2024-2025学年云南省昆明市第三中学七年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年云南省昆明市第三中学七年级下学期期末考试数学检测试卷，共27页。
数学试卷
注意事项：
1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写 在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号．
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，
将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3 ．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题（本大题共 15 小题，每小题只有一个正确选项，每小题 2 分，共 30 分）
1 ．下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A ．2 ，3 ，5 B ．3 ，4 ，8 C ．4 ，5 ，6 D ．5 ，5 ，11
2 ．下列调查中，最适合抽样调查的是 ( )
A ．了解神舟飞船发射前零部件的情况 B ．了解某班级学生的月考数学成绩
C ．订购校服时了解某班学生衣服的尺寸 D ．了解生产的一批鞭炮的质量
3 ．下列能表示 △ABC 的边BC 上的高的是( )
A ． B．
C．
D．
4 ．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则 Ð1 的度数是( )
A ．66° B ．60° C ．56° D ．54°
5．去年某市有107493 名学生参加中考，为了解这107493 名学生的数学成绩，从中抽取1000 名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是( )
A ．107493 名考生是总体 B ．样本容量为1000
C ．1000 名考生是总体的一个样本 D ．每位考生是个体
6 ．如图，AC 和BD 相交于O 点，若OA = OD ，用“SAS ”证明△AOB≌△DOC还需( )
A ．AB = DC B ．OB = OC C ．上A = 上D D ．上AOB = 上DOC
ìx -1 > 0
l-3x + 6 ≥ 0
7 ．不等式组 í 的解集在数轴上表示为( )
A ． B ．
C ． D．
8 ．如图，点B、C、D 在同一直线上，若 △ABC≌△CDE ，DE = 3 ，BD = 10 ，则 AB 等于 ( )
A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8
9 ．下列变形错误的是( )
A ．若a > b ，则 a + 5 > b + 5 B ．若a > b ，则 a - 3 > b - 3
C ．若a > b ，则 -2a < -2b D ．若ac > bc ，则 a > b
10 ．等腰三角形的周长为13cm ，其中一边长为5cm ，则该等腰三角形的底边长为( )
A ．3cm B ．5cm C ．3cm 或5cm D ．4cm 或5cm
11 ．在一次数学测试中，将某班 50 名学生的成绩分为五组，第一组到第四组的频数分别为
10 ，8 ，10 ，12，第五组的频率是( )
A ．10 B ．1 C ．0.1 D ．0.2
12 ．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，通过判定三角形全等可说明
上BAD = 上CAD ．则判定三角形全等的依据是( )
A ．ASA B ．SAS C ．SSS D ．AAS
13 ．在 △ABC 中，AC = 5, AB = 8, AD 平分上BAC, DE 丄 AC, DE = 3 ，则△ABD 的面积为 ( )
A ．24 B ．16 C ．12 D ．9
14 ．如图，在△ABC 中，已知点 D，E，F 分别为边 BC，AD ，CE 中点，且△ABC 的面积等 于 4cm2，则阴影部分图形面积等于（ ）.
A ．1cm2 B ．2cm2 C ．0.5cm2 D ．1.5cm2
ì-5x +10 > 0
lx +1 > 2a
15 ．关于x 的不等式组 í 恰有 4 个整数解，则实数a 的取值范围是( )
A ．-1≤ a < 0 B ．-1< a < -
二、（本大题共 4 小题，每小题 2 分，共 8 分）
16 ．“ x 的3 倍与2 的差不小于9”列出的不等式是
17 ．某校开展学生课后服务满意度调查，绘制成扇形统计图，如图，已知“不满意”人数为 15 人，则参与调查的总人数为 ．
18 ．如图．AD 是△ABC 的外角 Ð CAE 的平分线．上B = 35° , 上DAE = 55° . 则Ð ACB 的度 数是 度．
19 ．如图，在Ð AOB 的边OA 、OB 上取点M 、N ，连接MN ，MP 平分上AMN ，NP 平分
上MNB ，若MN = 4 ， △PMN 的面积是 6 ， △ OMN 的面积是 9，则 OM + ON 的长是 ．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 62 分）
20 ．解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
(1)5x ≤ 3x + 2 ；
21 ．如图所示，上1= 上2 ，AE = AB ，AC = AD ．求证：CB = DE ．
22 ．如图，在 △ABC 中，CD 平分 Ð ACB ，上A = 68° , 上BCD = 31° . 求 Ð ADC 的度数．
23．为落实“双减”工作，推行“五育并举”，某学校计划成立五个与球类相关的体育兴趣活动 小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A ．足球、B ．排球、C．篮球、D ．乒乓球、
E ．羽毛球．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计， 并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
(1)本次被抽取了多少名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中的圆心角a 的度数为______；
