浙江省A9协作体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省A9协作体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 直线l：x+y﹣3＝0的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直线的斜率,故倾斜角满足,
又,故.
故选：C.
2. 向量，，若，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】由可得，
因此可得，解得.
故选：B.
3. 若点在圆内，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题可知，，解得.
故选：D.
4. 若直线与直线垂直，则的值是（ ）
A. 2B. 0C. 0或2D. 2或
【答案】C
【解析】直线与直线垂直，
则，解得或.
故选：C.
5. 已知椭圆的下焦点是，上焦点是，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设点，由题意可知：，所以，
所以，因为线段的中点在轴上，
所以由中点坐标公式可知：，所以，
代入椭圆方程得：，所以点，
则，，
所以.
故选：A.
6. 已知平面上两定点，则满足（常数且）的动点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知在中，，，则面积的最大值是（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】在平面直角坐标系中，不妨设
因为，
得，
化简得，，
易知，该圆圆心 ，三点共线，该圆半径，
所以面积的最大值是.
故选：D.
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于、两点，其中为上顶点，且，则椭圆的离心率（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，，设则由，
可得，
解得，即，
又在椭圆上，故，即，
故，即离心率.
故选：B.
8. 一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 与，
作与，
直线的方程为，
故，
又可得，，
，，
，
从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间为小时.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列选项正确的是（ ）
A. 空间向量与垂直
B. 已知空间向量，，则在方向上的投影向量的模为
C. 已知向量，，，若可作为一组基底，则可取1
D. 若和分别是直线和直线的方向向量，则两直线所成夹角为
【答案】BC
【解析】对于A，由向量与，
得，不垂直，A错误；
对于B，向量，，在方向上的投影向量，其模为，B正确；
对于C，当时，，假定共面，即存在有序数对使得，
则，于是，此方程无解，因此不共面，
即当时，可作为一组基底，C正确；
对于D，由，而，解得，
直线所成夹角为，D错误.
故选：BC.
10. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A. 过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8
B. 存在点，使得的长度为4
C. 椭圆上存在4个不同的点，使得
D. 内切圆半径的最大值为
【答案】ACD
【解析】对A，由题意，则，
故，解得，故椭圆，
则过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为，故A正确；
对B，根据椭圆性质可得，即，故，
即不存在点，使得的长度为4，故B错误；
对C，根据可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括两点，
易得该圆与椭圆有四个交点，即椭圆上存在4个不同的点，使得，故C正确；
对D，的周长为，设的内切圆半径为，
则，故当最大时最大，此时为上下顶点，
，则，解得，故D正确.
故选：ACD.
11. 在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有（ ）
A. 曲线恰好经过9个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
B. 曲线夹在直线和直线之间
C. 曲线所围成区域面积是所围成区域面积的9倍
D. 曲线上任意两点距离都不超过
【答案】ABC
【解析】A选项，，，有，
，，有，
，时，有，
，时，，
画出图形，如下：
经过的整点有：，，，，，，，，，共9个，故A正确；
B选项，曲线，
当，，有，即，
当，，有，即，
当，，有，即，
当，，有，即，
画出图形，如下：
其中，，
故，则，
故曲线由四个弓形组成，弓形的弓高为，
是夹在直线和直线之间，故B正确.
C选项，由A选项知，表示的图形可以分解为一个正方形和四个半圆，
其中正方形边长为，半圆半径为，故其面积为，
同理，曲线也可以分解为一个正方形和四个半圆，
其中正方形边长为，半圆半径为，其面积为，
所围成区域面积为所围成的区域面积的9倍，C正确；
D选项，当，，有，即，
当，，有，即，
当，，有，即，
当，，有，即，
画出图形，如下：
连接两圆心并延长，分别与两圆交于，则，D错误.
故选：ABC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线经过的定点坐标为__________.
【答案】
【解析】，即，
则，解得，则其经过定点.
13. 在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们两两所成夹角都是，则线段的长度为__________.
【答案】
【解析】因为，
所以
，
则.

14. 若点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是________．
【答案】
【解析】
，
当且仅当，等号成立，
令，即，代入椭圆方程得，
由，解得，
，
则，当时等号成立，
故的最小值是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知的顶点在直线上运动，点为，点为.
（1）求直线的方程；
（2）的面积是否为定值？若是，求出该值.若不是，说明理由.
解：（1）由，得，
由点斜式方程，化简得.
（2）的面积为定值，
由于，故，
又点在直线上运动，
故点到直线的距离为定值，即为两平行直线的距离，，
，
.
16. 在平面直角坐标系中，已知圆及点和
（1）若斜率为1的直线过点，且与圆相交，截得的弦长为，求圆的半径；
（2）已知点在圆上，且，若点存在两个位置，求实数的取值范围.
解：（1）圆化为，故，解得，
所以圆心为，
直线的方程为，圆心到直线距离为，
由垂径定理得，解得.
（2）点在以为直径的圆上，
由于点和，故此圆方程为，
从而圆与圆有两个交点，其中圆心距，
只需满足，
得，即，解得.
17. 如图，，，且，平面平面，四边形为正方形.

（1）求证：.
（2）若点在线段上，且点到平面距离为，求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：如图，连接，，，，

又，，，又平面平面，且交线为，平面，且平面,，
而四边形为正方形，则，且，平面，平面，平面，.
（2）解：，平面平面，且交线为，平面，平面，平面，故平面平面，
从而点到平面的距离为点到直线的距离，且为，
又点在线段上，且点到平面距离为，
故点为线段的三等分点（靠近点）.
如图，取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，.
又，，设平面的法向量，
则，不妨令，可得，
，，设平面的法向量，
则，不妨令，可得，
故平面的法向量
设平面与平面所成角为，，
由图可知平面与平面所成角为锐角，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
18. 已知椭圆左、右焦点分别为，，点在椭圆上，过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于、两点，且，当直线的斜率为0时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；
（3）求四边形的面积的最小值.
解：（1）当直线的斜率为0时，直线垂直于轴，
，，即，
在上，所以，
解得：，，所以椭圆方程为；
（2）由（1），，设，
则
因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值2
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值3，
所以的取值范围为
（3）（i）当的斜率存在且时，的方程为，
代入椭圆方程，
并化简得，必有，
设，，则，，
；
因为与相交于点，且的斜率为，
所以.
四边形面积
，
当时，上式取等号.
（ii）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积6.
综上，四边形的面积的最小值为.
19. 在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示.（其中，，，且），且空间向量为该平面的一个法向量.有四个平面，，，
（1）若平面与平面互相垂直，求实数的值；
（2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为；
（3）若四个平面，，，围成的四面体的外接球体积为，求该四面体的体积.
解：（1）根据题意，平面的法向量，平面的法向量，
所以，故.
（2）不妨设，在平面内取一点，
则向量，
取平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为.
（3）由，
解得交点，
同理，可得其它交点，，，
又四面体外接球体积为，
故外接球半径，
设球心为，则，即有
得或，
当球心坐标为时，，
得（舍去），
当球心坐标为时，，
得（舍去）或，故，
所以到平面即的距离为
，
又是正三角形，所以，
故.