第15讲 万有引力定律【暑假自学课】2024年新高二物理暑假提升精品讲义（人教版2019）

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核心考点聚焦
开普勒行星运动定律
对万有引力定律的理解及应用
天体质量(密度)的估算
卫星运行参量
卫星变轨与对接问题
双星或多星模型
卫星的追击及相遇问题
高考考点聚焦
知识点一、开普勒行星运动定律理解：
温馨提示：
①行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理；
②面积定律是对同一个行星而言的,不同的行星相等时间内扫过的面积不等；
③该比值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体值不同。
知识点二、万有引力解决星体表面模型
万有引力与重力的关系：地球对物体的万有引力F表现为两个效果：
一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G eq \f(Mm,R2) ＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G eq \f(Mm,R2) ＝mg2。
(3)在一般位置：万有引力G eq \f(Mm,R2) 等于重力mg与向心力F向的矢量和；越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即 eq \f(GMm,R2) ＝mg。
2．重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G eq \f(Mm,R2) ，得g＝ eq \f(GM,R2) 。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′：mg′＝ eq \f(GMm,（R＋h）2) ，得g′＝ eq \f(GM,（R＋h）2) 。
3．万有引力的“两个推论”
推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。
推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G eq \f(M′m,r2) 。
知识点三、天体质量(密度)的估算
1．星体表面模型法
(1)由G eq \f(Mm,R2) ＝mg得天体质量M＝ eq \f(gR2,G) 。
(2)天体密度ρ＝ eq \f(M,V) ＝ eq \f(M,\f(4,3)πR3) ＝ eq \f(3g,4πGR) 。
2．星体环绕模型法
利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r求解。
(1)由G eq \f(Mm,r2) ＝m eq \f(4π2,T2) r得天体的质量M＝ eq \f(4π2r3,GT2) 。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝ eq \f(M,V) ＝ eq \f(M,\f(4,3)πR3) ＝ eq \f(3πr3,GT2R3) 。
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝ eq \f(3π,GT2) ，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
知识点四、宇宙速度的理解
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/sv3，故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点时加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律 eq \f(r3,T2) ＝k可知T1T3B．T1a3D．a1
【答案】D
【解析】AB．根据开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度最大，在远日点的速度最小，行星由a到b运动时的平均速率大于由c到d运动时的平均速率，而弧长ab等于弧长cd，故从a到b的运动时间小于从c到d的运动时间，同理可知，从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的运动时间，AB错误；
CD．从a经b到c的时间和从c经d到a的时间均为，可得；，C错误，D正确。
故选D。
16.如图所示，有a、b、c、d四颗卫星，a未发射在地球赤道上随地球一起转动，b为近地轨道卫星，c为地球同步卫星，d为高空探测卫星，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，重力加速度为，则下列关于四卫星的说法正确的是（ ）

A．a卫星的向心加速度等于重力加速度g
B．b卫星与地心连线在单位时间扫过的面积等于c卫星与地心连线在单位时间扫过的面积
C．c、d卫星轨道半径的三次方与周期的平方之比相等
D．b卫星的运行周期大于a卫星的运行周期
【答案】C
【解析】A．设地球质量为，地球半径为，对于a卫星有
所以，A错误；
B．根据牛顿第二定律得
卫星与地心连线单位时间扫过的面积为，联立解得
两卫星半径不同，所以扫过的面积不同，B错误；
C．根据开普勒第三定律，c、d卫星轨道半径的三次方与周期平方之比相等，C正确；
D．根据万有引力提供向心力可得解得
可知b卫星的运行周期小于c卫星的运行周期，又因为c为地球同步卫星，所以a卫星的运行周期与c卫星周期相同，故b卫星的运行周期小于a卫星的运行周期，D错误。
故选C。
17.我国古代神话传说中∶地上的“凡人”过一年，天上的“神仙”过一天。如果把看到一次日出就当作“一天”，已知中国空间站距离地面高度约为400km绕地球做匀速圆周运动，地球近地卫星做匀速圆周运动的周期为90min，地球半径为6400km，表面重力加速度为10m/s2，则该空间站中翟志刚、王亚平、叶光富三位航天员24h内在空间站中看到日出的次数约为（ ）