(4)若该校有 900 名学生，估计该校参加C 组（篮球）的学生人数；
24 ．若二元一次方程组 的解为 x，y，且 2 < k < 4 ，求x -y 的取值范围．
25 ．如图，在 △ABC 中，AE 为边BC 上的高，点 D 为边BC 上的一点，连接AD ．
(1)若点D 为边BC 的中点，AE = 5 ， △ABC 的面积为 30，求CD 的长；
(2)若AD 平分 ÐBAC ，上C = 68° , 上B = 36° ,求 ÐDAE 的度数．
26．某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增 设篮球、足球两门选修课程， 为此需要购进一批篮球和足球．已知购买 2 个篮球和 3 个足球 需要 510 元；购买 3 个篮球和 5 个足球需要 810 元．根据以上信息解答：
(1)购买 1 个篮球和 1 个足球各需要多少钱？
(2)学校计划采购篮球，足球共 50 个，并要求篮球不少于 30 个，且总费用不超过 5500 元， 则有几种购买方案？哪一种方案所需费用最少？最少费用是多少元？
27 ．已知，在四边形ABCD 中，AB = AD ，上B + 上D = 180 ，E、F 分别是BC、CD 边上的 点．且上上BAD ．探究线段BE、EF、DF 的数量关系．
(1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当上B = 上D = 90 ，小宁探究 此问题的方法是：延长EB 到点G ，使BG = DF ，连接AG ，请你补全小宁的解题思路：先 证明 ΔABG≌ ________；再证明 ΔAEG≌_________；即可得出线段BE、EF、DF 之间的数量 关系是______________________．
(2)如图@，在四边形ABCD 中，AB = AD ，上B + 上D = 180 ，E、F 分别是边BC、CD 上的 点，且上上BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
(3)在四边形ABCD 中，AB = AD ，上B + 上D = 180 ，E、F 分别是BC、CD 所在直线上的点， 且上上BAD ．请直接写出BF、EF、DF 线段之间的数量关系．
1 ．C
【分析】本题考查了三角形三边关系， 直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大 于第三边，进而判断得出答案．
【详解】解：A ．: 2 + 3 = 5 ，:不能构成三角形，故该选项不符合题意；
B ．: 3 + 4 < 8 ，:不能构成三角形，故该选项不符合题意；
C ．: 4 + 5 > 6 ，:能构成三角形，故该选项符合题意；
D ．: 5 + 5 < 11 ，:不能构成三角形．故该选项符合题意； 故选：C．
2 ．D
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查， 正确掌握相关性质内容是解题的关键．抽样调查 适用于总体数量大、具有破坏性或耗时的情况， 而全面调查（普查）适用于总体数量小、需 精确结果的情形，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解： A、神舟飞船零部件必须全部检查， 否则隐患可能导致严重后果，需全面调查， 故选项不符合题意；
B、班级人数较少，直接统计所有学生成绩更准确，适合全面调查，故选项不符合题意；
C、订购校服需每个学生的尺寸，否则无法保证合身，必须全面调查，故选项不符合题意；
D、鞭炮质量检测具有破坏性（检测后无法销售），且数量庞大，适合通过抽样推断整体质 量，故选项符合题意
故选:D．
3 ．B
【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握高的定义是解题的关键． 从BC 所对的顶点A 向BC 或BC 的延长线作垂线段即可．
【详解】解：A ．BE 不是任何边上的高，故不符合题意；
B ．AE 是△ABC 的边BC 上的高，故符合题意；
C ．BE 是 △ABC 的边AC 上的高，故不符合题意；
D ．AB 不是任何边上的高，故不符合题意； 故选 B．
4 ．A
【分析】本题考查了全等三角形的性质， 三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质是解题 的关键．
根据三角形内角和定理可得 上C = 66° , 由图形，结合题意得到 AC = A¢C ¢, 上C = 上C¢ = 66° , 由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
在 △ABC 中，上C = 180° - 上A - 上B = 180° - 64° - 50° = 66° ,
∵如图是两个全等三用形，
: AB = A¢B ¢ = c, BC = B ¢C ¢ = a ， : AC = A¢C ¢, 上C = 上C¢ = 66° ,
: 上1 = 66° , 故选：A ．
5 ．B
【分析】总体是指考查的对象的全体， 个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所 抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、 样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据 的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：A 、107493 名考生的数学成绩是总体，故 A 不符合题意；
B、样本容量为1000，故 B 符合题意；
C 、1000 名考生的数学成绩是总体的一个样本，故 C 不符合题意；
D、每位考生的数学成绩是个体，故 D 不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量， 解题要分清具体问题中的总体、个体与 样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的， 所不同的是范围的 大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
