2024-2025学年江苏省宿迁市某校高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省宿迁市某校高一（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.sin83°cs53°−cs83°sin53°=( )
A. − 32B. 32C. −12D. 12
2.复数5i−2的共轭复数是( )
A. 2+iB. −2−iC. −2+iD. 2−i
3.已知x，y为非零实数，向量a，b为非零向量，则|a+b|=|a|+|b|，是“存在非零实数x，y，使得xa+yb=0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.若sin(α+β)=cs2αsin(α−β)，则tan(α+β)的最大值为( )
A. 62B. 64C. 22D. 24
5.在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csCsin(A−B)=csBsin(C−A)，则角A的最小值为( )
A. π6B. π3C. 5π6D. 2π3
6.已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是( )
A. 若m⊂α，n⊂β，m//n，则α//β
B. 若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥β
C. 若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β
D. 若α⊥β，m⊥α，则m//β
7.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1= 2，点P是线段BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是( )
A. 26
B. 5 2
C. 37+1
D. 6+ 2
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.设e1，e2是夹角为60°的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量p，存在唯一有序实数对(λ,μ)，使得p=λe1+e2，我们称有序数对(λ,μ)为向量p的“仿射坐标”.若向量a和b的“仿射坐标”分别为(1,2)，(m,−1)，则下列说法正确的是( )
A. |a|= 7
B. 若m=3，则a+b的“仿射坐标”为(4,1)
C. 若a⊥b，则m=2
D. 若a//b，则m=−12
9.在△ABC中，角A，B，C所对边长为a，b，c，A=π3，角A的平分线AD交BC于D，且AD=2，则下列说法正确的是( )
A. 若c=2，则BD= 6− 2
B. 若c=2，则△ABC的外接圆半径是 2
C. 3bc=b+c
D. bc≥163
10.设i为虚数单位，复数z=(a+i)(1+2i)，则下列命题正确的是( )
A. 若z为纯虚数，则实数a的值为2
B. 若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是(−12,2)
C. 实数a=−12是z=z−(z−为z的共轭复数)的充要条件
D. 若z+|z|=x+5i(x∈R)，则实数a的值为2
11.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ADC=60°，将△ACD沿AC翻折为三棱锥P−ABC，点P为翻折过程中点D的某一位置，则下列结论正确的是( )
A. 无论点P在何位置，总有AC⊥PD
B. 点P存在两个位置，使得V三棱锥P−ABC=1成立
C. 当平面PAC⊥平面BAC时，异面直线PA与BC所成角的余弦值为14
D. 当PB=2时，M为PB上一点，则AM+CM的最小值为2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，b2+c2=accsC+c2csA+a2且S△ABC= 32，则△ABC周长的最小值为______．
13.在直角三角形ABC中，已知CH为斜边AB上的高，AC=2 3，BC=2，现将△BCH沿着CH折起，使得点B到达点B′，且平面B′CH⊥平面ACH，则三棱锥B′−ACH的外接球的表面积为______．
14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy中，A(−2,0)，B(2,0)，点P满足|PA||PB|=3，则PA⋅PB的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a=(2,3)，b=(−1,k)．
(1)若a+b与a−b垂直.求k；
(2)若向量c=(5,1)，若a+2b与2b−c共线，求|a+4b|．
16.(本小题15分)
如图1，直角梯形ABED中，AB=AD=1，DE=2，AD⊥DE，BC⊥DE，以BC为轴将梯形ABED旋转180°后得到几何体W，如图2，其中GF，HE分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧GF，HE上，直线PF/​/平面BHQ．

(1)证明：平面BHQ⊥平面PGH；
(2)若直线GQ与平面PGH所成角的正切值等于 2，求P到平面BHQ的距离；
