数学北师大版（2024）菱形的性质与判定第1课时教案

这是一份数学北师大版（2024）菱形的性质与判定第1课时教案，共8页。教案主要包含了归纳总结，演绎证明，教材例题等内容，欢迎下载使用。
课题
第1课时 菱形的性质
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P1-4
教学目标
1.理解菱形的概念，了解它与平行四边形之间的关系。
2.经历菱形性质定理的探索过程，进一步发展合理推理能力。
3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。
教学重难点
重点：菱形的概念及其性质定理。
难点：菱形性质定理的灵活应用。
教学准备
多媒体课件、直尺、菱形纸片。
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
下面几幅图片中都含有一些特殊的平行四边形。观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？

师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。
学生回答：这些特殊的平行四边形均是菱形。
这节课我们就来研究菱形的概念及性质。（教师板书课题： 第1课时 菱形的性质）
教师活动：同学们观察显示的图片后，有什么联想？菱形的四条邻边有什么关系？
学生活动：测量比较教科书上第二幅图片中菱形邻边的长度，易知：菱形邻边相等。
【归纳总结】
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
教师活动：除了屏幕上所展示的静态菱形的例子，同学们还能想到生活中有哪些动态菱形的例子？
学生活动：菱形衣帽架、电动门等。
教师通过学生熟悉的场景和事物引出所学内容,使学生感受到数学就在我们身边,数学离不开生活,渗透善于观察生活中的数学的学习意识,同时也激发了学生的学习兴趣,加强了非智力因素的培养。
在菱形定义的基础上，使学生拓展思维，加深对菱形定义的理解。
2.实践探究，学习新知
【探究1】
想一想：
菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？
师生活动：教师板书写出从对称性看、从边看、从角看、从对角线看这四个角度，引导学生列举出菱形所具有的平行四边形的性质。从对称性看：是中心对称图形；从边看：对边平行且相等；从角看：对角相等，相邻的两个角互补；从对角线看：对角线互相平分。
教师追问：菱形还有哪些特殊性质？
学生回答：菱形的邻边相等，菱形的四条边相等。
【探究2】
做一做：用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）菱形中有哪些相等的线段？（教师板书画出一个菱形，如下图）
学生活动：将菱形纸片相等的邻边通过折叠使其重合，易发现折痕所在的直线刚好和对角线所在直线重合，得出结论：菱形是轴对称图形，有两条对称轴，两条对称轴互相垂直、四条边相等。（教师板书记录下学生动手操作后得出的结论）
【演绎证明】
教师活动：探索的结论“菱形的四条边相等，对角线互相垂直”是否正确呢？我们必须加以证明，那么证明的环节有哪些？如何证明这两个性质呢？请同学们先思考。在学生思考、交流的基础上，展示证明过程。
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O。
求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD。
师生活动：操作投影仪。鼓励学生先独立思考，自主分析证明思路，并与同学进行交流。等待大部分学生书写完成后，由学生代表展示证明的书写过程，师生共同评议。
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）。
又∵AB=AD，
∴AB=BC=CD=AD。
（2）∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形。
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=OD（菱形的对角线互相平分）。
在等腰三角形ABD中，
∵BO=OD，
∴AO⊥BD，
即AC⊥BD。
【归纳总结】
由此得到了菱形的两个性质定理：
定理：菱形的四条边相等。
定理：菱形的对角线互相垂直。
【教材例题】
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6。求菱形的边长AB和对角线AC的长。
教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。
学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD（菱形的四条边相等），
AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
OB=OD=BD=3（菱形的对角线互相平分）。
在等腰三角形ABD中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形。
∴AB=BD=6．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，
∴OA===3。
∴AC=2OA=6（菱形的对角线互相平分）。
通过“想一想”，让学生复习回顾菱形所具有的平行四边形的性质，强化思考问题的四个角度。在此基础上，引导学生重点思考菱形的特殊性。
学生动手操作后,小组之间交流通过操作后得出的结论，教师通过追问的方式，让学生互相补充,巩固对菱形性质的理解。教师板书画出一个菱形并标上字母，方便学生用几何语言描述。
通过探究得到猜想，然后通过严谨的证明成为定理，才能用来解决其他问题。教学中，定理的证明也可以让学生自己完成，再与教材中的过程对比。无论采用哪种方式，都应鼓励学生先独立思考、分析证明思路。
对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。
3.学以致用，应用新知
考点1 菱形的四条边相等
例1 边长为3 cm的菱形的周长是（ ）
A. 6 cm B. 9 cm C. 12 cm D. 15 cm
答案：C
变式训练 已知菱形ABCD的周长为20 cm，∠A∶∠ABC=1∶2，则BD= cm。
答案：5
考点2 菱形的对角线互相垂直
例2 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE。
（1）求证：BD=EC；
（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小。
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，DC=AB。
又∵BE=AB，
∴DC=BE。
∵DC∥BE，
∵四边形DBEC是平行四边形，
∴BD∥EC。
（2）由（1）可知BD∥EC，
∴∠ABO=∠E=50°。
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD。
∴∠BAO=90°-∠ABO=90°-50°=40°。
变式训练 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中线，连接OM。若AC=4，BD=8，则OM的长为_________。
答案：
通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“菱形的四条边相等”的性质，此性质一般跟菱形的周长有关，有时会考查在直角坐标系中应用。
通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“菱形的对角线互相垂直”的性质，此性质一般会跟勾股定理或三角形其它性质结合考查。
4.随堂训练，巩固新知
1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 对角相等 B. 对边相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等
答案：C
2. 如图，菱形ABCD的边长为10，∠A=120°，则点A到BD的距离等于（ ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
答案：A
3. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC，O为坐标原点，点C在x轴上，点A的坐标为（-3，4），则顶点B的坐标是（ ）
A. （-5，4） B. （-6，3）
C. （-8，4） D. （2，4）
答案：C
4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若AD=BD，则BE与AD的数量关系是_______。
答案：AD=4BE
5. 在菱形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD上的中点，连接AP，AQ。
图1 图2
（1）如图1，求证：AP=AQ；
（2）如图2，连接PQ，若AP⊥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等于30°的角。
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D。
∵P，Q分别是边BC，CD上的中点，
∴BP=BC，DQ=CD，
∴BP=DQ，
∴△ABP≌△ADQ（SAS），
∴AP=AQ。
（2）由（1）知BP=BC。
∵AP⊥BC，
∴根据直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，得∠BAP=30°。
∵△ABP≌△ADQ，
∴∠DAQ=30°，
∴∠B=∠D=60°，
∴∠BAD=∠C=120°。
∵P，Q分别是边BC，CD上的中点，
∴CP=CQ，
∴∠CPQ=∠CQP=（180°-∠C）=（180°-120°）=30°。
综上所述，∠BAP，∠DAQ，∠CPQ，∠CQP的度数为30°。
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质：
定理：菱形的四条边相等。
定理：菱形的对角线互相垂直。
菱形是轴对称图形，有两条对称轴，两条对角线所在的直线就是它的对称轴。
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P4习题1.1中的T1、T2、T3、T4。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第1课时 菱形的性质
一、菱形的定义
二、菱形的性质
投影区
1.定理
2.定理
3.对称性
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
本节课从平行四边形入手学习菱形的定义和性质，让学生直观体会菱形是特殊的平行四边形。课堂上通过观察图片、折纸活动，让学生直观地感知图形的特点，激发学生学习的兴趣和积极性。在性质的证明和应用过程中，教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较，优化证明方法，提高学生的逻辑推理能力。
反思，更进一步提升。