湖南省长沙市2024_2025学年高三数学上学期第四阶段模拟考试试题含解析

这是一份湖南省长沙市2024_2025学年高三数学上学期第四阶段模拟考试试题含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则为( )
A. B. C . D.
2.在复平面内，若i是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则=( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则=( )
A. −2 B. 0 C. 1 D. 2
4.下列命题中真命题是（ ）
A. 命题的否定；
B. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件；
C. 若随机变量服从正态分布，，则；
D. 圆上的点到直线距离为1的点恰有3个.
5．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（ ）
A．25.5尺B．34.5尺C．37.5尺D．96尺
已知，若函数在区间上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数的取值范围是 ( )
A.B．C． D．
在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ）
A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1
C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是（ ）
A．这14天日促销量的众数是214 B．这14天日促销量的中位数是196
C．这14天日促销量的极差为195 D．这14天日促销量的第80百分位数是243
10.已知椭圆：（）与双曲线：有相同的焦点，，且它们的离心率之积为，点P是与的一个公共点，则（ ）
A．椭圆的方程为
B．三角形PF1F2为等腰三角形
C．过点F2作E的一条渐近线的垂线，垂足为M, 则三角形MF1F2面积为
D．对于上的任意一点，
11.如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ）

A．若平面，则点P的轨迹长度为
B．若，则点P的轨迹长度为
C．若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为
D．若P是棱的中点，三棱锥的外接球球心为O，则平面A1BCD1截球O所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
已知，则 的最大值为 .
抛物线 的焦点为F，A为y轴正半轴上的一点，射线FA与抛物线交于点B，与抛物线准线交于点M. 若成等差数列，则 .
已知数列，等可能取或1，数列满足，且，则的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
在中，角A，B，C 对应的的三边分别是a，b，c，且.
（1）求角C的值;
（2）若，求的面积．
16．（15分）
如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．
（1）求证：平面平面；
（2）若E为线段BD的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
17.（15分）
数列为等差数列，为正整数，其前n项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，．
（1）求；
（2）求证．
（17分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点D在椭圆上，且.
求椭圆的方程；
过点的动直线与椭圆交于两点（不与椭圆的左、右顶点重合）.
①当的倾斜角为时，求的面积；
②点P为椭圆的右顶点，直线PA、PB分别与轴相交于点M、N，求证：以MN 为直径的圆被x轴截得的弦长为定值.
19．（17分）
定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数．
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在a使的极值差比系数为？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围．
2025 届高三上学期第四阶段考试数学试卷参考答案
1. 已知集合 A=x∈N∗/−20 与双曲线 E:x2−y23=1 有相同的焦点 F1,F2 ,且它们的离心率之积为 45 ,点 P 是 C 与 E 的一个公共点,则( )
A. 椭圆 C 的方程为 x225+y221=1
B. 三角形 PF1F2 为等腰三角形
C. 过点 F2 作 E 的一条渐近线的垂线,垂足为 M ,则三角形 MF1F2 面积为 3
D. 对于 E 上的任意一点 Q,QF1⋅QF2≠0
10.ABC
【详解】
由双曲线 E:x2−y23=1 的方程可知,双曲线的焦点 F1−2,0,F22,0 ,
离心率为 1+31=2 ,所以椭圆的焦点为 F1−2,0,F22,0 ,离心率为 25 ,
所以椭圆中, a=5,c=2,b=a2−c2=21 ,
根据对称性,不妨设 PF1>PF2 ,则 PF1−PF2=2 ,
又根据椭圆的定义可知, PF1+PF2=2a=10 ,
所以联立 PF1−PF2=2PF1+PF2=10 ,解得 PF1=6,PF2=4 ,
F1F2=4 ,所以 PF2=F1F2 ,所以 △PF1F2 为等腰三角形, B 正确;, C 正确;
三角形 MF1F2 面积 =2× 三角形 MOF2 面积 =3 , C 正确；
设 Qx1,y1 ,则 x12−y123=1,QF1=−2−x1,−y1,QF2=2−x1,−y1 ,
所以 QF1⋅QF2=x12−4+y12=1+y123−4+y12=43y12−3=0 ,
解得 y1=±32 ,此时 x1=±72 ,
所以存在点 Q 的坐标为 72,32 或 72,−32 或 −72,32 或 −72,−32 ,
使得 QF1⋅QF2=0,D 错误;
故选: ABC.
