湖南省永州市2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试卷（Word版附解析）

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命题人：刘广奇（祁阳一中） 王惠（永州四中）
郭燕波（东安一中） 卢登峰（蓝山二中）
审题人：席俊雄（永州市教科院）
注意事项：
1.本试卷共150分，考试时量120分钟.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
3.考试结束后，只交答题卡.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（i是虚数单位），则（ ）
A. 1B. C. D. 2
2. 某学校高一年级有1100名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有900名学生，为了解不同年级学生运动的情况，通过分层随机抽样的方法，从全体学生中抽取一个容量为300的样本，那么从高一年级抽取的学生人数为（ ）
A. 110B. 100C. 90D. 80
3. 已知，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知平面，直线，，如果，且，那么与位置关系是（ ）
A. 相交B. 或C. D.
5. 在中，，，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 一个袋子中有2个红球，4个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.记事件A：第一次取到红球，事件B：第二次取到绿球，事件C：两次取到同色球，事件D：两次取到异色球，则（ ）
A. A与B互斥B. A与C相互独立
C. C与D互为对立事件D. B与D相等
7. 如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
8. 在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的可能取值为（ ）
A. B. 3C. 4D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 有一组样本数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，若去除首末两个数，得到一组新的样本数据，则这两组数据的（ ）
A. 极差相等B. 中位数相等C. 方差相等D. 平均数相等
10. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则是锐角三角形
11. 如图，在四棱锥中，，平面平面是棱的中点，且∥平面，则（ ）
A. 平面
B. 异面直线与所成角正切值为2
C. 三棱锥外接球的表面积为
D. 底面四边形内（包含边界）有一动点Q，，则动点Q的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆锥的底面周长为，高为5，则该圆锥的体积为_______.
13. 如图，在正八边形上有A，B，C，D，E，F，G，H八个顶点，每个相邻的两顶点间称为1步（例如：A到B为1步）.现有一小球起始位置在点A处，并按规则沿八边形的边进行移动，移动规则为：抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为，则小球按顺时针方向前进i步到达另一个顶点.若抛掷两次骰子，则小球回到顶点A处的概率为_______.
14. 已知中，，，，，则的最小值为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，.
（1）若，求λ的值；
（2）当k为何值时，？
16. 某校进行“AI知识”讲座，讲座之后对所有参加学习的学生进行学习效果测评，通过简单随机抽样，获得了100名学生的测评成绩作为样本数据，分成，，，，，六组，整理得到如下频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图求a的值，并估计众数和中位数；
（2）在抽取的100名学生中，选取2名测评成绩在的学生作为座谈代表，求这两名学生的测评成绩恰好在同一组的概率.
17. 在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，.
（1）求A；
（2）若，求的取值范围.
18. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点在线段上.
（1）当时，
（ⅰ）求证：平面；
（ⅱ）求点P到平面的距离；
（2）当时，求二面角的余弦值.（不允许用空间向量法求解）
19. 数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字.发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为；发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为.假设每次数字的传输相互独立，且.
（1）若发送的数据为“01”，且，，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率；
（2）用X表示收到的数字串，将X中数字0的个数记为，如“001”，则，对应的概率记为.
（ⅰ）若发送的数据为：“011”，且，求；
（ⅱ）若发送的数据为“0101”，求的最大值.