2024-2025学年福建省龙岩市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省龙岩市高二（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设函数f(x)=ex，若f′(a)=1，则a=( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
2.已知随机变量X～N(2,σ2)，且P(22.5)=( )
A. 0.14B. 0.28C. 0.32D. 0.64
3.已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且OM=12OA+2xOB+yOC，若M，A，B，C四点共面，则2x+y的值为( )
A. 2B. 1C. 12D. 0
4.现有6张卡片，分别写上数字1，2，3，4，5，6.从这6张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ=4)=( )
A. 1120B. 160C. 120D. 110
5.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AD=AA1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，则直线AC1与BB1所成角的余弦值为( )
A. 33B. 32C. 63D. 62
6.已知函数f(x)=asinx−12csx−2在[π6,π3]上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A. [− 32,+∞)B. (−∞,− 32]C. [− 34,+∞)D. (−∞,− 34]
7.一个箱子里有4个球，分别标号为1，2，3，4，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为X，则E(X)=( )
A. 3732B. 8332C. 3716D. 8316
8.设函数f(x)= lnx+x−a，若存在b∈[1e,e](e为自然对数的底数，e=2.71828…)使f(f(b))=b成立，则实数a的取值范围为( )
A. [1,e]B. [1+e−e2,0]
C. [−1+1e−1e2,0]D. [1+e−e2,−1+1e−1e2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=x3+x+1，则( )
A. f(x)在R上单调递增B. f(x)有两个极值点
C. f(x)有一个零点D. 点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
10.近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向.“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如表所示：
则y关于x的( )
参考公式：r=i=1n(xi−x−)(y1−y−) i=1n(xi−x−)2 i=1n(yi−y−)2，b =i=1n(xi−x−)(y1−y−)i=1n(xi−x−)2，a​=y−−b​x−．
参考数值： 13≈3.6056，i=15(xi−x−)(y1−y−)=3.6．
A. 线性回归系数b =0.18B. 线性回归系数b =0.36
C. 相关系数r>0.95D. 相关系数r8；
(3)已知对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点的实数a的值组成的集合为A，求证：(−∞,0)⊆A．
19.(本小题17分)
已知甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色和编号外，其它均相同.现从甲乙两袋中各取一个球交换放入对方袋中，重复进行n(n∈N∗)次这样的操作，记甲袋中黑球的个数为Xn．
(1)若进行一次交换后，从甲袋中任取一个球，求这个球是黑球的概率；
(2)求Xn的数学期望E(Xn)；
(3)信息传递与整合模拟是一种用于研究信息在系统中如何流动、组合以及形成新信息的方法.编号的黑白小球实验可以在一定程度上对信息传递与整合进行简单的信息模拟.现有m+1(m∈N∗)个不同的袋子，每个袋子装有一黑一白两个小球，这些小球除颜色和编号外，其它均相同，袋中的黑白小球代表该信息源所拥有的基础信息单元.若将每个黑球和白球看作不同的信息单元，每个袋子代表一个信息源.现将袋中的所有球取出串成圆环，可模拟信息在m+1个信息源之间传递与整合的过程，圆环上小球的排列顺序和组合方式反映了信息的组织和整合形式.若这串圆环上的小球黑白相间且同个袋子中的黑白两球相邻，这样产生了f(m)种不同的信号.求证：f(m)≤2mm+12em−1．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意可知，f′(x)=ex，所以f′(a)=ea，
又f′(a)=1，所以ea=1，解得a=0．
故选：D．
利用导数即可求解．
本题考查了导数的性质，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意P(X>2.5)=0.5−P(20，
则a≤−12tanx在[π6,π3]上恒成立．
因为函数y=−12tanx在[π6,π3]上单调递减，所以当x=π3时，取得最小值− 32，
所以a≤− 32，即实数a的取值范围是(−∞,− 32]．
故选：B．
由题意f′(x)≤0在[π6,π3]上成立，分离参数后，a≤−12tanx在[π6,π3]上恒成立，根据题意求y=−12tanx的最小值，求解即可．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：依题意，X的可能取值为1、2、3，
其中X=1表示三次抽取同一球，选择球的编号有4种方式，
故P(X=1)=443=116，
X=2表示恰好两种不同球被取出(即一球出现两次，另一球出现一次)，
选取出现两次的球有4种方式，选取出现一次的球有3种方式，
其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X=2的可能情况有4×3×3=36种，
故P(X=2)=3643=916，
X=3表示三种不同球被取出，故可能情况有4×3×2=24种，
故P(X=3)=2443=38，
所以E(X)=1×116+2×916+3×38=3716．
故选：C．
根据题意得到X的可能取值，再利用古典概型的概率公式求得X各取值的概率，进而求得E(X)．
本题考查离散型随机变量的数学期望，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为y= x和y=lnx+x−a在定义域内单调递增，
所以f(x)在定义域内单调递增，
若f(b)>b，则f(f(b))>f(b)>b，
若f(b)0.95，故C正确，D错误．
故选：BC．
结合数据利用公式计算相关系数和线性回归系数，依次判断各选项即可．
本题考查利用最小二乘法求线性回归方程的系数、样本相关系数的求解等，考查学生运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，设G，H为AA1，BB1的中点，
因为μ=12，所以P∈GH，
所以GH/​/AB，AB⊂平面ABC1，GH⊄平面ABC1，
所以GH/​/平面ABC1，
所以三棱锥P−ABC1的体积为定值，所以A正确；
对于B，过A在平面ABC内作AS⊥AC，
以A为原点，以AS、AC、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
设E，F为AB，A1B1的中点，
因为λ=12，所以P∈EF，
可得B( 32,12,0)，C(0,1,0)，
设P( 34,14,z)，
所以AC1=(0,1,1)，CP=( 34,−34,z)，
因为CP⊥平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，
所以AC1⊥CP，
可得CP⋅AC1=( 34,−34,z)(0,1,1)=−34+z=0，
解得z=34，
所以仅有一个点P( 34,14,34)，使得CP⊥平面ABC1，所以B正确；
对于C，因为λ+μ=1，所以P∈BA1，
把平面A1BC1绕BA1旋转到与平面ABA1共面，
所以当A，P，C1三点共线时，|AP|+|PC1|有最小值，
因为cs∠A1BC1=BA12+BC12−C1A124BA1×BC1=34，
因为0°0可得x>4，
由f′(x)