初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.2 等边三角形一等奖ppt课件

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.2 等边三角形一等奖ppt课件，共37页。PPT课件主要包含了等边对等角，三线合一，等角对等边，两边相等，两腰相等，轴对称图形，等边三角形的性质，等腰三角形，ABAC，∠B∠C等内容，欢迎下载使用。
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形
1.理解等腰三角形的性质，体会等腰三角形性质和等边三角形性质的联系.2.探索并掌握等边三角形,含30度直角三角形性质的 过程，并用以解决实际问题. 3.了解等边三角形的判定方法. 4.探索并掌握等边三角形判定的过程，并用以解决实际问题.
小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条，长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.
等边三角形的三个内角之间有什么关系？
结论：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
已知：AB=AC=BC ， 求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
证明： ∵AB=AC. ∴∠B=∠C .(等边对等角) 同理 ∠A=∠C . ∴∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？
结论:等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”.
底边上的中线、高及顶角平分线三线合一
每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线重合
底边上的中线、高和顶角平分线重合
例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°– 40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°.
方法总结： 解决与等边三角形有关的计算问题，关键是注意“每个内角都是60°”这一隐含条件，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答.
如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）．
例2 △ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？
解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
方法总结： 此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般先利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.
如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度数．
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS）．（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
三个角都相等的三角形是等边三角形
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？
等边三角形的判定方法： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
例3 如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形.
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
　证明：∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠A =∠ABC =∠ACB =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED. ∴　∠A =∠ADE =∠AED. ∴　△ADE 是等边三角形.
若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？
若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？
证明： ∵　△ABC 是等边三角形，∴　∠BAC =∠B =∠C =60°．∵　DE∥BC，∴　∠B =∠D，∠C =∠E．∴　∠EAD =∠D =∠E．∴　△ADE 是等边三角形．
上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由.
如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
含30°角的直角三角形的性质
将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图，显然，△ADC与△ABC关于AC成轴对称图形，
因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
证明：延长BC 到D，使BD =AB，连接AD.在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°．∴△ABD 是等边三角形．又∵AC⊥BD,
倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍，即1倍、2倍……
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30° = 30°. ∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC.
在证明中，在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段就是截半法.
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
∵　在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　)A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.
2.如图∠C=90°，D是CA的延长线上的一点，∠BDC=15°，且AD=AB，则BC= AD.
1. △ABC中，AB=AC，∠C=30°,DA ⊥BA于A，BD=9.6cm，则AD= .
1.三条边都相等的三角形是等边三角形.
2. 三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
二、定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE，则∠CAE= .
【解析】点D是等边△ABC中BC边的中点，故∠DAC＝30°;在等边△ADE中，∠CAE=60°-30°=30°.答案：30°
2.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　)A．3 B．2 C.1.5 D．1
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.
3.如图，已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，BD=6，延长BC到E.使CE=CD,求DE长.
【解析】∵ΔABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC,∵BD为中线,∴∠DBC=30°,∵CE=CD,∴∠E=∠CDE,∠E+∠CDE=∠ACB=60°,∴∠E=30°,∴∠E=∠DBC,∴DE=BD=6㎝.
【解析】∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=AC=BC，∵AD=BE=CF,即BD=CE=AF,在△ADF,△DBE和△CEF中, ∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°, AD=BE=CF BD=CE=AF∴△ADF≌△BED≌△CFE∴DF=DE=EF,∴△DEF是等边三角形.
4.如图，D、E、F分别是等边三角形ABC三边上三点，且AD=BE=CF.试问：△DEF是什么三角形？