华师版八年级数学上册 第14章　勾股定理 单元测试卷（2024年秋）

这是一份华师版八年级数学上册 第14章　勾股定理 单元测试卷（2024年秋），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．[2024·宁德八年级期末]如图，有两棵树，一棵高20 m，另一棵高10 m，两树相距24 m，若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行( )
A．26 mB．30 mC．36 mD．40 m

(第1题) (第3题) (第5题) (第7题)
2．[2024·鄞州实验中学期中]用反证法证明“若实数a，b满足ab＝0，则a，b中至少有一个是0”时，应先假设( )
A． a，b中至多有一个是0B． a，b中至少有两个是0
C． a，b中没有一个是0D． a，b都等于0
3．[2024·汝州八年级期末]在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C三点均在小正方形顶点上，则下列结论错误的是( )
A． AB＝20B．∠BAC＝90°
C． S△ABC＝10D．点A到直线BC的距离是2
4．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋｜a2＋b2－c2｜＝0，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
5．[2024·青岛市南区期末]葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，把树干看成圆柱体，如图是葛藤盘旋一圈的示意图．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高4．8 m，树干底面周长是1 m，则这段葛藤的长是( )
A．2．6 m B．5 mC．5．2 m D．5．6 m
6．一艘快艇欲驶向正东方向24 km远的A处，速度为50 km/h，由于水流原因，半小时后快艇到达位于A处正南方向的B处，此时快艇距离A处( )
A．25 kmB．24 kmC．7 kmD．1 km
7．[新考法·折叠对称法]如图，将长方形纸片ABCD折叠，折痕为CE，且D点落在对角线AC上的D'处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为( )
A．32B．3C．1D．43
8．如图为某楼梯的示意图，测得楼梯的长为5 m，高为3 m．计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要( )
A．5 mB．7 m
C．8 mD．12 m
9．[新考法·数形结合法]有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是( )
10．[2023·南充]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，作DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是( )
A．∠CAD＝∠BADB． CD＝DE
C． AD＝75D． CD∶BD＝3∶5
二、填空题(每题3分，共24分)
11．在Rt△ABC中，斜边AB＝5，则AB2＋AC2＋BC2＝ ．
12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝17，BC＝16，AD＝15，则AB的长为 ．

(第12题) (第14题) (第15题) (第16题) (第17题)
13．若直角三角形两条边的长分别为8和15，且第三条边的长为整数，则第三条边的长为 ．
14．[2024·泉州第五中学模拟]如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点D为△ABC内一点，且AD＝8 cm，如果将△ABD按逆时针方向旋转到△ACE的位置，那么DE的长度为 cm．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，若AC＝4，CE＝5，则CD的长为 ．
16．[2024·南通崇川区八年级期末]如图，AD是△ABC的高，分别以线段AB，BD，DC，CA为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为 ．
17．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1．在AC上有一动点P，则EP＋BP的最短长度为 ．
18．[新趋势·传承数学文化 2023 南通]勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a＝12m2－12，c＝12m2＋12，m是大于1的奇数，则b＝ (用含m的式子表示)．
三、解答题(19～21题每题10分，22～24题每题12分，共66分)