6 ．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法SAS 即可求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键．
【详解】解：在 △AOB 和 △DOC 中，OA = OD ，上AOB = 上DOC ，
若要用SAS 证明△AOB≌△DOC ，则需要添加条件 OB = OC ， 故选：B ．
7 ．D
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同 大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求 出每一个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集，再根据在数轴上表示即可得到答 案．
ìx -1 > 0①
l-3x + 6 ≥ 0②
【详解】解： í ,
解不等式①得：x > 1
解不等式②得：x ≤ 2 ，
:不等式组的解集为1< x ≤ 2 ， 在数轴上表示如下：
故选：D
8 ．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质和线段和差，根据全等三角形的性质得出AB = CD ， BC = DE = 3 ，再由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】:△ABC ≌ △CDE ， : AB = CD ，BC = DE = 3 ， : BD = 10 ，
: CD = BD - BC = 10 - 3 = 7 ， : AB = CD = 7 ，
故选：C ．
9 ．D
【分析】此题考查了不等式的性质 ．根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A、若a > b，则 a + 5 > b + 5 ，本选项不符合题意；
B、若a > b ，则 a - 3 > b - 3，本选项不符合题意；
C、若a > b ，则 -2a < -2b ，本选项不符合题意；
D、若ac > bc ，当 c < 0 时，则a < b ，原变形错误，本选项符合题意． 故选：D．
10 ．C
【分析】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质， 此题分为两种情况：5cm 是等腰三角形 的底边或5cm 是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角 形．同时注意三角形的三边关系．
【详解】解： 当5cm 是等腰三角形的底边时，则其腰长是(13 - 5) ÷ 2 = 4cm ，能够组成三角形； 当5cm 是等腰三角形的腰时，则其底边是13 - 5× 2 = 3cm ，能够组成三角形．
故选：C．
11 ．D
【分析】本题考查频数与频率，熟练掌握频数与频率的关系是解题的关键．
一个容量为50 的样本，把它分成5 组，第一组到第四组的频数分别为为 10 ，8 ，10 ，12，用 样本容量减去前四组的频数，得到第五组的频数，进而根据频率＝频数÷样本容量计算即可． 【详解】∵一个容量为50 的样本，把它分成5 组，第一组到第四组的频数分别为 10 ，8 ，10， 12，
:第五组的频数是50 -10 - 8 -10 -12 = 10 ，
:第五组的频率 ．
故选 D．
12 ．C
【分析】根据作图得到 AE = AF ，ED = FD ，以及 AD 为公共边，则可利用SSS 证明
△AED≌△AFD ，即可求解．
【详解】解：由作图得 AE = AF ，ED = FD ，而 AD 为公共边，所以 △AED≌△AFD （ SSS ）． 所以上BAD = 上CAD ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是基本作图，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．
13 ．C
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过 D 点 作DF 丄 AB 于 F，如图，根据角平分线的性质得到DF = DE = 3 ，然后根据三角形面积公式
进行计算．
【详解】解：过 D 点作DF丄 AB 于 F，如图，
: AD 平分上BAC，DE 丄 AC，DF 丄 AB ， : DF = DE = 3 ，
故选：C．
14 ．A
【分析】根据三角形中线的性质可得 S△△ABC，S△△△ABC ，结合已知 条件即可求解．
【详解】解：:点 D ，E 分别为边 BC， AD 中点，
:F 是 EC 的中点，
△ABC ，
Q △ABC 的面积等于 4cm2， :S△BEF=1cm2，
即阴影部分的面积为 1cm2, 故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键．
15 ．D
【分析】用含 a 的代数式表示出不等式组的解集，根据解中恰有 4 个整数解，确定出 a 的范 围即可．
ì-5x +10 > 0①
lx +1 > 2a②
【详解】解： í ,
解①得，x2a-1， :2a-1＜x＜2，
由不等式组恰有 4 个整数解，得到整数解为-2 ，-1 ，0 ，1， :-3≤2a-1＜-2，
解得：
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是本题的突破点． 16 ．3x - 2 ≥ 9
【点睛】本题考查了列不等式， 不小于9 就是大于等于9 ，根据x 的3 倍与2 的差不小于9 可 列出不等式．
【详解】解：x 的3 倍与2 的差不小于9 ，列出的不等式是3x - 2 ≥ 9
故答案为：3x - 2 ≥ 9 ．
17 ．300
【分析】本题主要考查了扇形统计图， 用“不满意”人数除以其占总人数百分比，即可得到答 案．
【详解】解：15 ÷ (1- 35% - 40% - 20%) = 300 （人），
:参与调查的总人数为300 人， 故答案为：300．
18 ．75
【分析】本题主要查了三角形外角的性质 ．先根据角平分线的定义可得
上CAE = 2上DAE = 110° ,然后根据三角形外角的性质解答，即可． 【详解】解：: AD 是△ABC 的外角 Ð CAE 的平分线，上DAE = 55° , : 上CAE = 2上DAE = 110° ,
: 上CAE = 上B + 上ACB ，上B = 35° , : Ð ACB = 上CAE - 上B = 75° .
