河南省郑州市中原区郑州一中2024-2025学年高一下期末数学试卷

这是一份河南省郑州市中原区郑州一中2024-2025学年高一下期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟满分:150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2024福建泉州期末)若复数z满足z=(2+i)·i,则复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.(2024贵州遵义阶段练习)欧几里得大约生活在公元前330年至公元前275年，著有《几何原本》《光学》《曲面轨迹》《已知数》等著作.若从这4部著作中任意抽取2部，则抽到《光学》的概率为 ()
A. 14B. 12C. 13D. 23
3.(2024广州期末)已知向量a,b不共线,满足|a+b|=|a-b|,则a-b在b上的投影向量为( )
A. aB. b C.−12bD.-b
4.(2024 山东临沂期末)若水平放置的平面四边形AOBC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中A'C'∥O'B',B'C'⊥O'B',A'C'=1,O'B'=3,则原四边形AOBC的面积为( )
A.2 2B.4C.4 2D.8 2
5.(2024福州期末)如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列结论中错误的是( )
A.圆锥的轴截面为直角三角形
B.圆锥的表面积大于球的表面积的一半
C.圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为π
D.圆锥的体积与球的体积之比为1：4
6.(2024甘肃陇南期末)已知平面向量a,b,c 满足|a|=|b|=4,|c|=2,a·b=-8,若c=λa+μb(λ∈R,μ∈R),则2λ+μ的取值范围是
( )
A.−463463B.[3,-3]c.[2,−212]D.[-2 6,2 6题号
一
二
三
四
总分
得分





7.如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是 ()
A.①②B.②④C.①③D.②③
8.(2024吉林东北师大附中阶段练习数学文化)八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH,其中O为正八边形的中心,且IOAI=1,则下列结论不正确的是( )
A.HC+2OG−CD=0
B.OA⋅HO=22
C.∣BD−ED∣=2+2
D.AF在 DB上的投影向量为 1+22DB
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.(2024贵州遵义期末)已知事件A，B发生的概率分别为 PA=13, PB=14,则下列说法正确的是( )
A.若A与B相互独立，则 PA∪B=12
B.若 PAB=14,则A与B相互独立
C.若A与B互斥，则 PA∪B=12
D.若B发生时A一定发生，则 PAB=14
10.(2024 安徽亳州期末)已知等腰△ABC 中,底边BC=8,点 D 满足 BD=3DC,AB⋅AD=0,点.M是△ABC的外接圆O上的任意一点，则( )
A.AD=14AB+34AC
B.cs∠BAC=−14
C.外接圆半径为3 2
D.AM⋅AB的最大值为 12+123
11.(2024山西长治期末)已知球O内切于圆台(即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切)，若圆台的上、下底面半径分别为r₁，r₂ (r112S2故 B 中结论正确；对于C，圆锥的母线长为 2R，底面周长为2πR，所以圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为 2πR2R=2π,故 C 中结论错误；
对于D V圆锥侧=13⋅πR2⋅R=13πR3,VR=43πR3,故 V图验： V球=1:4,故 D 中结论正确.
故选C.
6. B 因为|a|=|b|=4,|c|=2,a·b=-8,且c=λa+μb(λ∈R,μ∈R),
所以 c2=λa+μb2=λ2∣a∣2+μ2∣b∣2+2λμa⋅b=16λ2+ 16μ2−16λμ=4,
所以 2λ−μ2+3μ2=1,令2λ-μ=csθ, 3μ=sinθ,所以 2λ+μ=csθ+233sinθ=213sinθ+,答案速查
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
D
D
C
B
B
B
ABD
ACD
ABD
其中 cs=277,sin=217,
所以 2λ+μ∈−213213,即 2λ+μ 的取值范围年 −213213
故选 B.
7. B 对于①,易证AB与CE所成的角为45°,则直线AB 与平面CDE不垂直;对于②,易证AB⊥CE,AB⊥ED,又CE∩ED=E,CE,ED⊂平面CDE,则AB⊥平面CDE;对于③,易证AB与CE 所成的角为60°,则直线AB 与平面 CDE 不垂直;对于④,连接AC,AD,易证ED⊥平面ABC,则ED⊥AB,易证EC⊥平面ABD,则EG⊥AB,又ED∩EC=E,EC,EDC平面CDE,所以AB⊥平面 CDE.
故选 B.
8.BHC+2OG−CD=HC+CG−CD=HG−CD=0,A中结论正确；
OA⋅HO=−OA⋅OH=−∣OA∣⋅∣OH∣cs45∘=−22,B中结论不正确；
∣BD−ED∣=∣BD+DE∣=∣BE∣=∣OE−OB∣,
1=2+2,所以 ∣BD−ED∣=2+2,C中结论正确；
AF在 DB上 的 投 影 向 量 为 AF⋅DB∣DB∣⋅DB∣DB∣= OF−OA⋅OB−OD∣OB−OD∣2⋅DB
=OF⋅OB−OF⋅OD−OA⋅OB+OA⋅OD|OB2−2OD⋅OB+OD2⋅DB
=cs180∘−cs90∘−cs45∘+cs135∘1−2cs90∘+1⋅DB=−1−22⋅DB =−1+22DB,D中结论正确.