11. 如图,在棱长为 4 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, E,F 分别是棱 B1C1,C1D1 的中点, P 是正方形 A1B1C1D1 内的动点,则下列结论正确的是( )
A. 若 DP// 平面 CEF ,则点 P 的轨迹长度为 22
B. 若 AP=17 ,则点 P 的轨迹长度为 2π
C. 若 P 是正方形 A1B1C1D1 的中心, Q 在线段 EF 上,则 PQ+CQ 的最小值为 42
D. 若 P 是棱 A1B1 的中点,三棱锥 P−CEF 的外接球球心为 O ,则平面 A1BCD1 截球 O 所得截面的面积为 81π8
11.ACD
【详解】如图,取 A1D1,A1B1 的中点为 N,M ,连接 MN,DN,BD,BM,NE,B1D1 ,
所以 MN//B1D1 ,又 E,F 分别是棱 B1C1,C1D1 的中点,
所以 EF//B1D1 ,所以 MN//EF ,
MN⊄ 平面 CEF,EF⊂ 平面 CEF ,
∴MN// 平面 CEF ,
因为 N,E 分别是棱 A1D1,B1C1 的中点,所以 NE//CD ,且 NE=CD ,
所以四边形 CDNE 为平行四边形,
所以 ND//CE ,又 ND⊄ 平面 CEF,CE⊂ 平面 CEF ,
∴ND// 平面 CEF ,
又 MN∩ND=N,MN,ND⊂ 平面 BDNM ,
所以平面 BDNM// 平面 CEF ,
点 P 是正方形 A1B1C1D1 内的动点,且 DP// 平面 CEF ,
所以点 P 的轨迹为线段 MN ,由勾股定理得 MN=22+22=22 ,故 A 正确;
如图,以 A 为原点,以 AB,AD,AA1 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,
由题意得 A0,0,0 ,设 Px,y,4 ,AP=x2+y2+16=17,
所以 x2+y2=1 ,所以点 P 的轨迹为 A1 为圆心,半径为 1 的 14 个圆,
所以点 P 的轨迹长度为 14⋅2π=π2 . 故 B 错误;
如图,将平面 CEF 翻折到与平面 A1B1C1D1 共面,
连接 PC ,与 EF 交于点 Q ,此时 PQ+CQ 取到最小值,
∵CE=CF=22+42=25 ,且 PE=PF=2 ,
所以点 Q 为 EF 的中点,所以 PQ=EQ=1222+22=2 ,
所以 CQ=CE2−EQ2=20−2=32 ,
即 PQ+CQ 的最小值为 42 ,故 C 正确;
如图,连接 PF ,交 B1D1 于点 O1 ,连接 PE ,
若 P 是棱 A1B1 的中点,则 ∠FEP=90∘ ,
所以 FP 是 △PEF 外接圆的一条直径,所以 O1 是 △PEF 外接圆的圆心,
过点 O1 作平面 ABCD 的垂线,则三棱锥 P−CEF 的外接球的球心 O 一定在该垂线上,
连接 OP ,设 OO1=t ,则 22+t2=R2 ,
连接 OC,12AC=1242+42=22 ,所以 4−t2+222=R2 ,
所以 22+t2=4−t2+222 ,解得 t=52 ,
所以 R2=22+254=414 ,易得截面的面积为 81π8 ,故 D 正确;
故选: ACD.
12. -3；13. 10；14. 1981
15. (本小题 13 分)
在 △ABC 中,角 A,B,C 对应的的三边分别是 a,b,c ,且 2a−bc=2csB .
(1) 求角 C 的值;
(2) 若 c=1,2tanA=3tanB ,求 △ABC 的面积.
【答案】解:(1)因为 2a−bc=2csB ,所以 2sinA−sinB=2sinCcsB ,
则 2sinB+C−sinB=2sinCcsB ,
所以 2sinBcsC=sinB,00,
所以 g(x) 在 (1,+∞) 上单调递增, 有 g(x)>g(1)=0,
因此 ∗ 式无解，即不存在 a 使 f(x) 的极值差比系数为 2−a 。
（3）由（2）知极值差比系数为 2−ax1−x2ln⁡x1x2 ，
即 2−x1+x2x1−x2ln⁡x1x2 ，不妨设 00,
所以 p(t) 在 14,12 上单调递增, 所以 p14≤p(t)≤p12,
即 2−103ln⁡2≤p(t)≤2−3ln⁡2 。
故 f(x) 的极值差比系数的取值范围为 2−103ln⁡2,2−3ln⁡2.