故答案为：75
19 ．10
【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积公式．
过点P 作PE 丄 OB 于E ，PF 丄 MN 于F ，PG 丄 OA 于G ，连接OP ，根据角平分线的性质 及三角形的面积得出PF = PG = PE = 3 ，再根据S△OPN + S△OPM - S△MNP = 9 ，代入数据进行计 算即可得到答案．
【详解】解：如图，过点 P 作PE 丄 OB 于E ，PF 丄 MN 于F ，PG 丄 OA 于G ，连接OP ，
, Q MP 平分上AMN ，PF 丄 MN ，PG 丄 OA ，
:PF = PG ，
同理可得PF = PE ，
:PF = PE = PG ，
QMN = 4 ， △PMN 的面积是 6，
:PF = 3 ，
:PF = PG = PE = 3， Q △ OMN 的面积是 9，
:S△OPN + S△OPM - S△MNP = 9 ，
: OM + ON = 10 ， 故答案为：10 ．
20 ．(1) x ≤ 1，数轴表示见解析
(2) 2 < x ≤ 7 ，数轴表示见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式，一元一次不等式组，在数轴上表示解集，掌握解不等 式及不等式组的方法是解题的关键．
（1）根据解一元一次不等式的步骤求出解集，再在数轴上表示解集即可；
（2）先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，再在数轴上表示
解集即可．
【详解】（1）解：5x ≤ 3x + 2 ， 移项，得5x - 3x ≤ 2 ，
合并同类项，得2x ≤ 2 ， 系数化为 1，得 x ≤ 1．
该解集在数轴上表示为：
解 解不等式①,得 x ≤ 7 ，
解不等式②,得 x > 2 ，
:不等式组的解集为2 < x ≤ 7 ， 该解集在数轴上表示为：
21 ．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，只需要利用SAS 证明 △BAC≌△EAD 即 可证明CB = DE ．
【详解】证明：: 上1= 上2 ，
: 上1+ 上BAD = 上2 + 上BAD ，即 上BAC = 上EAD ， 又: AE = AB ，AC = AD ，
: △BAC≌△EAD (SAS)， : CB = DE ．
22 ．81°
【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线，先根据角平分线的定义求出上ACD 度数， 然后在 △ACD 中，根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：: CD 平分 Ð ACB ，上BCD = 31° , : 上ACD = 上BCD = 31° ,
又上A = 68° ,
: 上ADC = 180° - 上A - 上ACD = 81° .
23 ．(1) 300
(2)见解析
(3)120° (4) 210
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联， 由样本估计总体等知识．由条形统计图 和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键．
（1）用 B 小组的人数除以其所占百分比即可解答；
（2）先求出 D 小组的人数，进而即可补全条形统计图；
（3）用 D 小组的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以360° 即可；
（2）用C 小组的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以该校总人数即可． 【详解】（1）解：此次调查一共随机抽取了30 ÷ 10% = 300 名学生．
故答案为：300；
（2）此次调查 D 小组的人数为300 - (40 + 30 + 70 + 60) = 100 名， 故补全条形统计图如下：
（3）扇形统计图中圆心角 故答案为：120 ；
解 名，
答：若该校有 900 名学生，估计该校参加C 组（篮球）的学生人数约为210 名．
24 ．0 < x - y < 0.4
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组，先求出x -y 的值，根据已 知2 < k < 4 进行变形，即可求出答案．
解 ① - ② 得：5x - 5y = k - 2 ，
: 2 < k < 4 ，
: 0 < k - 2 < 2 ，
: 0 < x - y < 0.4 ，
即x -y 的取值范围是：0 < x - y < 0.4．
25 ．(1)6
(2)16°
【分析】本题主要考查了三角形中线的定义， 角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形 外角的性质，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据三角形面积计算公式求出 BC ，再根据三角形中线的定义即可得到CD 的长；
（2）由三角形内角和定理求出 ÐBAC 的度数，再由角平分线的定义得到 ÐBAD 的度数，接 着求出 Ð ADE 的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】（1）解：Q AE 丄 BC ，
: AE = 5，
:BC = 12 ，
QD 是BC 的中点，
（2）解：: 上C = 68° , 上B = 36° , : 上BAC = 180° - 上B - 上C = 76° , : AD 平分 ÐBAC ，
: Ð ADE = ÐB + ÐBAD = 74° ,
: ÐDAE = 180° -∠AED -∠ADE = 16° .