故选B.
二、多项选择题
9.对于A, 若A与B相互独立, 则P (AB) =P (A) 。
PB=13×14=112,所以P (AAB) =P (A) +P (B) - PAB=13+14−112=12,故A 正确；
对于B，因为 PB=14,所以 PB=1−PB=1−14=34,又 PA=13,
所以 PAPB=13×34=14=PAB,所以A与B相互独立，故B正确；
对于C，若A 与B互斥，则 PA∪B=PA+PB=13+ 14=712,故C错误；
对于D,若B发生时A 一定发生,则 B⊆A,则 P(AB)= PB=14,故 D 正确.
故选 ABD.
10.自动呼叫分流器因为，所以 BD=34BC,所以 AD=AB+BD=AB+34BC=AB+34AC−AB=14AB+ 34AC,故A正确；
因为 BC=8,BD=3DC,所以BD=6, DC=2,
易知 cs∠ADC=csπ−∠ADB=−cs∠ADB=−ADBD,AC2= AB2=BD2−AD2=36−AD2,
由余弦定理可得 AC2=AD2+DC2−2AD⋅DCcs∠ADC= AD2+4+2AD×2×AD6,
即 36−AD2=AD2+4+2AD×2×AD6=4+53AD2,
解得 AD=23,则 AB=AC=26,则 sin∠ABC=ADBD= 236=33,
所以cs∠bac= cs (π-2∠abc) =-cs2∠abc= - (1-
2sin2∠ABC)=2×332−1=−13,故B错误；
设外接圆的半径为 R，
由正弦定理得 解得 R=32,故 2R=ACsin∠ABC=2633=62,C正确；
易得 cs∠BAO=sin∠ABC=33,
AM⋅AB=AO+OM⋅AB=AB⋅AO+AB⋅OM,
易知 AB⋅AO=∣AB∣⋅∣AO∣cs∠BAO=26×32×33=12,当 OM→‖AB→且同向时， AB⋅OM取最大值，为 26×32=12 3
所以 AM⋅AB的最大值为 12+123,故D 正确.故选 ACD.
名师点睛 (1)平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现.
(2)正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用、
.提醒：运算两平面向量的数量积时，要注意两向量的方向、
11. ABD 作出该几何体的轴截面，如图，其中圆O 为等腰梯形ABCD的内切圆,O₁,O₂分别为AD,BC的中点,M为圆O与AB的切点，
设球的半径为r，连接OA，OB，
易知00₁=唵、OA办公自动化,OO∠₁====∠OMA=
所以△OO₁A≌△OMA,所以OA平分∠O₁OM,
同理可得OB平分∠O₂OM,所以∠AOB=90°,
所以由 ∠AOO1+∠OAO1=∠AOO1+∠BOO2=90∘得 ∠OAO1=∠BOO2,
同理可得 ∠AOO1=∠OBO2,,所以△AOO△OBO△,所以 O1AO2O=OO1BO2,即 r1r=rr2,所以 r2=r1r2=4,故球O的体积 V=43πr3=32π3,A正确；
该圆台的体积 V1=13π×2rr12+r1r2+r22=4π3r12+r22+4, r12+r22≥2r12r22=2r1r2=8,当且仅当 r1=r2时等号成立，又r14π3×8+4=16π,B正确；
易知 AB2=OA2+OB2=OO12+O1A2+OO22+O2B2=2r2+r12+r22= 8+r12+r22≥8+8=16,当且仅当 r1=r2时等号成立，又 r14,
r1+r2≥2r1r2=4,当且仅当 r1=r2时等号成立，又r14,
所以圆台的侧面积 S=π⋅ABr1+r2>16π,C错误；
cs∠OBO2=O2BOB=r2r22+r2=r2r22+4,
所以 cs∠ABO2=cs2∠OBO2=2cs2∠OBO2−1=r22−4r22+4,
又因为₁r₂=4,所以 cs∠ABO1=r1−4r1r1+4r2=r2−r1r2+r1,即圆台的母线与底面所成角的余弦值为 r2−r1r2+r1,D正确.
故选 ABD.
三、填空题
12.答案18/49
解题思路 在平行四边形 ABCD 中,∠CGE = ∠AGD,∠ECA=∠DAG,
所以△CGE△AGD, 所以 CEDA=CGCA=34,
所以 CG=37CA=−37AB−37AD,
又 CG=mAB+nAD,所以 m=n=−37,所以 m2+n2=1849.
