广东省深圳市深圳盟校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份广东省深圳市深圳盟校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为.
故选：C
2. 直线的一个方向向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，所以直线的斜率为，
又当直线斜率存在时，直线的一个方向向量为，所以直线的一个方向向量为，
故选：C.
3. 若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设直线所成角为，
所以，
所以.
故选：B
4. 已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】由，得，故圆心为，
又因为圆关于直线对称，
故圆心在直线上，则.
故选：A
5. 已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. [1,4]
【答案】D
【解析】记为点，则直线PA的斜率，直线PB的斜率，
因为直线过点，且与线段AB相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是[1,4].
故选：D．
6. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】因为，
所以，则或.
故选：D
7. 在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】如图，以为原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如下所示：
易知，，;
取，
，
则，
所以点到直线的距离为．
故选：C.
8. 已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知:圆的圆心为，半径，
设中点为，则，且，可得，
又因为，可知为等腰直角三角形，
则，可得，
故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
因为直线上存在点使得，
即直线与圆有交点，
即圆心到直线的距离，解得或.

故选：A.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线过点，且在轴上的截距是轴上的截距的3倍，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】当截距为0时，设直线的方程为，
将点代入可得，所以，即;
当截距不等于0时，设直线的方程为，
将点代入可得，解得，
所以直线的方程为，即，
所以直线的方程为或.
故选：BD.
10. 下列圆中与圆相切的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】由题知，圆的圆心为，半径为4.
A选项，的圆心为，半径为2，
故，
由于，所以圆与内切，A正确；
B选项，的圆心为，半径为1，故，
由于，故圆与外切，B正确；
C选项，的圆心为，半径为4，
故，
由于，故圆与不相切，C错误;
D选项，的圆心为，半径为1，
故，
由于，故圆与不相切，D错误.
故选：AB．
11. 如图，四棱锥中，底面，底面为正方形，且，分别为的中点，则（ ）
A.
B. 与所成角的余弦值是
C. 点到平面的距离为
D. 过点平面截四棱锥的截面面积为
【答案】AC
【解析】如图，以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
，，所以，故A正确；
，则与所成角的余弦值为，故B错误；
，设平面的法向量为，
则令，可得，
则点到平面的距离为，故C正确；
设过点的平面与线段的交点为，
则，
因为共面，则共面，
故存在唯一实数对使得，
即，
所以 解得，
所以，则，因为，
所以，
所以过点的平面截四棱锥的截面面积为
，故D错误．
故选：AC
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则线段的中点坐标为___________.
【答案】
【解析】因为，所以线段的中点坐标为，
故答案为：.
13. 若直线与直线平行，则与之间的距离为___________.
【答案】
【解析】因为直线与直线平行，
所以直线斜率存在，且，得到，此时，
即，满足，
所以与之间的距离.
14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________.
【答案】
【解析】法一：因为平面的方程为，
所以平面的一个法向量，
又直线:上有两个点，
所以直线的方向向量为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
法二：由题知两平面与的法向量分别为
，
设直线的一个方向向量，
则即，取，则，
又平面的法向量，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求满足下列条件的圆的标准方程.
（1）圆心为，经过点；
（2）圆心在直线上，且与轴交于点.
解：（1）由两点间的距离公式可得圆的半径
故圆的标准方程为
（2）因为圆与y轴交于点，所以圆心在直线y=3上.
又圆心在直线上，所以圆心的坐标为，
所以圆的半径，
故圆的标准方程为.
16. 已知向量，，.
（1）当时，若向量与垂直，求实数的值；
（2）若向量与向量、共面，求实数的值.
解：（1）因为，所以，解得，
即.
由，且，
得，解得.
（2）因为向量与向量、共面，所以设，
因此，
即，解得，故的值为.
17. 已知的三个顶点是.
（1）求BC边上的高所在直线的方程;
（2）若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程.
解：（1）因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为1，
所以BC边上高所在直线为，即.
（2）因为点A，B到直线的距离相等，所以直线与AB平行或过AB的中点，
①当直线与AB平行，所以，
所以，即.
②当直线过AB的中点，所以，
所以，即.
综上，直线的方程为或.
18. 已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点N，O为坐标原点.（M，N与不重合）
（1）求证：的面积为定值;
（2）设直线与圆交于点A，B，若，求实数的值；
（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线和圆上的动点，求|PQ|的最小值及此时点的坐标.
解：（1）由圆的方程，
化简得，
其与轴，轴的交点分别为:，
所以为定值.
（2）如图①所示，因为，所以.
又OC的斜率，所以，解得（负数舍去），
（3）如图②所示，由②知:圆的方程为:，圆心，半径.
设点关于直线的对称点为，
则中点为，且
解得，即，
则，
又点到圆上点的最短距离为，
则的最小值为，
此时直线的方程为:，
即.
点为直线与直线的交点，则解得即点
19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
（1）证明：因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面内，所以平面；
（2）解：由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨令，则，，.
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
（3）解：假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，则有，
即，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，
即，
不妨令，则，，
所以，
若平面与平面成角余弦值为.
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或.