26 ．(1)120 元，90 元
(2)一共有 4 种方案，方案一所需费用最少，最少的费用为5400 元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，
对于（1），先设购买 1 个篮球为 x 元，1 个足球需要y 元，再根据等量关系列出方程组，求 出解即可；
对于（2），根据不等关系列出不等式组，求出解集得出方案．
【详解】（1）解：购买 1 个篮球需要 x 元，1 个足球需要y 元，根据题意，得
解得 ，
所以购买 1 个篮球需要 120 元，1 个足球需要 90 元；
（2）解：设采购篮球 m 个，则足球(50 - m) 个，根据题意，得
ìm ≥ 30
í ,
l120m +90(50 - m) ≤ 5500
解得 ， 所以m = 30, 31, 32, 33 ， 一共有 4 种方案，
方案一：当采购篮球 30 个，足球 20 个时，所需费用为120× 30 + 90 × 20 = 5400 （元）；
方案二：当采购篮球 31 个，足球 19 个时，所需费用为120× 31+ 90 × 19 = 5430 （元）；
方案三：当采购篮球 32 个，足球 18 个时，所需费用为120× 32 + 90 × 18 = 5460 （元）；
方案四：当采购篮球 33 个，足球 17 个时，所需费用为120× 32 + 90 × 18 = 5490 （元）． ∵ 5400 < 5430 < 5460 < 5490 ，
:方案一所需费用最少，最少的费用为5400 元．
27 ．(1)ΔADF, ΔAEF, EF = BE + FD
(2)成立，理由见解析
(3) EF = BE - FD 或EF = FD - BE 或EF = BE + FD ；
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的 关键．
（1）依据题意，补全小宁的解题思路即可；
（2）延长 EB 到点 G，使 BG = DF ，连接 AG ，先证明△ABG≌△ADF(SAS) ，再证明
△AEG≌△AEF(SAS) ，即可得出线段 BE、EF、FD 之间的数量关系；
（3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计 算即可．
【详解】（1）解：补全小宁的解题思路如下：
先证明 △ABG≌△ADF ；再证明 △AEG≌△AEF ；即可得出线段 BE、EF、FD 之间的数量关系 是EF = BE + FD ，
故答案为： △ADF ， △AEF ，EF = BE + FD ；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图②,延长 EG 到点 G，使 BG = DF ，连接 AG ，
: 上ABC + 上D = 180°, 上ABG + 上ABC = 180° , : 上D = 上ABG ，
在△ABG 与△ADF 中，
:△ABG≌△ADF(SAS) ，
: AG = AF， ∠BAG = ∠DAF ，
: 上BAG + 上BAF = 上DAF + 上BAF ， : 上GAF = 上BAD ，
: 上GAE = 上EAF ，
在△AEG 与△AEF 中，
: △AEG≌△AEF(SAS) ， : EF = EG ，
∵ EG = BE + BG ， : EF = BE + FD ；
（3）解：EF = BE - FD 或EF = FD - BE 或EF = BE + FD ，理由如下：
① EF = BE - FD ，如图：在 BE 上截取BG ，使 BG = DF ，连接 AG ，
∵ 上B + 上ADC = 180°, 上ADF + ADC = 180° : 上B = 上ADF
在△ABG 与△ADF 中，
:△ABG≌△ADF(SAS)
: AG = AF， ∠BAG = ∠DAF ，
: 上BAG + 上GAD = 上DAF + 上GAD ， : 上GAF = 上BAD ，
: 上GAE = 上EAF ，
在△AEG 与△AEF 中，
: △AEG≌△AEF(SAS) ， : EF = EG ，
∵ EG = BE - BG ， : EF = BE - FD ；
② EF = FD - BE ，如图，在 DF 上截取DH = BE ，
同第一种情况，先证得 △ABE≌△ADH(SAS) ，再证得△AEF≌△AHF(SAS) ， : EF = FH = FD - DH = FD - BE ；
③由（1）、（2）可知，EF = BE + FD ；
④如图，点E 在BC 延长线上，点F 在DC 延长线上，此时线段BE、EF、FD 之间并无 直接数量关系；
综上，线段BE、EF、FD 之间的数量关系为EF = BE - FD 或EF = FD - BE 或EF = BE + FD ．