13.答案 50
解题思路设这三种型号的零件共抽取的个数为n，90由题意得 n×32+3+5=15解得n=50.
14.答案60
解题思路设PO=a米,AB=BD=x米,
由∠Pa=30°, 得 OA=3a米, 同理可得OB=A米, OC= 3a米，
由D为OC上靠近O点的三等分点，得 OD=33a米，在△OAB, △OAD中, cs∠OAD=3a2+x2−a223ax= 3a2+4x2−13a243ax,解得 x=63a,
在△OAC; △OAD中, 。 cs∠COA=3a2+3a2−12026a2= 3a2+13a2−83a22a2,解得a=60.故塔高PO=60米.
四、解答题
15.解题思路(1)由正弦定理得 3c−ba=3a−2bc+b,即 a2+b2− c2=23ab, (2分)
故(4分) csC=a2+b2−c22ab=23ab2ab=13,
又C∈(0,π),所以 C∈0π2,所以 sinC=1−cs2C=1−19=223.(6分)
(2)由(1)知 sinC=223,csC=13,
在△ACE中，由余弦定理可得 AE2=CE2+AC2−2⋅CE⋅ACCOSC, (8分)
即 323=a24+b2−ab3≥2a24⋅b2−ab3=2ab3,(10分)
所以ab≤16，当且仅当 12a=b时等号成立，(12分)
所以 S△ABC=12absinC=23ab≤1623,故△ABC 面积的最大值为 1623. (13分)
16.解题思路 (1)40 名学生中周末的学习时间在〔20，25)的人数为0.03×5×40=6,
周末的学习时间在[25,30]的人数为0.015×5×40=3,
(2分)
用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人，则6人中周末的学习时间在[20,25)的有4人,记为A,B,C,D,周末的学习时间在[25,30]的有2人,记为a,b,
从中抽取3人接受检测的基本事件有ABC，ABD，ABa，ABB, ACD, ACA, ACB, ADA, ADB, AAB, BCD, BCA,, BDA, BDB, BAB, CDA, CDB, CAB, DAB, 共20个个,其中检测的3人来自同一区间的基本事件有ABC，ABD，ACD,BCD,共4个, (4分)
所以检测的3人来自同一区间的概率 P=420=15.(6分)
(2)周末学习时间在5小时以下的频率为0.02×5=0.10.25, (10分)
所以25%分位数在区间[5,10)内,(12分)
则 5+5×0.25−0.10.3−0.1=8.75,(14分)
所以这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75小时.
(15分)
17.解题思路 (1)证明:由题意得 PA⊥AC,AE⊥CP,又AE⊥BE,CP∩BE=E,CP,BE⊂平面PBC,所以AE⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,所以AE⊥BC,
(2分)
易知AC⊥BC,又AE∩AC=A,AE,AC⊂平面 PAC,所以BC⊥平面PAC, (4分)
{}{}
又AC∩BC=C,AC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥平面ABC,
又 PA⊂平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面ABC.(6分)
(2)过点 E 作 EF∥PA 交AC 于 F,由(1)知,PA⊥平面美国广播公司 (ABC) 、UNK0广播公司 (EF) 、则广播公RAHE平面网面广,所以屏上ABC过 F作 FO⊥AB于O,连接EO,
又EF∩FO=F,EF,FO⊂平面EFO,所以AB⊥平面EFO,又EO⊂平面EFO,所以AB⊥EO,
又EO⊂平面EAB,FO⊂平面ABC,所以∠EOF 是二面角E-AB-C的平面角, (8分)
由(1)知二面角P-AB-C是直二面角，它被半平面 EAB 分成两个二面角，
因此二面角 P-AB-E的大小等于 π2−∠EOF, (10分)令PE=1, 易知 ∠PAE=∠PCA=∠DCA=π6,则PA=2, PC=4, AC=2 3, BC=PA=2, AB=PC=4, AE= 3 BE= AB2−AE2=13,
所以 OE=AE⋅BEAB=394,易知 EFPA=ECPC=34,则 EF=32,
(12分)
所以BC| csπ2−∠EOF=sin∠EOF=EFOE=32394=23913.
(14分)
所以二面角P-AB-E的余弦值是 23913.(15分)
18.审题指导(1)写出两复数对应的向量 OZ1,OZ2的坐标，利用向量共线的坐标表示计算即可；
(2)利用三角恒等变换将函数f(x)化成正弦型函数，求得f(x)的最小正周期，利用正弦函数的单调递增区间求解即可.
解题思路 (1)复数. z1=x+2i,z2=1+x−1ix∈R的对应向量分别为 OZ1=x2,OZ2=1x−1,
由 OZ1//OZ2可得X (X-1) =2,(4分)
解得x=2或.x=-1.(6分)
(2)由题意得 OZ1=13sinx,OZ2=cs2x2csx,(8分)则 fx=OZ1⋅OZ2=cs2x+23sinxcsx=cs2x