安徽省2024_2025学年高二数学上学期1月期末试题含解析

这是一份安徽省2024_2025学年高二数学上学期1月期末试题含解析，共19页。试卷主要包含了 如图，、是椭圆， 已知曲线E等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟.
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由题意，得，所以，
故选C．
考点：直线的倾斜角．
2. 如图，M是三棱锥的底面的重心．若，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算结合给定条件求解参数，再求值即可.
【详解】是三棱锥的底面的重心，
，由向量加法法则得，
，
，
，
而，
，，，，则，故B正确.
故选：B
3. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ）
A. B. C. 12D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，则得到答案.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，即，
因为直线与直线的距离为，
所以，即，解得或（舍去），
故．
故选：C
4. 已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据叉乘公式直接代入计算即可.
【详解】由题意得：
，
则向量即为平面的法向量，
故选：A．
5. 已知等比数列满足，，记为其前n项和，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比中项性质通分计算即可.
【详解】依题意，，
则.
故选：D.
6. 已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点D到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接交于，连接，可证平面平面，是直线与平面所成的角，由已知可求得，求得，可求得点D到平面的距离.
【详解】连接交于，连接，
因为长方体中，，所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
所以是直线与平面所成的角，所以，
又，所以，由，可得
所以点D到平面的距离为.
故选：A.
7. 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由椭圆方程求出，再在焦点中，由椭圆和双曲线的定义及勾股定理得，即可求出的离心率．
【详解】双曲线：，可得，所以，
解得，所以，，，
，，
在中，，
，即，
，.
故选：C.
8. 已知曲线，则下列结论中错误的是（ ）
A. 曲线E与直线无公共点
B. 曲线E上的点到直线的最大距离是
C. 曲线E关于直线对称
D. 曲线E与圆有三个公共点
【答案】D
【解析】
【分析】联立方程组即可判断A，根据点到平面距离结合圆的半径即可判断B，将点代入曲线判断C，应用分象限讨论得出曲线E得出与圆的交点个数判断D.
【详解】对于A选项，联立，
将代入，得，所以曲线E与直线无公共点，A选项正确;
对于B选项，曲线E上的点到直线的最大距离是，即圆弧的半径，所以B选项正确.
对于C选项，点满足直线对称的对称点是，将点代入
得，整理得，所以曲线E关于直线对称，C选项正确;
曲线，曲线E是双曲线一部分和圆的一部分构成的图象，圆的圆心为，半径是，
当，时，曲线方程可化为，与圆一个交点；
当，时，曲线方程可化为，无轨迹；
当，时，曲线方程可化为，与圆无交点；
当，时，曲线方程可化为，与圆一个交点；
对于D选项，可知曲线E与圆有两个公共点，D选项错误;
故选：D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知曲线E：，则下列选项正确的有（ ）
A. 若，则E为椭圆B. 若E为焦点在y轴上的椭圆，则
C. 若E为双曲线，则D. 若，则E为焦点在y轴上的双曲线
【答案】BD
【解析】
分析】根据方程表示椭圆得到不等式组即可判断A，再限制其焦点即可判断B；根据方程表示双曲线得到不等式即可判断C，
详解】对于A，若方程表示椭圆，则满足，解得或，
当时，此时方程表示圆，所以A不正确；
对于B中，当方程表示焦点在轴上的椭圆，则满足，解得，所以B正确；
对于C中，当双曲线时，，则或，所以C错误；
对于D中，当，曲线E：，其中，则焦点在轴上，所以D正确．
故选：BD．
10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 取得最小值时或4
C. D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】给出作为反例即可判断A，利用二次函数的性质即可判断B，利用裂项相消法判断C，注意到一定是有理数即可判断D.
【详解】对于A，由于，故对不成立，故A错误；
对于B，由二次函数性质知的开口向上，且对称轴为，故当或时，取得最小值，故B正确；
对于C，因为，故对有.
所以，同时有.
故，故C正确；
对于D，因为一定是有理数，所以不可能以无理数为最小值，故D错误.
故选：BC.
11. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，设点，下面结论正确的是（ ）
A. 若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，则
B. 若点，P都不在直线l上，直线l的方向向量是，若直线与l异面且垂直，则
C. 若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，则
D. 若平面经过点，且为平面的法向量，则平面外存在一点P使得成立
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据向量共线即可求解A，根据垂直关系即可求解BCD.
【详解】对于A，由于为的方向向量，，
故存在实数使得，即可，因此，故A正确，
对于B, 与垂直,则，即，故B正确，
对于C，由于为平面的法向量， ，故，即，
则，故C正确，
对于D，由于为平面的法向量，若平面外存在一点使得成立，
则与平面平行，这与点在平面内矛盾，故D错误，
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知为等差数列，为其前n项和.若，则_____________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据等差数列通项的基本量关系求得首项和公差，再代入差数列的前n项和公式求解即可.
【详解】解：设d为公差，由，，
得，
解得，，
则，
故答案为：4.
13. 如图，已知矩形中，，，现将沿对角线折成二面角，使，则异面直线和所成角为___________.
