2024-2025学年山东省枣庄市台儿庄区八年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年山东省枣庄市台儿庄区八年级下学期期末考试数学检测试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024~2025 学年度第二学期期末质量检测
八年级数学试题
亲爱的同学：
祝贺你完成了一个阶段的学习，现在是展示你的学习成果之时，你可以尽情地 发挥，祝你成功！
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在下面的表格内．
1 ．要使分式 有意义，则 x 的取值应满足( )
A ．x ≠ 2 B ．x ≠ -1 C ．x = 2 D ．x = -1
2 ．中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是( )
A ． B ．
C．
D．
3 ．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A ．x (x +1) = x2 + x B ．x2 + xy - 3 = x (x + y) - 3
C ．x2 + 6x + 4 = (x + 3)2 - 5 D ．x2 + 2x +1 = (x +1)2
4 ．如图，。ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点 O，则下列结论一定正确的是( )
A ．AB = BC B ．AD = BC C ．OA = OB D ．AC ^ BD
5 ．实数 m ，n 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A ．mn > 0
B ．m > -n
C ． m > n
D ．m +1 > n +1
6 ．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y ＝kx+b（k、b 为常数，且 k＜0）的图象与直线 都经过点 ，当 的取值范围是 ( )
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
7 ．已知关于 x 的分式方程 的解为非正数，则 m 的取值范围是( )
A ．m < 1 B ．m ≤ 1 C ．m ≤1 且m ≠ -1 D ．m < 1且m ≠ -1
8 ．计算 的结果等于 ( )
A ．3 B．x C ． D ．
9 ．如图，点A(2,1) ，将线段 OA 先向上平移 2 个单位长度，再向左平移 3 个单位长度，得 到线段O ' A ' ，则点 A 的对应点A' 的坐标是( )
A ．(-3, 2) B ．(0, 4) C ．(-1,3) D ．(3, -1)
10 ．将多项式 -6a3b2 - 3a2b2 因式分解时，应提取的公因式是( )
A ．-3a2b2 B ．-3ab C ．-3a2b D ．-3a3b3
11 ．如图，在。ABCD 中，分别以点A, C 为圆心，大于AC 的长为半径作弧，两弧相交于 点M和N ，作直线MN，分别交边AD, BC 于点E, F ，连接AF ，若△ABF 的周长为 10，则
。ABCD 的周长为( )
A ．18 B ．20 C ．22 D ．24
12 ．如图，将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转90° 得到△ADE ，点 B ，C 的对应点分别为点 D ，E， 连接CE ，点 D 恰好落在线段CE 上，若CD = 3 ，BC = 1，则 AD 的长为( )
A ． ·、 B ． C ．2 D ．
二、填空题：每题 3 分，共 18 分，将答案填在答题纸上．
13 ．分解因式：-2x2 + 4x - 2 = ．
14 ．化简
15 ．若方程 有增根，则k = .
16 ．如图，在平行四边形ABCD 中，上D = 66° , 上ACB = 36° ,则 ÐBAC 的度数 为 ° .
17 ．若关于x 的不等式组 的解集为x < 3 ，则 m 的取值范围是 ．
18 ．如图，在Rt△ABC 中， 上ABC = 90° , AB = 6 ，BC = 8 ．点P 为边AC 上异于A 的一点， 以PA ，PB 为邻边作。PAQB ，则线段PQ 的最小值是 ．
三、解答题：（满分 66 分）
19 ．（1）因式分解：a2 (x + y) - 9b2 (x + y)
（2）解方程
20 ．解不等式组 并写出它的所有整数解．
21 ．先化简，再求值 然后从 1 ，2 ，3，4 中选择一个合适的数代 入求值．
22 ．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 在对角线 BD 上，且 BE＝DF．求证：
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形 AECF 是平行四边形．
23 ．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了 A ，B 两种型号的机器人模型．A 型机器 人模型单价比 B 型机器人模型单价多200 元，用2000 元购买 A 型机器人模型和用 1200 元 购买 B 型机器人模型的数量相同．
(1)求 A 型，B 型机器人模型的单价分别是多少元?
