2024-2025学年广东省潮州市高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省潮州市高一（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i是虚数单位，在复平面内，复数z=i⋅(3+i)，则z对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是( )
A. 0.61B. 0.63C. 0.625D. 0.66
3.在△ABC中，已知A=45°,a= 2，则△ABC的外接圆直径为( )
A. 2B. 2C. 12D. 22
4.平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(t,2)，B(4,0)，∠A=90°，则实数t=( )
A. 2B. −2C. ±2D. 2
5.已知圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为5，则圆台的侧面积为( )
A. πB. 16πC. 17πD. 25π
6.已知a=(0,6),b=(1,1)，向量a在b上的投影向量的坐标为( )
A. (1,1)B. (−3,3)C. (3,3)D. (−3,−3)
7.如图，△O′A′B′是△OAB用“斜二测画法”画出的直观图，O′A′=A′B′，O′A′⊥A′B′，O′B′=2，则△OAB的周长是( )
A. 2 2+2
B. 4 2+2
C. 2+4
D. 2 2+2 3+2
8.在△ABC中，已知AB=2，BC=3，B=π3，点M为AC上的点，且AM=3MC，则BM⋅AC=( )
A. 316B. 174C. 1716D. 32
二、多选题：本题共3小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为PM2.5日均值在35μg/m3以下，空气质量为一级；在35～75μg/m3，空气质量为二级；超过75μg/m3为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值(单位：μg/m3)，则下列说法正确的是( )
A. 这10天PM2.5的日均值逐日增大
B. 这10天中PM2.5日均值的平均值是48.8
C. 从PM2.5日均值看，前5天的日均值的标准差小于后5天的日均值的标准差
D. 这10天PM2.5日均值超标的有3天
10.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是( )
A. PB⊥AC
B. PC⊥BC
C. 平面ABC⊥平面PAC
D. 平面PBC⊥平面PAC
11.口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件A=“第一次取出的是红球”，B=“取出的两球同色”，C=“取出的两球不同色”，下列判断中正确的是( )
A. P(A)=12B. B与C互为对立事件
C. A与B互斥D. A与C相互独立
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12.已知i是虚数单位，复数z满足|z−2i|=1，请写出一个满足条件的复数z= ______．
13.假设事件A与B相互独立，且P(A)=0.8，P(B)=0.5，则P(A∪B)= ______．
14.二面角α−l−β的大小是30°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为60°，则AB与平面β所成的角的正弦值是______．
四、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知|a|=1,|b|=2,a⋅b=1．
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a−b|．
16.(本小题8分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．
(1)求证：BD1//平面ACE；
(2)求三棱锥D−AEC的体积．
17.(本小题8分)
为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据(单位：cm)按[140,150)、[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图
(1)求a值，并估计这100名学生身高的第45百分位数；
(2)在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在[150,170)的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人身高都不低于160cm的概率．
18.(本小题10分)
如图，A，B，C，D四点在同一个圆上，BA=BC=5，AD=2，∠BAD为钝角，且sin∠BAD=35．
(1)求CD；
(2)记∠BDC为α，求sin(α+C)的值．
19.(本小题10分)
为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q(p>q)，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为310，每题甲、乙两人恰有一人答对的概率为12．
(1)求p和q的值；
(2)求甲、乙两人共答对3道题的概率．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.A
5.D
6.C
7.D
8.B
9.BC
10.BCD
11.ABD
12.1+2i(答案不唯一)
13.0.9
14. 34
15.(1)由|a|=1,|b|=2,a⋅b=1，
可知a⋅b=|a|⋅|b|csθ=2csθ=1，
则csθ=12，又θ∈[0,π]，
所以θ=π3；
(2)由|a−b|2=a2+b2−2a⋅b=1+4−2=3，
可得|a−b|= 3．
16.(1)证明：连接BD交AC于O，连接OE，所以OE是△BDD1的中位线，
所以OE//BD1，
又OE⊂面AEC，BD1⊄面AEC，所以BD1//平面AEC；

(2)解：正方体ABCD−A1B1C1D1中，AD⊥平面DCC1D1，
所以VD−AEC=VE−ADC=13S△ADC⋅ED=13×12×AD×DC×ED=13×12×2×2×1=23．
17.(1)在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1，组距d=10，
由(0.010+a+0.030+0.028+0.012)×10=1，即0.010+a+0.030+0.028+0.012=0.1，
解得a=0.1−(0.010+0.030+0.028+0.012)=0.020，
1−5组的频率分别为0.1，0.2，0.3，0.28，0.12，
前2组的频率之和为0.1+0.2=0.30.45，
所以第45百分位数落在[160,170)，设为m，
则0.3+(m−160)×0.03=0.45，解得m=165，
所以这100名学生身高的第45百分位数为165；
(2)身高在[150,160)的学生有100×10×0.02=20人，
身高在[160,170)的学生有100×10×0.03=30人，
故身高在[150,170)的学生共有50人，
用分层抽样的方法从身高在[150,160)的学生中抽取5×2050=2名，记为1，2，
从身高在[160,170)的学生中抽取5×3050=3名，记为a，b，c．
从这5名学生中随机选取2名学生的所有结果为ab，ac，a1，a2，bc，b1，b2，c1，c2，12，共10种，
记A=“这2人身高都不低于160cm”，
则A包含的结果有：ab，ac，bc，共3种，
故所求概率P(A)=310．
18.(1)∠BAD为钝角，sin∠BAD=35，则cs∠BAD=− 1−(35)2=−45，
在△ABD中，由余弦定理，BD2=22+52−2×5×2×(−45)=45，则BD=3 5，
圆内接四边形对角互补，于是∠BAD+∠BCD=π，又sin∠BAD=35，则sin∠BCD=35，
由题知∠BAD为钝角，则∠BCD是锐角，于是cs∠BCD= 1−(35)2=45，
在△BCD中，由余弦定理，CD2+52−2×CD×5×45=45，
即CD2−8CD−20=0，解得CD=10(负值舍去)；
(2)由(1)知，CD=10,BD=3 5,BC=5，由余弦定理，csα=102+(3 5)2−522×10×3 5=2 55，
显然α∈(0,π)，sinα>0，则sinα= 1−cs2α= 55，
sin(α+C)=sinαcsC+sinCcsα= 55×45+35×2 55=2 55．
19.(1)根据题意，每题甲、乙两人同时答对的概率为310，每题甲、乙两人恰有一人答对的概率为12．
则pq=310p(1−q)+q(1−p)=12，且p>q，
解得p=35，q=12；
(2)根据题意，甲、乙两人共答对3道题，有2种情况，
①甲答对2题，乙答对1题，概率P1=p2×2q(1−q)=(35)2×2×12×12=950；
②甲答对1题，乙答对2题，概率P2=2p(1−p)×q2=2×35×25×14=325；
于是甲、乙两人共答对3道题的概率P=P1+P2=950+325=310．第一组
第二组
第三组
合计
投篮次数
100
200
300
600
命中的次数
66
126
183
375
命中的频率
0.66
0.63
0.61
0.625