A．1B．8C．16D．24
【答案】C
【解析】在地球表面可认为重力等于万有引力
对空间站由牛顿第二定律得
代入数据可得空间站运行的周期为
看到日出的次数约为
故选C。
18.两颗人造卫星绕地球逆时针运动。如图所示，卫星1轨道为圆、卫星2轨道为椭圆，A、B两点为圆轨道长轴两端，C点为两轨道交点。已知圆的半径与椭圆的半长轴相等，下列正确的是（ ）

A．从A点到C点和从C点到A点的过程地球对卫星2做的功相同
B．相等时间内，卫星1与地心连线扫过的面积等于卫星2与地心连线扫过的面积
C．卫星2的周期大于卫星1的周期
D．卫星2在A点的速度大于卫星1在C点的速度
【答案】D
【解析】A．根据题意，由开普勒第二定律可知，卫星2在C点的速度小于在A点的速度，根据动能定理可知，卫星2从A点到C点的过程中地球对卫星2的万有引力做负功，从C点到A点的过程中地球对卫星2的万有引力做正功，故A错误；
B．由开普勒第二定律可知，每颗卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积相等，但卫星1与卫星2不在同一轨道，则相等时间内，卫星1与地心连线扫过的面积不一定等于卫星2与地心连线扫过的面积，故B错误；
C．根据题意，由开普勒第三定律可知，由于圆的半径与椭圆的半长轴相等，则卫星2的周期等于卫星1的周期，故C错误；
D．以地球球心为圆心，并过A点画出圆轨道3，如图所示

由图可知卫星从轨道3到卫星2的椭圆轨道要在A点点火加速，做离心运动，则卫星在轨道3的速度小于卫星2在椭圆轨道A点的速度，又由图可知，轨道1和轨道3都是圆轨道，根据万有引力提供向心力有可
可知轨道1上卫星的速度小于轨道3上卫星的速度，综合可知，卫星在轨道1上经过C点的速度小于卫星2在A点的速度，故D正确。
故选D。
多项选择题
19.(2024年.河北高考题) 2024年3月0日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心约为2.0 × 103km，远月点B距月心约为1.8 × 104km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（ ）

A. 鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12h
B. 鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81：1
C. 鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线
D. 鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9km/s且小于11.2km/s
【答案】BD
【解析】A．鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从A→C→B做减速运动，从B→D→A做加速运动，则从C→B→D的运动时间大于半个周期，即大于12h，故A错误；
B．鹊桥二号在A点根据牛顿第二定律有
同理在B点有
带入题中数据联立解得 aA：aB = 81：1，故B正确；
C．由于鹊桥二号做曲线运动，则可知鹊桥二号速度方向应为轨迹的切线方向，则可知鹊桥二号在C、D两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线，故C错误；
D．由于鹊桥二号环绕月球运动，而月球为地球的“卫星”，则鹊桥二号未脱离地球的束缚，故鹊桥二号的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2km/s，故D正确。
故选BD。
20.（2024年湖南卷考题）2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。己知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是（ ）
A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B．其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
【答案】BD
【解析】AB．返回舱在该绕月轨道上运动时万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有
其中在月球表面万有引力和重力的关系有
联立解得
由于第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，同理可得
代入题中数据可得 ，故A错误、B正确；
CD．根据线速度和周期的关系有
根据以上分析可得 ，故C错误、D正确；
故选BD。
21.（2024年广东卷考题）如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面时以的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1000kg，背罩质量为50kg，该行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小取。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有（ ）

A. 该行星表面的重力加速度大小为
B. 该行星的第一宇宙速度为
C. “背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为
D. “背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30kW
【答案】AC
【解析】A．在星球表面，根据，可得
行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小取，可得该行星表面的重力加速度大小，故A正确；
B．在星球表面上空，根据万有引力提供向心力
可得星球的第一宇宙速度
行星的质量和半径分别为地球的和，可得该行星的第一宇宙速度
地球的第一宇宙速度为，所以该行星的第一宇宙速度 ，故B错误；
C．“背罩分离”前，探测器及其保护背罩和降落伞整体做匀速直线运动，对探测器受力分子，可知探测器与保护背罩之间的作用力
“背罩分离”后，背罩所受的合力大小为4000N，对背罩，根据牛顿第二定律
解得，故C正确；
D．“背罩分离”后瞬间探测器所受重力对其做功的功率，故D错误。
故选AC。
22.我国在轨运行的气象卫星有两类，如图所示，一类是极地轨道卫星——“风云1号”，绕地球做匀速圆周运动的周期为12h，另一类是地球同步轨道卫星——“风云2号”，运行周期为24h。下列说法正确的是（ ）