(2)学校准备再次购买 A 型和 B 型机器人模型共 40 台，购买 B 型机器人模型不超过 A 型机 器人模型的 3 倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买 A 型和 B 型 机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元?
24．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的 已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广 泛的应用．例如，①用配方法分解因式：a2 + 6a + 8 ．原式= a2 + 6a + 9 -1 = (a + 3)2 -1
= (a + 3 + 1) (a + 3 - 1) = (a + 4) (a + 2) ．②利用配方法求最小值：求 a2 + 6a + 8最小值．解： a2 + 6a + 8 = a2 + 2a . 3 + 32 - 32 + 8 = (x + 3)2 - 1．因为不论x 取何值，(a + 3)2 总是非负数，即 (a + 3)2 ≥ 0 ．所以(a + 3)2 -1 ≥ -1，所以当 x = -3 时，a2 + 6a + 8有最小值，最小值是-1．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：x2 - 8x + = (x - _____ )2 ．
(2)将x2 -10x + 2变形为(x + m)2 + n 的形式，并求出x2 -10x + 2的最小值．
(3)若 M= 6a2 +19a +10 ，N = 5a2 + 25a ，其中 a 为任意实数，试比较 M 与 N 的大小，并说 明理由．
25．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起 来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：
如图 1，若△ABC 和△ADE 是顶角相等的等腰三角形，BC，DE 分别是底边.求证：
BD = CE ；
图
1
(2)解决问题：如图 2，若 △ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，上ACB = 上DCE = 90° , 点 A ，D ，E 在同一条直线上，CM 为 △DCE 中 DE 边上的高，连接 BE，请判断 -n ，正确，符合题意；
C ． m < n ，错误，不符合题意；
D ．m +1 < n +1，错误，不符合题意． 故选：B．
【点睛】本题考查了实数与数轴，绝对值的意义，数形结合是解题的关键．
6 ．A
【分析】根据不等式 的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的 取值范围求解即可
【详解】解： 由函数图象可知不等式 x 的解集即为一次函数图象在正比例函数图象 下方的自变量的取值范围，
:当 的取值范围是x > 3 ， 故选 A．
【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的 关键．
7 ．C
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数， 先解方程得到 再根据分 式方程的解为非正数且分母不为 0 得到不等式组，解之可得答案．
解 去分母得：m - x - 1 = x ，
解得 ，
:关于 x 的分式方程 的解为非正数，
ï 2
: í ,
ï m -1+1 ≠ 0
ïl 2
: m ≤1 且m ≠ -1， 故选：C．
8 ．A
【分析】本题考查了分式的加减运算， 解题的关键是掌握运算法则进行解题．通过通分将两 个分式合并，再化简得到结果．
解：原式
= 3 ．
故选：A．
9 ．C
【分析】根据点向上平移 a 个单位，点向左平移 b 个单位，坐标 P（x，y）→P（x，y+a） →P（x+a，y+b），进行计算即可．
【详解】解：:点A 坐标为（2 ，1），
:线段 OA 向上 平移 2 个单位长度，再向左平移 3 个单位长度，点 A 的对应点 A9的坐标为 （2-3 ，1+2），
即（-1 ，3）， 故选 C．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减； 纵坐标，上移加，下移减．
10 ．A
【分析】提取公因式时：系数取最大公约数；字母取相同字母的最低次幂．
【详解】-6a3b2-3a2b2=-3a2b2（2a+1）． 所以应提取的公因式是-3a2b2．
故选 A．
【点睛】本题主要考查公因式的确定， 注意找公因式的方法，特别不要漏掉找系数的最大公 约数．
11 ．B
【分析】本题考查尺规作图-垂直平分线，涉及中垂线性质、平行四边形性质等知识，根据 题意，由基本尺规作图得到MN 是线段AC 的中垂线，结合平行四边形性质、三角形周长及 平行四边形周长的表示，数形结合，代值求解即可得到答案，熟记尺规作图-垂直平分线的 做法是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，MN 是线段AC 的中垂线，
:FA = FC ，
Q △ABF 的周长为 10，
: C△ABF = AB + BF + FA = 10 ，则 AB + BC = 10 ，
在YABCD 中，AB = DC ，AD = BC ，
: YABCD 的周长为AB + BC + DC + AD = 2 (AB + BC ) = 20 ， 故选：B．
12 ．A
【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得
AC = AE ，上CAE = 90° , DE = BC = 1，推出△ACE 是等腰直角三角形，CE = 4 ，过点 A 作AH⊥CE 于点 H，得到 HD = 1，利用勾股定理求出 AD 的长．
【详解】解：由旋转得△ABC ≌△ADE ，上CAE = 90° , : AC = AE ，上CAE = 90° , DE = BC = 1，
:△ACE 是等腰直角三角形，CE = CD + DE = 3 +1 = 4 ， 过点 A 作AH⊥CE 于点 H，
: HD = HE - DE = 2 -1 = 1，
: AD = = = ，
故选：A．
13 ．-2(x -1)2
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：-2x2 + 4x - 2 = -2(x2 - 2x + 1) = -2(x -1)2 故本题答案为：-2(x -1)2 ．
14 ．
【分析】直接利用分式的混合运算法则即可得出. 原式

故答案为- .