19．如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14．求AB的长．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝DB＝13，△ABD的面积为78，求CD的长度．
21．[2024·南宁天桃实验学校月考]用反证法证明：
(1)已知：a＜｜a｜，求证：a必为负数；
(2)求证：形如4n＋3(n为整数)的整数k不能化为两个整数的平方和．
22．如图，一只蜘蛛在一个长方体实心木块的顶点A处，一只苍蝇在这个长方体实心木块的顶点G处．若AB＝3 cm，BC＝5 cm，BF＝6 cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘蛛走过的路程是多少？
23．[2024·驻马店八年级期末]周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，如图，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1．65米．
(1)求风筝的垂直高度CE．
(2)如果小明想将风筝沿CD方向下降7米，则他应该往回收线多少米？
24．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝18，点D在AB边上，连结CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连结BE，DE．
(1)求证：△CAD≌△CBE．
(2)若AD＝2时，求CE的长．
(3)点D在AB上运动时，试探究AD2＋BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
答案
一、1．A 【点拨】如图，建立数学模型，则CD＝20 m，BE＝10 m，DE＝24 m，四边形ABED是长方形，∴两棵树的高度差AC＝CD－AD＝CD－BE＝20－10＝10(m)，间距AB＝DE＝24 m，∴根据勾股定理可得，小鸟至少飞行的距离BC＝AC2＋AB2＝102+242＝26(m)．故选A．
2．C
3．C 【点拨】∵AC＝12＋22＝5，AB＝22＋42＝20，BC＝32＋42＝5，∴AB2＋AC2＝BC2．∴∠BAC＝90°，故A，B选项正确；S△ABC＝4×4－12×3×4－12×4×2－12×2×1＝5，故C选项错误；设点A到直线BC的距离是d，则S△ABC＝12BC×d＝5，∴d＝5×25＝2，故D选项正确．故选C．
4．C 【点拨】∵(a－b)2＋｜a2＋b2－c2｜＝0，(a－b)2≥0，｜a2＋b2－c2｜≥0，∴(a－b)2＝0，a2＋b2－c2＝0．∴a＝b，a2＋b2＝c2．∴△ABC是等腰直角三角形．
5．C 6．C
7．A 【点拨】在长方形ABCD中，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠D＝∠B＝90°，∴AC＝AB2＋BC2＝5．
根据折叠可得△DEC≌△D'EC，∴D'C＝DC＝3，DE＝D'E，∠ED'C＝∠D＝90°．∴AD'＝AC－CD'＝2，∠AD'E＝90°．设ED＝x，则D'E＝x，AE＝4－x．∵在Rt△AED'中，D'A2＋D'E2＝AE2，∴22＋x2＝(4－x)2，解得x＝32．即ED＝32．
8．B 【点拨】由勾股定理得，楼梯的水平宽度＝52－32＝4(m)，∴地毯的长度至少是3＋4＝7(m)．
9．C 【点拨】∵72＋202≠252，152＋202≠242，∴选项A给出图中的两个三角形不是直角三角形，不符合题意；∵72＋242＝252，152＋202≠242，∴选项B给出图中的一个三角形是直角三角形，另一个不是直角三角形，不符合题意；
∵72＋242＝252，152＋202＝252，∴选项C给出图中的两个三角形是直角三角形，符合题意；∵72＋202≠252，152＋242≠252，∴选项D给出图中的两个三角形不是直角三角形，不符合题意．故选C．
10． C 【点拨】由题意可知，AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD，故A结论正确，不符合题意；∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴由角平分线的性质得CD＝DE，故B结论正确，不符合题意；在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝AB2－AC2＝8．∵S△ABC＝S△ACD＋S△BAD，∴12AC·BC＝12CD·AC＋12AB·DE．∴12×6×8＝12×CD×6＋12×10×CD．∴CD＝3．∴AD＝AC2＋CD2＝45，故C结论错误，符合题意；∵CD＝3，BD＝BC－CD＝5，∴CD∶BD＝3∶5，故D结论正确，不符合题意．故选C．
二、11．50 12．17
13．17 【点拨】当15为直角边长时，斜边长为152＋82＝17；当15为斜边长时，另一直角边长为152－82＝161(不合题意，舍去)．