A．“风云1号”的线速度大于“风云2号”的线速度
B．“风云1号”的向心加速度大于“风云2号”的向心加速度
C．“风云1号”的发射速度大于“风云2号”的发射速度
D．“风云1号”“风云2号”相对地面均静止
【答案】AB
【解析】由开普勒第三定律知，“风云2号”的轨道半径大于“风云1号”的轨道半径。
AB．由，得，,r越大，v越小，an越小，AB正确；
C．把卫星发射得越远，所需发射速度越大，C错误；
D．只有同步卫星相对地面静止，D错误。
故选AB。
23.如图所示，质量相同的三颗卫星a、b、c绕地球逆时针做匀速圆周运动，其中b、c在地球的同步轨道上， a距离地球表面的高度为R，此时a、b恰好相距最近。已知地球质量为M，半径为R，地球自转的角速度为ω，引力常量为G，则（ ）

A．发射卫星b时速度要大于11.2 km/s
B．卫星a的线速度大于卫星b的线速度
C．要使卫星c与b实现对接，可让卫星c加速
D．卫星a和b下次相距最近还需经过时间为
【答案】BD
【解析】A．卫星b绕地球做匀速圆周运动，7.9 km/s是指在地球上发射的物体绕地球飞行做圆周运动所需的最小发射速度，11.2 km/s是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，所以发射卫星b时速度应大于7.9 km/s而小于11.2 km/s，A错误；
B．由万有引力提供向心力得,则轨道半径小的速度大，B正确；
C．让卫星c加速，所需的向心力增大，由于万有引力小于所需的向心力，卫星c会做离心运动，进入更高轨道，所以不能与b实现对接，C错误；
D．b、c在地球的同步轨道上，所以卫星b、c和地球具有相同的周期和角速度，由万有引力提供向心力，即得,a距离地球表面的高度为R，所以卫星a的角速度
此时a、b恰好相距最近，到卫星a和b下一次相距最近，有
解得,D正确。
故选BD。
24.图甲是一对相互环绕旋转的质量不等的双黑洞系统，其示意图如图乙所示，双黑洞A、B在相互之间的万有引力的作用下，绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若双黑洞的质量之比，则（ ）

A．黑洞A、B做圆周运动的角速度之比为
B．黑洞A、B做圆周运动的向心力大小之比为
C．黑洞A、B做圆周运动的半径之比为
D．黑洞A、B做圆周运动的线速度之比为
【答案】AC
【解析】AC．由于二者绕连线上同一点做匀速圆周运动，二者角速度相等，又由彼此间的万有引力提供向心力，故有,解得 ,故AC正确；
B．由于二者由万有引力提供向心力，故二者圆周运动的向心力之比为，故B错误；
D．由线速度与角速度的关系可知，当角速度相同时，二者做圆周运动的线速度与半径成正比，故二者线速度之比为，故D错误。
故选AC。
25.关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是（ ）

A．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点速率小于远日点运行的速率
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
C．表达式椭圆半长轴的与公转周期，比值为常数
D．若图中两阴影部分行星运动时间相等，则右侧面积大于左侧面积
【答案】BC
【解析】A．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，从近日点到远日点，太阳对地球的引力做负功，则速度减小，即在近日点速率大于远日点运行的速率，选项A错误；
B．根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，选项B正确；
C．根据开普勒第三定律可知，表达式椭圆半长轴的与公转周期，比值为常数，选项C正确；
D．根据开普勒第二定律可知，若图中两阴影部分行星运动时间相等，则右侧面积等于左侧面积，选项D错误。
故选BC。
26.土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是（ ）
A．若v2∝R则外层的环是土星的卫星群
B．若v∝R则外层的环是土星的一部分
C．若v∝ 则外层的环是土星的一部分
D．若v2∝则外层的环是土星的卫星群
【答案】BD
【解析】BC．若外层的环为土星的一部分，则它们各层转动的角速度ω相等，由v＝ωR
可知v∝R, B正确，C错误；
AD．若外层的环是土星的卫星群，由,可得,A错误，D正确。
故选BD。
27.如图所示，从地面上A点发射一枚远程弹道导弹，导弹在引力作用下，沿着椭圆轨道飞行击中地面目标，为轨道的远地点，距离地面高度为h。已知地球半径为，地球质量为，引力常量为。设距离地面高度为的圆轨道上卫星运动周期为，下列说法正确的是（ ）