【点睛】此题主要考查了分式的化简，正确掌握运算法则是解题关键.
15 ．6
【分析】将分式方程去分母后，将 x=3 代入求出 k 值即可.
【详解】解：去分母得 2x - k = x - 3
∵方程有增根，
:最简公分母 x-3=0，即增根是 x=3， 把 x=3 代入整式方程，得 k=6．
故答案为 6
【点睛】本题考查了分式方程的增根，注意解答增根问题按如下步骤进行：①根据最简公 分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母 的值．
16 ．78° ##78 度
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，三角形内角和定理，结合图形求解是解题关键 根据平行四边形的性质即可得到上D = 上B = 66° ,再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：在平行四边形 ABCD 中，上D = 66° , :上D = 上B = 66° ,
∵ 上ACB = 36° ,
: 上BAC = 180° - 66° - 36° = 78° 故答案为：78° .
17 ．m ≥ 2
【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数， 求出不等式 ① 的解集，可得m +1 ≥ 3 ，据 此即可求解，由不等式组解集的情况得到m +1 ≥ 3 是解题的关键．
< 5①
+1②
ì2x -1
【详解】解： í
lx < m
,
由 ① 得，x < 3 ，
∵不等式组的解集为x < 3 ， : m +1≥ 3 ，
: m ≥ 2 ，
故答案为：m ≥ 2 ．
18 ．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识点， 掌握平行四边形对角线 相互平分是解题的关键．
由勾股定理可得AC = 10 ，设AB 与PQ 交于点 O，过 O 作OP1 丄 AC 于点P1 ，由四边形作PAQB 是平行四边形得OA = OB = AB = 3 、 根据垂线段最短可得当OP1 丄 AC 时，即 P 与P1 重合时，OP1 最小；再运用三角函数求得OP1 ，进而求得PQ 即可解答．
【详解】解：∵在Rt△ABC 中，上ABC = 90° , AB = 6 ，BC = 8 ，
如图，设AB 与PQ 交于点 O，过 O 作OP1 丄 AC 于点P1 ，
: 上AP1O = 90° ,
:四边形PAQB 是平行四边形，
:当线段PQ 长最小，则线段OP 的长最小，
由垂线段最短可得：OP1 丄 AC 时，即 P 与P1 重合时，OP1 最小；
解得
:线段PQ 长最小为 ．
故答案为： ．
19 ．（1）(x + y)(a + 3b)(a - 3b) ；（2）无解
【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关 键，也解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分 式方程的解．
【详解】（1）解：a2 (x + y) - 9b2 (x + y)
= (x + y)(a2 - 9b2 )
= (x + y)(a + 3b)(a - 3b)
（2）
去分母得：1- x + 2(x - 2) = -1
去括号得：1- x + 2x - 4 = -1
解得：x = 2
经检验：x = 2 是原方程的增根
所以原方程无解
20 ．0 < x ≤ 4 ，整数解为1, 2,3, 4 ．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取 大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求 出其整数解即可．
解 解不等式①得x > 0 ，
解不等式②得x ≤ 4 ，
:不等式组的解集为0 < x ≤ 4
:不等式组的整数解为1, 2,3, 4 ．
当m = 2 时，值为-
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的 m 的值代入进行计算 即可．
解
Qm - 3 ≠ 0，m -1≠ 0，
:m ≠ 3，m ≠ 1，
:当m = 2 时，原式
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
22 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 AB ⅡCD ，AB = CD ，根据平行线的性质可得
上ABE = 上CDF ，结合已知条件根据 SAS 即可证明△ABE≌△CDF ；