14．128 【点拨】由旋转得∠DAE＝∠BAC＝90°，AE＝AD＝8 cm，∴DE＝82＋82＝128(cm)．
15．32 【点拨】∵CE∥AB，∴∠BAD＝∠CED．∵点D为BC的中点，∴BD＝CD．
又∵∠BDA＝∠CDE，∴△BDA≌△CDE(A． A． S．)．∴BA＝CE＝5．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC＝AB2－AC2＝52－42＝3．∴CD＝12BC＝32．
16．2 【点拨】根据勾股定理可得AD2＝AB2－BD2＝16－8＝8，CD2＝AC2－AD2＝10－8＝2．∴第四个正方形的面积为2．
17．5 【点拨】连结DE，与AC交于点P，此时EP＋BP最短，且最短长度为DE的长．
因为四边形ABCD是正方形，所以AD＝AB＝AE＋EB＝3＋1＝4，
所以DE2＝AE2＋AD2＝32＋42＝25，
所以DE＝5，即EP＋BP的最短长度为5．
18．m 【点拨】∵现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，∴a，b为直角边，c为斜边．∴a2＋b2＝c2．
∴12m2－122＋b2＝12m2＋122，得到14m4－12m2＋14＋b2＝14m4＋12m2＋14．∴b2＝m2．∴b＝｜m｜．∵m是大于1的奇数，∴b＝m．
三、19．【解】在Rt△ADC中，AD＝12，AC＝13，所以由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝25．
所以CD＝5．
因为BC＝14，所以BD＝9．
所以在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2＝225．
所以AB＝15．
20．【解】∵∠C＝90°，DA＝13，△ABD的面积为78，
∴S△DAB＝12DA·BC＝12×13×BC＝78．
∴BC＝12．
∵在Rt△BCD中，CD2＋BC2＝BD2，
∴CD2＋122＝132，
解得CD＝5(负值已舍去)．即CD的长度为5．
21．【证明】(1)假设a≥0，则｜a｜＝a，这与已知a＜｜a｜相矛盾，∴假设不成立．∴a必为负数．
(2)假设形如4n＋3(n为整数)的整数k能化成两个整数的平方和．不妨设这两个整数为α，β，则4n＋3＝α2＋β2．∵4n＋3＝(n＋2)2＋(－n2－1)≠α2＋β2，∴假设不成立．∴形如4n＋3(n为整数)的整数k不能化为两个整数的平方和．
22．【解】分三种情况讨论：
(1)如图①，连结AG，此时蜘蛛沿AG爬行路程最短．
因为AB＝3 cm，BC＝5 cm，
所以AC＝AB＋BC＝3＋5＝8(cm)．
所以在Rt△ACG中，AG＝AC2＋CG2＝82＋62＝10(cm)．
(2)如图②，连结AG，此时蜘蛛沿AG爬行路程最短．
在Rt△ABG中，因为BG＝5＋6＝11(cm)，AB＝3 cm，所以AG＝AB2＋BG2＝32+112＝130(cm)．
(3)如图③，连结AG，此时蜘蛛沿AG爬行路程最短．
在Rt△AFG中，因为AF＝6＋3＝9(cm)，GF＝5 cm，所以AG＝AF2＋GF2＝92＋52＝106(cm)．
因为130 cm＞106 cm＞10 cm，
所以蜘蛛按情况(1)中的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘蛛走过的路程是10 cm．
23．【解】(1)由题意可知BC＝20米，BD＝12米，CD⊥BD，DE＝AB＝1．65米．∴在Rt△CDB中，由勾股定理得CD＝BC2－BD2＝202－122＝16(米)．∴CE＝CD＋DE＝16＋1．65＝17．65(米)．故风筝的垂直高度CE为17．65米．
(2)如图，∵风筝沿CD方向下降7米，即CC'＝7米，∴C'D＝16－7＝9(米)，∴BC'＝C'D2＋BD2＝92+122＝15(米)，∴相比下降之前，BC缩短长度为20－15＝5(米)，
∴他应该往回收线5米．
24．【解】(1)由题意可知∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE．∴△CAD≌△CBE(S． A． S．)．
(2)∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝18，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AB＝6．∴BD＝AB－AD＝6－2＝4．
∵△CAD≌△CBE，∴BE＝AD＝2，∠CBE＝∠CAD＝45°．∴∠ABE＝∠ABC＋∠CBE＝90°．
∴DE＝BD2＋BE2＝20．
∵在Rt△CDE中，CD＝CE，CE2＋CD2＝DE2，∴2CE2＝20．∴CE＝10．
(3)存在．由(2)可知AD2＋BD2＝BE2＋BD2＝DE2＝CD2＋CD2＝2CD2，∴当CD最小时，AD2＋BD2的值最小．此时CD⊥AB．
∵△ABC为等腰直角三角形，∴当CD⊥AB时，AD＝BD．易得此时△ACD为等腰直角三角形，∴CD＝AD＝12AB＝12×6＝3．
∴AD2＋BD2的最小值为2×32＝18．