的方程为，
直线与抛物线交于两点，设Ax1,y1,Bx2,y2，
直线方程代入抛物线方程消去可得，
则，得，所以B选项错误；
的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为，
则以为直径的圆与相切，所以C选项正确；
点到直线的距离，，所以D选项正确．
故选：CD．
11. 已知线段是圆的一条动弦，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 直线与圆恒相交
C. 直线，的交点在定圆上
D. 若为中点，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于选项A，因为直线，即，
令，解得，则直线恒过定点，故A正确；
对于选项B，因为直线，即，
令，解得，所以直线恒过定点，
将点代入圆可得，
即点圆外，所以直线与圆不一定相交，故B错误；
对于选项C，联立两直线方程可得，解得，
消去可得，即，故C正确；
对于选项D，设，因为，且为中点，所以，
而圆的圆心，半径为，
则圆心到弦的距离为，即，
即点的轨迹方程为，圆心，半径为，
由选项C可知，点的轨迹方程为，圆心，半径为，
两圆圆心距为，
所以的最小值为，故D正确；
故选：ACD
非选择题部分
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 抛物线的准线方程为______.
【答案】
【解析】抛物线的标准方程是，所以准线方程是.
13. 已知空间中三点，则点到直线的距离为__．
【答案】
【解析】由题设，在的平分线上，在的平分线上，如下图所示，
若面，连接，显然，，
由都在面内，则面，
由面，则，故为等腰直角三角形，
由面，则，即的长度是点到直线的距离，
由题设有，故，则.
14. 已知分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过三点的圆恰与轴相切，则的离心率为______．
【答案】
【解析】由已知可得：，
线段的垂直平分线方程为，过三点的圆恰与轴相切，
所以圆心坐标为，圆的半径为，
所以经过过三点的圆的圆的方程为，
在圆上，所以，
整理得：，所以，所以，
化为：，由，解得.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 直线经过两直线和的交点．
（1）若直线与直线平行，求直线的方程；
（2）若点到直线距离为2，求直线的方程．
解：（1）由，解得，
可得两直线和的交点为,
当直线与直线平行，设的方程为，
把点代入求得，
可得的方程为．
（2）当的斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为2．
当的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则点到直线的距离为，求得，
故的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
16. 如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，．
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若，，求的值．
解：（1）点为的中点，，
，
．
（2），
由（1）得
．
17. 已知圆圆心在直线上，且经过点和2,3.
（1）求圆的标准方程；
（2）自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程．
解：（1）设圆的方程为，
可得 解得
所以圆的方程为，即圆的标准方程为；
（2）圆关于轴的对称方程是，
设的方程为，即，
因为反射光线所在的直线与圆相切，故对称圆与入射光线相切，
所以对称圆心到的距离为圆的半径1，则，
从而可得，
故光线所在直线的方程是或．
18. 如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为中点.

（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）若是线段上一动点，直线与平面所成角正弦值为，求的值.
（1）证明：设中点为，连接，．如图①所示，
，分别为，中点，
且，
且，
即四边形为平行四边形，
又平面,平面，
平面.
（2）证明：取中点记为，连结,，如图②所示，
由等腰三角形得：,
,且平面,
平面,
平面,
（3）解：由（2）得，为平面与平面所成二面角的平面角，
设则，则，
即平面与平面所成二面角的平面角为
如图建立空间直角坐标系，
,
设,设平面的法向量为，
由 取，则，
且
令与平面所成线面角为，
由,
得：,解得：（舍去）,
所以.

19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点和，点是椭圆上不在轴上的任意一点，射线，分别与椭圆交于点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求内切圆面积的最大值；
（3）设，，的面积分别为，，．求证：为定值．
解：（1）将点和代入椭圆方程得解得
则椭圆的标准方程为；
（2）周长， 设内切圆半径为，内切圆面积为，
则，又，
设所在直线方程为，与椭圆方程联立得：
，所以

令，（时取最大值），
所以，，所以，
即内切圆面积的最大值为.
（3）设Px0,y0，Ax1,y1，Bx2,y2，
因为点在椭圆上，所以，即．
由（1）得，，
设直线的方程为，，
联立，消去并整理得，
此时，由韦达定理得，
同理得：，
所以

.
故为定值．