（2）根据△ABE≌△CDF 可得AE = CF, 上AEB = 上CFD ，根据邻补角的意义可得
上AEF = 上CFE ，可得 AE Ⅱ CF ，根据一组对边平行且相等即可得出． 【详解】（1）证明：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
: ABⅡCD ，AB = CD ， : 上ABE = 上CDF ，
又BE = DF ，
:△ABE≌△CDF （SAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△CDF ， : AE = CF, 上AEB = 上CFD
:上AEF = 上CFE
: AE Ⅱ CF ，
:四边形 AECF 是平行四边形
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定， 全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形 的性质与判定是解题的关键．
23 ．(1)A 型编程机器人模型单价是 500 元，B 型编程机器人模型单价是 300 元
(2)购买 A 型机器人模型 10 台和 B 型机器人模型 30 台时花费最少，最少花费是 11200 元
【分析】（1）设 A 型编程机器人模型单价是x 元，B 型编程机器人模型单价是(x - 200) 元， 根据：用 2000 元购买 A 型机器人模型和用 1200 元购买 B 型机器人模型的数量相同即可列 出关于 x 的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买 A 型编程机器人模型m 台，购买 A 型和 B 型编程机器人模型共花费w 元，根据 题意可求出 m 的范围和 W 关于 m 的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值 【详解】（1）解：设 A 型编程机器人模型单价是x 元，B 型编程机器人模型单价是(x - 200) 元．
根据题意，得 解这个方程，得x = 500
经检验，x = 500 是原方程的根．
x - 200 = 300
答：A 型编程机器人模型单价是 500 元，B 型编程机器人模型单价是 300 元．
（2）设购买 A 型编程机器人模型m 台，购买 B 型编程机器人模型(40 - m) 台，购买 A 型和
B 型编程机器人模型共花费w 元，
由题意得：40 - m ≤ 3m ，解得 m ≥ 10 ． : w = 500 × 0.8. m + 300 × 0.8 . (40 - m)
即w = 160m + 9600 ， : 160 > 0 ，
: w 随m 的增大而增大．
:当m = 10 时，w 取得最小值 11200，此时 40 - m = 30 ；
答：购买 A 型机器人模型 10 台和 B 型机器人模型 30 台时花费最少，最少花费是 11200 元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、 一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解 题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．
24 ．(1)16 ，4
(2) (x - 5)2 - 23 ，原式有最小值 -23
(3) M > N ，理由见解析
【分析】本题主要考查了完全平方公式：
（1）根据完全平方公式的特点求解即可；
（2）仿照题意配方求解即可；
（3）利用作差法求出 M - N = (a - 3)2 +1 即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，x2 - 8x +16 = (x - 4)2 ，
故答案为：16；4；
（2）解：x2 -10x + 2
= x2 - 10x + 25 - 23
= (x - 5)2 - 23 ，
: (x - 5)2 ≥ 0 ，
: (x - 5)2 - 23 ≥ -23 ，
:当x =5 时，x2 -10x + 2有最小值，最小值为-23；
（3）解：M > N ，理由如下：
∵ M = 6a2 +19a +10 ，N = 5a2 + 25a ， : M - N = 6a2 +19a +10 - 5a2 - 25a
= a2 - 6a +10
= (a2 - 6a + 9)+1
= (a - 3)2 +1 ， ∵ (a - 3)2 ≥ 0 ， : (a - 3)2 +1 > 0 ，
: M - N > 0 ，即 M > N ．
25 ．(1)见解析
(2) 上DCE = 90° ；AE = AD + DE = BE + 2CM
【分析】（1）先判断出