(3)若平面BHQ与平面BEQ夹角的余弦值为13，求HQ．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=2 3sinxcsx+2cs2(x+π6)−1．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若函数g(x)=f(x)−k在区间[−π6,13π12]上有三个零点，求实数k的取值范围．
18.(本小题16分)
在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P−ABCD.点E在棱PB上，满足PEPB=23，点F在棱PC上，满足PFPC=12，要求同学们按照以下方案进行切割：
(1)试在棱PC上确定一点G，使得EF//平面ABG，并说明理由；
(2)过点A，E，F的平面α交PD于点H，沿平面α平将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置；
(Ⅰ)请求出PHPD的值；
(Ⅱ)若正四棱锥模型P−ABCD的棱长均为6，求直线PA与平面α所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c，bsinA+atanAcsB=2asinC．
(1)求A；
(2)奥古斯丁⋅路易斯⋅柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.已知三维柯西不等式：x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，(x1y1+x2y2+x3y3)2≤(x12+x22+x32)(y12+y22+y32)，当且仅当x1y1=x2y2=x3y3时等号成立．
在(1)的条件下，若a=3．
(ⅰ)求：(a2+b2+c2)[21−cs2A+1cs2(π2−B)+1sin2(π+C)]的最小值；
(ⅱ)若P是△ABC内一点，过P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，设△ABC的面积为S，求T=|AB||PD|+9|BC||PE|+|AC||PF|的最小值．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：sin83°cs53°−cs83°sin53°=sin(83°−53°)=sin30°=12．
故选：D．
由已知结合两角差的正弦公式进行化简即可求解．
本题主要考查了两角差的正弦公式，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：复数5i−2=5(−2−i)(−2+i)(−2−i)=5(−2−i)5=−2−i的共轭复数为−2+i．
故选：C．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：|a+b|=|a|+|b|，故(a+b)2=(|a||+|b|)2，
整理得a⋅b=|a|⋅|b|，即cs=1，故a，b共线且方向相同，
存在非零实数x，y，使得xa+yb=0，故a，b共线，但方向不一定相同，
即“|a+b|=|a|+|b|“是“存在非零实数x，y，使得xa+yb=0的充分不必要条件．
故选：A．
将已知等式两边平方化简，根据充分必要条件的定义判断即可．
本题考查向量共线，考查充分必要条件，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了两角和与差的正切公式，利用同角三角函数的基本关系化简，基本不等式的应用，属于中档题．
由已知结合和差角公式及同角三角函数基本关系进行化简，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】
解：若sin(α+β)=cs2αsin(α−β)，则sin[2α−(α−β)]=cs2αsin(α−β)，
所以sin2αcs(α−β)−sin(α−β)cs2α=cs2αsin(α−β)，
所以sin2αcs(α−β)=2cs2αsin(α−β)，即tan2α=2tan(α−β)，
tan(α+β)=tan[2α−(α−β)]=tan2α−tan(α−β)1+tan2αtan(α−β)=tan(α−β)1+2tan2(α−β)，
若使得tan(α+β)取得最大值，结合选项可知，tan(α−β)>0，
则tan(α+β)=11tan(α−β)+2tan(α−β)≤12 2= 24，当且仅当1tan(α−β)=2tan(α−β)，即tan(α−β)= 22时取等号．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】解：由已知得csC(sinAcsB−csAsin B)=csB(sinCcsA−csCsinA)，整理得：
2csCsinAcsB=csAsinA，因为sinA>0，所以2csCcsB=csA，
又因为csA=−cs(B+C)=−csBcsC+sinBsinC，所以sinBsinC=3csCcsB，即tanBtanC=3，
所以tanA=−tan(B+C)=tanB+tanC2≥ tanBtanC= 3，当且仅当tanB=tanC时等号成立，
故角A的最小值为π3．
故选：B．
根据两角差的正弦公式即可根据条件得出2csCcsB=csA，然后根据csA=−csBcsC+sinBsinC即可求出tanBtanC=3，然后得出tanA=−tan(B+C)，根据两角和的正切公式及基本不等式即可求出A的最小值．
