2024-2025学年安徽省六安市毛坦厂中学教育集团高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年安徽省六安市毛坦厂中学教育集团高一（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，则(2+3i)(4−i)=( )
A. 10iB. 11+10iC. 11iD. 10+11i
2.已知向量a=(−1,12)，b=(1,m)，若a⊥b，则|b|=( )
A. 3B. 2C. 5D. 5
3.下列说法错误的是( )
A. 为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式
B. 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
C. 抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法
D. 某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈
4.已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中O′A′//B′C′，∠O′A′B′=90°，O′A′=2，B′C′=4，则原四边形OABC的面积为( )
A. 24 2
B. 12 2
C. 6 2
D. 3 2
5.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A. 若α⊥β，m⊥α，m//n，则n//β
B. 若m//β，n//β，m⊂α，n⊂α，则α//β
C. 若m//α，m⊂β，α∩β=n，则m//n
D. 若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m//n
6.某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为( )
A. 168，35B. 168，20C. 169.6，35D. 169.6，20
7.已知一组数据1，2，3，4，x(00，则事件A，B相互独立与互斥能同时成立
D. 若A，B，C两两独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为AB的中点，点P是正方形ABB1A1内的一点(包含边界)，则下列说法正确的是( )
A. 正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的表面积为12π
B. 二面角D1−EC−B的正切值为− 55
C. △PD1C的周长的最小值为2 6+2 2
D. 若C1P//平面D1CE，则点P的轨迹长度为 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若圆台上、下底面直径分别为2和4，高为 3，则此圆台的体积为______．
13.某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为70，方差为95，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后的方差是______．
14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=π3,a= 3，则b+csinB+sinC= ______；若△ABC的外接圆的圆心是O，则AO⋅(AB+AC)的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手.在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为23；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为25．
(1)求双方需要进行第三局比赛的概率；
(2)若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率．
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，A1B1的中点．
(1)证明：平面BC1E//平面A1DC；
(2)若三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线A1D与BC1所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组[50,60)，第二组[60,70)，第三组[70,80)，第四组[80,90)，第五组[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求a的值及参赛歌手的平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的40%分位数；
(3)从参赛成绩在[50,60)和[90,100]的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在[50,60)和[90,100]内各1人的概率．
18.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b−a)(b+a)=c(b−c)．
(1)求角A的大小；
(2)若b=2，c=3，点D是边BC上的一点，且BDDC=32，求AD的长；
(3)若△ABC是锐角三角形，b=1，点E为AB的中点，求CE的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB⊥AD，AB=BC=AP=2，AD=4．
(1)证明：CD⊥平面PAC；
(2)求二面角B−PC−D的大小；
(3)点T是棱PC上的动点(不包括端点)，求直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：(2+3i)(4−i)=8−2i+12i+3=11+10i．
故选：B．
利用代数形式的复数乘法计算得解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为a⊥b，所以a⋅b=−1+12m=0，解得m=2，所以|b|= 12+22= 5．
故选：C．
根据垂直向量的数量积的坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案．
本题考查向量垂直的坐标运算，向量的模，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，抽样调查适用于调查对象数量庞大，耗时耗力，我国中学生的数量庞大，全面调查不适用，故A正确；
对于B，根据频率与概率的关系，频率随试验次数增加趋于稳定，这个稳定值即为概率，故B正确；
对于C，抽签法和随机数法是简单随机抽样的两种基础方法，符合定义，故C正确；
对于D，由概率的定义，某种疾病的治愈率为10%，则第10个人的治愈率仍为10%，故D错误．
故选：D．
根据抽样调查的概念判断，再根据频率与概率关系，抽样的概念的，再根据概率的定义求解．
本题考查概率的定义，注意概率与频率的关系，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，四边形OABC的直观图为直角梯形O′A′B′C′，
其中O′A′//B′C′，∠O′A′B′=90°，O′A′=2，B′C′=4，
则直观图的面积为S′=12(2+4)×(4−2)tan45°=6，
故原图四边形OABC的面积为S=2 2S′=2 2×6=12 2．
故选：B．
结合图形先求出梯形O′A′B′C′的面积，再利用直观图与对应的平面图的面积之间的关系即可求得四边形OABC的面积．
本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：若α⊥β，m⊥α，m/​/n，则n⊂β或n/​/β，故A错误；
若m//β，n/​/β，m⊂α，n⊂α，当m，n不相交时，不一定有α/​/β，故B错误；
若m/​/α，m⊂β，且α∩β=n，由直线与平面平行的性质可得m/​/n，故C正确；
若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n，故D错误．
故选：C．
运用线面平行、垂直，面面平行、垂直判定和性质，逐个判断．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：已知样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，
男学生和女学生人数比例为600：400=3：2，
故样本中男生人数为50×33+2=30人，女生人数为50×23+2=20人，
样本的平均数为3020+30×172+2020+30×162=168，
样本的方差为3050×[9+(172−168)2]+2050×[14+(162−168)2]=35．
故选：A．
先得到样本中的男生和女生人数，进而利用平均数和整体方差的求解公式进行计算．
本题考查平均数以及方差的计算相关知识，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：一组数据1，2，3，4，x(0