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法计算即可.
【详解】取中点M，连接
，，，
取中点H，，，.
分别以M为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，，，
则，，
故，
又因为两异面直线的夹角范围是，
故异面直线和所成角为.
故答案为：.
14. 已知，轴于点B，M为射线OA上任意一点，轴于点C，点D为直线AB上一点，且，直线OD与直线MC相交于点P.已知点，，则的最大值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】设点，再利用焦半径公式得的表达式，最后利用基本不等式即可得到答案.
【详解】设，其中，则，
由于三点共线，则，所以得点的轨迹方程是，，
点为该抛物线的焦点，准线，点为准线与轴的交点，
作于点，则，，
则
，当且仅当，即时取等号．则的最大值为．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设线法，从而得到比值表达式，最后利用基本不等式即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的前n项和为，且，.
（1）当m为何值时，数列为等比数列，并求此时数列的通项公式；
（2）当时，设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）分别代入计算得，再根据等比中项求出，最后再降次作差即可；
（2）利用错位相减法即可.
【小问1详解】
因为的前项和，
所以，
所以，
若是等比数列，则，求得，
当时，，
又当时，，
则当时，也适合此通项公式．即，
由于对都成立，所以此时数列为等比数列，
所以当时，数列为等比数列，此时数列通项公式为.
【小问2详解】
当时，，
则，
，
所以，
故.
16. 已知在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．
（1）求圆的方程；
（2）设过点的直线与圆交于两点，且，求的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先求出二次函数与坐标轴的交点坐标，再设出圆的一般式方程，代入坐标求解参数即可.
（2）利用勾股定理求出点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式建立方程，求解参数，得到直线方程即可.
【小问1详解】
曲线和轴的交点为和，和轴的交点为.
设圆的方程为，则代入以上三点坐标可得，，.
所以，
，
.
从而圆的方程为.
【小问2详解】
圆的方程化为标准方程即为，从而圆心为，半径.
设圆心到直线的距离为，由勾股定理得，解得.
再设直线的方程为，即，则.
从而，即.
所以或，故直线的方程为或.
整理可得直线方程为或者.
17. 已知椭圆C：的离心率为，其四个顶点构成的四边形面积为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若P是C上异于A，B的一点，不垂直于x轴的直线l交椭圆C于M，N两点，
①证明：为定值；
②的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②是，
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的四个顶点构成的四边形面积为，结合圆心率即可求解；
（2）①求出点和的坐标，设，代入椭圆的方程，求出，根据，即可求解；②设直线，，，联立直线和椭圆的方程写出韦达定理，根据求出和的关系式，根据求出，求出点到直线l的距离，求出的面积.
【小问1详解】
由题意可知椭圆的四个顶点构成的四边形面积为，且，
所以，，
椭圆的方程是；
【小问2详解】
①由题意可得，，
设，可得，
即，则，
因为，，
则；
②易知直线l的斜率存在，设直线，，，
联立直线和，可得，
可得，，
，
由，
可得，由弦长公式可得
，
点到直线l的距离为，
所以，
综上可知，的面积为定值
【点睛】关键点点睛：本题（2）①关键在于根据，求出.
18. 如图，平行六面体中，点P在对角线上，，平面平面.
（1）求证：；
（2）若在底面上的投影是O，且，，，求平面PAB与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）平面PAB与平面夹角的余弦值为
【解析】
【分析】（1）连接交于，连接，利用平行六面体的性质可证四边形是平行四边形，进而利用面面平行的性质可得，进而利用相似可得结论；
（2）由已知可得，以点为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求得平面PAB与平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
连接交于，连接，
在平行六面体中，且，
所以四边形是平行四边形，所以且，
又分别为的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
因为都经过点，所以三点共线，
所以，所以，所以；
【小问2详解】
因为，，则平行四边形是菱形，
所以，又在底面上的投影是O，，
以点为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，于是，
又，所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
设平面PAB与平面夹角为，
所以，
所以平面PAB与平面夹角的余弦值为.
19. 已知点在抛物线C：上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一点，令为关于y轴的对称点，记的坐标为.
（1）求t的值；
（2）求证：数列是等差数列，并求；
（3）求的面积.
【答案】（1）2 （2）证明见解析；，
（3）64
【解析】
【分析】（1）由点在抛物线C：上，代入即可求解；
（2）由点在抛物线上，得到方程组两式相减，结合斜率公式，得到，即可得证；
（3）由（2）得到的坐标，结合梯形和的面积，求得的面积，即可求解.
【小问1详解】
因为点在抛物线上，可得，解得．
【小问2详解】
由（1）知：，即，
因为点在抛物线上，
所以，两式相减得，
则，可得，
可知数列是以首项为4，公差为8的等差数列，
则，．
【小问3详解】
由（2）知：，
过作轴，垂足为，
可得梯形的面积为：
同理可得，
且梯形的面积为：
，
所以的面积为：
．
【点睛】方法点睛：数列与函数、不等式综合问题的求解策略：
1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；
2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.