本题考查了两角和差的正弦、余弦和正切公式，基本不等式，是中档题．
6.【答案】B
【解析】解：对于A，若m⊂α，n⊂β，m/​/n，则α与β相交或α/​/β，故A错误；
对于B，若m⊥α，m/​/n，则n⊥α，又n⊂β，则α⊥β，故B正确；
对于C，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n与β相交或n⊂β或n/​/β，故C错误；
对于D，若α⊥β，m⊥α，则m//β或m⊂β，故D错误．
故选：B．
对于A，若m⊂α，n⊂β，m/​/n，不一定α/​/β；对于B，先由m⊥α和m/​/n得n⊥α，再由n⊥α结合面面垂直的判定定理即可得解；对于C，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n与β相交或n⊂β或n/​/β；对于D，若α⊥β，m⊥α，由面面垂直的性质得m//β或m⊂β．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
7.【答案】B
【解析】解：连接A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，连接A1C，其长度即为所求，
∵直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1= 2，
∴矩形BCC1B1是边长为 2的正方形，则BC1=2，
又A1C1=AC=6，在矩形ABB1A1中，A1B1=AB= 36+2= 38,BB1= 2，则A1B= 40，
易发现，62+22=( 40)2，即A1C12+BC12=A1B2，
∴∠A1C1B=90°，则∠A1C1C=135°，
∴A1C= A1C12+C1C2−2A1C1⋅C1C⋅cs135°=5 2．
故选：B．
连接A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，不难看出CP+PA1的最小值是A1C连线的长度，再由余弦定理即可求解．
本题考查的知识点是棱柱的结构特征以及两点之间的距离，其中利用旋转思想，将△CBC1沿BC1展开，进而把空间问题转化为平面内两点间的距离问题是解决本题的关键，属于中档题．
8.【答案】ABD
【解析】解：根据“仿射坐标”定义，a=e1+2e2，b=me1−e2，
对于A，|a|=|e1+2e2|，即|a|2=|e1+2e2|2=|e1|2+4|e1|⋅|e2|cs60°+4|e2|2=7，
∴|a|= 7，故A正确；
对于B，a=e1+2e2，b=3e1−e2，则a+b=4e1+e2，
根据“仿射坐标”定义，a+b的“仿射坐标”为(4,1)，故B正确；
对于C，若a⊥b，则a⋅b=(e1+2e2)⋅(me1−e2)=0，
化简a⋅b=m|e1|2+(2m−1)|e1|⋅|e2|cs60°−2|e2|2=0，
∴m+(2m−1)×12−2=0，解得m=54，故C错误；
对于D，若a//b，a=λb，则e1+2e2=λ(me1−e2)=λme1−λe2，
∴1=λm，2=−λ，联立得出m=−12，λ=−2.故D正确．
故选：ABD．
根据“仿射坐标”定义，a=e1+2e2，b=mme1−e2，将陌生的仿射坐标转化为熟悉的向量表达式来解题即可．
本题考查“仿射坐标”定义、向量的模、向量数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
对于A，由已知在△ABD中，利用余弦定理可求BD的值，即可得解；对于B，若c=2，可求∠ABD=75°，在△ABC中，可求∠ACB=45°，由正弦定理即可求解；对于C，由题意利用三角形的面积公式即可求解；对于D，由题意利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：对于A，若c=2时，在△ABD中，由余弦定理得：
BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cs∠BAD=4+4−2×2×2× 32
=2(4−2 3)=2( 3−1)2，
所以BD= 2( 3−1)= 6− 2，故A正确；
对于B，若c=2时，△ABD为等腰三角形，所以∠ABD=180°−30°2=75°，
所以在△ABC中，∠C=180°−60°−75°=45°，
由正弦定理2R=csinC=2 22=2 2，所以R= 2，故B正确；
对于C，因为S△ABD+S△ADC=S△ABC，
所以12(b+c)⋅AD⋅sin30°=12bcsin60°，
所以 3bc=2(b+c)，故C错误；
对于D，因为 3bc=2(b+c)≥4 bc，所以3(bc)2≥16bc，
可得bc≥163，当且仅当b=c时，等号成立，故D正确．
故选：ABD．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查复数的概念与分类，复数的代数表示及其几何意义，共轭复数，复数的加、减法运算及其几何意义，复数的乘法运算，充要条件及其判断，复数的模及其几何意义，属于基础题．
根据复数的乘法运算和复数的加、减法运算，化简复数z为a+bi的形式．根据复数的概念可判断选项A；根据复数的代数表示及其几何意义可判断选项B；根据共轭复数和充要条件的概念可判断选项C；根据复数的模及其几何意义可判断选项D．
【解答】
解：复数z=(a+i)(1+2i)=(a−2)+(2a+1)i．
对于A：当a=2时，z为纯虚数，故A正确；
对于B：z在复平面内对应的点在第三象限，可得a−2