A．导弹在点的加速度小于
B．导弹在点的速度大于
C．地球球心为导弹椭圆轨道的一个焦点
D．导弹从点到点的时间一定小于
【答案】CD
【解析】A．根据牛顿第二定律可得
解得导弹在点的加速度为 ,A错误；
B．导弹在点做近心运动，受到的万有引力大于所需向心力，则有
可得,B错误；
C．根据开普勒第一定律可知，地球球心为导弹椭圆轨道的一个焦点，C正确；
D．由题意可知导弹椭圆轨道的半长轴小于距离地面高度为的圆轨道半径，根据开普勒第三定律
可知导弹在椭圆轨道运行的周期小于，故导弹从点到点的时间一定小于，D正确。
故选CD。
三、计算题
28.（2024年上海卷考题）8. 图示虚线为某慧星绕日运行的椭圆形轨道，a、c为椭圆轨道长轴端点，b、d为椭圆轨道短轴端点。慧星沿图中箭头方向运行。

（1）该彗星某时刻位于a点，经过四分之一周期该慧星位于轨道的______
A．ab之间 B．b点 C．bc之间 D．c点
（2）已知太阳质量为M，引力常量为G。当慧日间距为时，彗星速度大小为。求慧日间距为时的慧星速度大小。（计算）______
【答案】 ①. C ②.
【解析】（1）[1]根据开普勒第二定律可知，某慧星绕日运行的椭圆形轨道上近日点a点速度最大，远日点c点速度最小，根据对称性可知，从a点到c点所用时间为二分之一周期，且从a点到b点所用时间小于从b点到c点所用时间，则该彗星某时刻位于a点，经过四分之一周期该慧星位于轨道的bc之间。
故选C。
（2）[2]引力势能的表达式为
彗星在运动过程中满足机械能守恒，则有
解得
29.．2021年11月8日，天问一号火星探测器的“环绕器”成功实施第五次近火制动，准确进入遥感轨道绕火星做匀速圆周运动，开展火星全球遥感探测。若环绕器的运行周期为，其绕火星运行的轨道半径为，火星的半径为，万有引力常量为。求：
（1）火星的质量；
（2）火星表面的重力加速度为。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）环绕器绕火星做匀速圆周运动，设环绕器的质量为m，由万有引力提供向心力得
解得火星的质量为
（2）假设在火星表面有一质量为的物体，则有
联立解得火星的质量
30．载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标。假设宇航员登上月球后，以初速度竖直向上抛出一个小球，测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t。已知引力常量为G，月球的半径为R，不考虑月球自转的影响，求：
（1）月球表面的重力加速度大小；
（2）月球的质量M；
（3）飞船在距离月球表面高度为2R的轨道绕月球做匀速圆周运动时的周期T。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）小球在月球表面上做坚直上抛运动，有
月球表面的重力加速度大小
（2）假设月球表面一物体质量为，有
月球的质量
（3）飞船在距离月球表面高度为2R的轨道做匀速圆周运动时，有
绕月球做匀速圆周运动的周期
目录
考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢
重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺
难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升
学以致用：真题经典题+提升专练，全面突破
常考考点
真题举例
求天体的质量(密度)
2024年山东卷考题、2024年新课标考题
卫星运行参量
2024年江西卷考题、2024年安徽卷考题
卫星变轨与对接问题
2024年湖北考题
宇宙速度的理解
2024年.河北高考题、2024年湖南卷考题
定 律
内 容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在 的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
a3T2=k,k是一个与行星无关的常量
相距
最远
当两卫星位于和中心天体连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)
相距
最近
两卫星的运转方向相同，且位于和中心天体连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…)