北京市房山区2024_2025学年高三数学上学期学业水平调研二试卷含解析

这是一份北京市房山区2024_2025学年高三数学上学期学业水平调研二试卷含解析，共21页。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知全集，集合，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据补集定义计算即可.
【详解】因为，集合，则.
故选：D.
2. 已知复数z满足i•z＝2+i，则z的共轭复数是
A. ﹣1﹣2iB. ﹣1+2iC. 1﹣2iD. 1+2i
【答案】D
【解析】
【分析】两边同乘-i，化简即可得出答案．
【详解】i•z＝2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i，选D.
【点睛】的共轭复数为
3. 已知，，，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过举反例即可判断ABD，对于C根据不等式的性质即可判断.
【详解】对于A：令 ，，所以，故A错误；
对于B：令，故B错误；
对于C：因为，所以，所以，故C正确；
对于D：当时，显然不成立，令，故D错误
故选：C.
4. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】的展开式通项为，
由可得，故展开式中的系数为.
故选：B
5. 下列函数的图象中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的图像求解，选项A：利用的对称性和函数的图像变换得到，选项B：利用对号函数的对称性求解即可，选项C：利用绝对值函数的图像求解即可，选项D：利用三次函数的对称性求解即可.
【详解】选项A：是由函数向左平移个单位得到，因为是中心对称图形，所以也是中心对称图形，
选项B：故对号函数关于原点中心对称，
选项C：易知是偶函数，且在单调递减，在单调递增，不是中心对称图形，
选项D：三次函数关于中心对称，因为.
故选：C.
6. 在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析可知，点在圆上，求出圆心到直线的距离，结合圆的几何性质可得出到直线的距离的最大值.
【详解】设点Px,y，则，所以，点在圆上，
该圆的圆心为原点，半径为，
原点到直线的距离为，
因此，到直线的距离的最大值为.
故选：D.
7. 已知非零平面向量，则“”是“存在非零实数，使”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】“”说明共线同向，能推得“存在非零实数，使”的，所以充分性具备，但反过来，“存在非零实数，使”可能共线同向，也可能共线反向，所以必要性不具备.
故选A
8. 已知正三棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角是，则三棱锥的体积等于（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据正三棱锥定义和侧面与底面所成二面角的定义求出三棱锥的高，代入体积公式即可.
【详解】如下图所示：
由正三棱锥的定义，底面为正三角形，且边长为，作正三棱锥的高，垂足为的中心，连接并延长，交于点；
由正三棱锥的几何的性质可知：，，就是侧面与底面所成二面角的平面角，，可得是等腰直角三角形，.
根据正三角形的性质，，即正三棱锥的高为.
三棱锥的体积为：.
故选：B
9. 已知实数，满足，，给出下列三个结论：
①；②；③.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①B. ②C. ①③D. ②③
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象及反函数的概念确定的关系，即可得到；结合函数图象分析的范围即可得到；利用把不等式等价转化，通过构造函数求导即可证明不等式成立.
【详解】
如图，设函数与的图象交于点，函数与的图象交于点，
则点的横坐标为，即，点的横坐标为，即.
∵函数与互为反函数，与互为反函数，
∴点与点关于直线对称，
∴，②正确.
∵，，
∴，∴，①错误.
由得，∴等价于，
令，则，不等式等价于，
设，则，
∴在上为增函数，
∴，即，
∴，③正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把转化为函数图象交点的横坐标，利用反函数的概念得到的等量关系，逐个判断即可确定选项.
10. 已知由正整数组成的集合，表示集合中所有元素的和，表示集合中偶数的个数.若.则的最小值为（ ）
A. 5B. 7C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】先排除有5个偶数不可能，再找一个有7个偶数的实例后可得正确的选项.
【详解】45个正奇数的和不小于，
因为中有50个不同的正整数，故中不可能有不超过5个不同的偶数.
取，
则中共有元素个数为，
这个数的和为，
故的最小值为7.
故选：B.
【点睛】思路点睛：对于组合最值问题，我们一般先找到一个范围，再验证临界值存在即可.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的真数大于零、分母不为零可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】对于函数，有，解得且，
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
12. 在中，，，，则_____；若为边上一点，且，则_____.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】空1使用余弦定理求解即可，空2使用正弦定理求解即可.
【详解】在中，由余弦定理得又B∈0,π则
在中，由正弦定理得：所以
故答案为：，.
13. 已知双曲线（）的渐近线方程为，则，的一组值依次为_____.
【答案】1；（答案不唯一，满足即可）
【解析】
【分析】根据渐近线可得，即可得结果.
【详解】因为双曲线（）的渐近线方程为，
则，即，
例如.
故答案为：1；（答案不唯一，满足即可）.
14. 《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件，该女子第5天织布_____尺；若要织布50尺，该女子所需的天数至少为_____.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，由题意求出数列的首项后可得第5天织布的尺数；再令，求出，即可得出答案.
【详解】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，前5项的和为5，
设首项为，前项和为，
则由题意得，∴，
∴，即该女子第5天所织布的尺数为．
令，解得：，所以.
所以若要织布50尺，该女子所需的天数至少为.
故答案为：；．
15. 已知函数，，给出下列四个结论：
①当时，方程有且只有一个实数根；
②当时，对任意，或；
③当时，对任意，；
④存在，对任意，.
其中正确结论的序号是_____.
【答案】①②③
【解析】
【分析】画出二次函数图象和指数函数图象，根据的不同取值范围，分析二次函数图象的分布，即可求解.
【详解】对于①，当时，，由与图象可知，方程有且只有一个实数根，①正确；

对于②，当时，gx0.当时函数为开口向下的二次函数，令函数的两个零点分别为，，所以当x∈0,+∞时，，所以②正确.
对于③，当时，为开口向上的二次函数，，，所以对任意，，gxb>0过点6,0，离心率为，
则，解得，
因此，椭圆的方程为.
【小问2详解】
设点Ax1,y1、Bx2,y2，则，
当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，
联立可得，
则，可得，
当时，由韦达定理可得，整理可得，
可得，
此时，，则，
所以，直线的方程为，即，
此时，直线恒过定点12,0；
当直线轴时，则线段的方程为，此时点、关于轴对称，
则直线为轴，此时，直线过点12,0；
当直线轴时，此时点、关于轴对称，则，不合乎题意.
综上所述，直线恒过定点12,0.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
20 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意，都有，求实数的取值范围；
（3）求证：存在实数，使方程有正实根.
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）把代入，求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）证明恒成立，再按分类，结合不等式的性质及导数探讨单调性得解.
（3）由方程有正实根分离参数并构造函数，利用导数探讨函数能取到正数即可推理得证.
【小问1详解】
当时，函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为.
【小问2详解】
对任意，不等式，
当时，令，求导得，函数在上递增，
，因此，当时，，，即恒成立，则；
当时，，由，得，
当时，，函数在上单调递减，，不符合题意，
所以实数的取值范围是.
【小问3详解】
由，，得，
令，求导得，
令，求导得，
函数在上单调递减，而，
则存在，使得，当时，，即，
函数在上单调递增，，取正数，
则直线与函数在上的图象有交点，此交点横坐标在区间，
所以存在实数，使方程有正实根.
【点睛】关键点点睛：借助恒成立的不等式，再借助不等式的性质及导数分类求解是关键.
21. 已知和都是无穷数列.若存在正数，对任意的，均有，则称数列与具有关系.
（1）分别判断下列题目中的两个数列是否具有关系，直接写出结论；
①，，；
②，，.
（2）设，，，试判断数列与是否具有关系.如果是，求出的最小值，如果不是，说明理由；
（3）已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与具有关系，且，，…，中至少有100个正数，求的取值范围.
【答案】（1）①不具有关系；②具有关系.
（2）是，A的最小值为1.
（3）
【解析】
【分析】（1）先假设数列与是否具有关系，根据题意，即可得出结论；
（2）根，即可得出数列与具有关系．设A的最小值为，，结合题中条件，即可求出结果；
（3）先利用定义确定，然后根据题意，找到符合题意的数列即可.
【小问1详解】
①因为，，若数列与是否具有关系，
则对任意的，均有，
即，即，但时，，
所以数列与不具有关系．
②数列与具有关系，理由如下：
因为，，又因为
所以有，所以，
所以数列与是具有关系.
【小问2详解】
证明：因为，，所以，
所以，
所以数列与具有关系．
设A的最小值为，，
因为，所以．
若，则当时，，
则，这与“对任意的，均有”矛盾，
所以，即A的最小值为1．
【小问3详解】
因为是公差为的等差数列，所以.
若存在数列满足：与具有关系，
则，都有.
即，即.
则，即，
当时，，都有
与，，，，中至少有100个正数矛盾.
当时，可取，
则，且，，，，均为正数，符合题意.
当时，可取，
则，且，，，，均为正数，符合题意.
当时，可取，
则，，
即，，，，中有100个正数.
综上所述的取值范围是.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
1店
2店
3店
4店
5店
6店
7店
8店
新能源汽车销售量
10
8
16
23
20
18
22
11
燃油汽车销售量
14
11
13
19
21
25
23
26
0
1
2
3
P