2024-2025学年内蒙古呼伦贝尔市鄂伦春自治旗八年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年内蒙古呼伦贝尔市鄂伦春自治旗八年级下学期期末考试数学检测试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024－2025 学年下学期八年级鄂伦春自治旗期末测试题
数 学
一、选择题（下列各题选项中只有一个正确．共 8 小题，每题 3 分，共 24 分）
1 ．下列运算正确的是( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是( )
A ． B．
C ． D．
3 ．如图，直线l1 ：y1 = kx + b 与直线l2 ：y2 = mx + n 的交点坐标为(2,1) ，则使不等式 kx + b < mx + n 成立的 x 取值范围是( )
A ．x > 2 B ．x > 1 C ．x < 2 D ．x < 1
4 ．已知三角形的三边长为 a 、b 、c ，如果 则△ABC 是 ( )
A ．以 a 为斜边的直角三角形 B ．以 b 为斜边的直角三角形
C ．以 c 为斜边的直角三角形 D ．不是直角三角形
5 ．下列表示一次函数y = mx - n 与正比例函数y = mnx （m 、n 为常数，且 mn≠0）图象中， 一定不正确的是( )
A ． B．
C．
D．
6．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7m ，梯子顶端到地面的距离 AC 为2.4m ．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在 右墙时，梯子顶端到地面的距离A¢D 为1.5m ，则小巷的宽为( ).
A ．2.4m B ．2m C ．2.5m D ．2.7m
7 ．甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑 自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离s(km) 与运动 时间t(h) 的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是( ).
A ．两人出发 1 小时后相遇 B ．赵明阳跑步的速度为8km/ h
C ．王浩月到达目的地时两人相距10 km D ．王浩月比赵明阳提前1.5h 到目的地
8 ．如图，在正方形ABCD 中，P 是边AB 上一动点（不与A 、B 重合），对角线AC 、BD 相 交于点O ，过点 P 分别作AC 、BD 的垂线，分别交AC 、BD 于点E 、F ，交 AD 、BC 于 点M 、N ，下列结论：
① △APE≌△AME ；
② PM + PN = AC ；
③ PE2 + PF2 = PO2 ；
④当P 是AB 的中点时△PMN ． 其中正确的结论有( )
A ．1个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
二、填空题（本题 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分）
9 ．若式子 有意义，则实数 x 的取值范围是 ．
10 ．如图，在平行四边形ABCD 中，点M为边AD 上一点，AM = 2MD ，点 E ，点 F 分别 是BM , CM 中点，若EF = 6 ，则 AM 的长为 ．
11 ．如图，Rt △ABC 中，AB = 9, BC = 6, 上B = 90 ° ,将 △ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为 ．
12．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AB 、CD 交于点 O，DE ^ AB 于点 E，F 是线段AD
的中点，连接OF ．若 的长为 ．
三、解答题（本题 6 个小题，共 64 分）
13 ．计算
1
3
( 3 + 2)(2 - 3) + ( - )2
48 ；（2）
12 - 6
+
（1） / , - · 、 、
14 ．甲、乙两名射击选手在 10 次射击训练中的成绩统计图（部分）如图所示：
根据以上信息，请解答下面的问题；
选手
A 平均数
中位数
众数
方差
甲
a
8
8
c
乙
7.5
b
6 和 9
2.65
（1）补全甲选手 10 次成绩频数分布图．
（2）a ＝ ，b ＝ ，c = .
（3）教练根据两名选手的 10 次成绩，决定选甲选手参加射击比赛，教练的理由是什么？ （至少从两个不同角度说明理由）．
15 ．如图，已知四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点 O ，O 是BD 的中点，E，F 是BD 上的点，且BE ＝DF ，AF Ⅱ CE ．
(1)求证： △OEC≌△OFA ；
(2)若OA＝OB ，求证：四边形 ABCD 是矩形．
16 ．2024 年春季进入甲流高发期，合江县某学校购进 A ，B 两种消毒液，用于预防甲流病 毒．购买 4 桶A 消毒液和 3 桶 B 消毒液，则一共需要 250 元；若购买 2 桶A 消毒液和 5 桶 B 消毒液，则一共需要 230 元．
(1)每桶A 消毒液和每桶 B 消毒液的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购买 A，B 两种消毒液共 50 桶，其中A 消毒液的数量至少比 B 消毒液的数量 多 4 桶，同时又不大于 B 消毒液的数量的 2 倍少 4 桶，怎样购买，才能使总费用最少？并 求出最少费用．
17 ．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，将△COD 沿 CD 所在直线折叠，得 到△CED．
（1）求证：四边形 OCED 是菱形；
（2）若 AB ＝2，当四边形 OCED 是正方形时，求 OC 的长；
（3）若 BD ＝3 ， 2 时，kx + b < mx + n ，
即关于x 的不等式kx + b < mx + n 的解集为x > 2 ． 故选：A．
4 ．C
【分析】根据非负数的性质得出 a ，b ，c 的值，再根据勾股定理的逆定理判断△ABC 的形状 即可．
解 ∴a-5=0 ，b-12=0 ，c-13=0，
∴a=5 ，b=12 ，c=13， ∵52+122=132，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC 是以c 为斜边的直角三角形．
故选 C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．
5 ．A
【分析】根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】A、由一次函数的图象可知，m0，故 n0;由正比例数的图象可 mn0，两 结论一致，故项正确;
C、由一次函数的图象可知，m >0 ，-n>0，故 n0， 两论一致，本选项正确。
故选：A
【点睛】本题考查一次函数、正比例函数的图像性质， 熟练掌握一次函数的图像性质是关键
6 ．D
【分析】 △ACB, △A¢BD 是直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意可知， △ACB, △A¢BD 是直角三角形，
在Rt△ABC 中，AC = 2.4 ，BC = 0.7 ，
∴ AB2 = AC2 + BC2 = (2.4)2 + (0.7)2 = 5.76 + 0.49 = 6.25 ，AB = 2.5 ， 在Rt△A¢BD中， A¢B = AB = 2.5 ，A¢D = 1.5 ，则 A¢D2 = 2.25 ，
,
:小巷的宽为CB + BD = 0.7 + 2 = 2.7m ， 故选：D ．
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的运算方法是解题的关键．
7 ．C
【分析】根据图像可得两地之间的距离， 再分别算出两人的行进速度，据此可得各项数据进 而判断各选项.
【详解】解：由图可知：当时间为 0h 时，两人相距 24km， 即甲乙两地相距 24km，
当时间为 1h 时，甲乙两人之间距离为 0， 即此时两人相遇，故 A 正确；
∵24÷1=24，可得两人的速度和为 24km/h，
由于王浩月先到达目的地，故赵明阳全程用了 3h， :赵明阳的速度为 24÷3=8km/h，故 B 正确；
可知王浩月的速度为 24-8=16km/h，
:王浩月到达目的地时，用了 此时赵明阳行进的路程为
即此时两人相距 12km，故 C 错误； 赵明阳到达目的地时，用了 3h，
则
:王浩月比赵明阳提前 1.5h 到目的地，故 D 正确.
故选 C.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，解题时要充分理解题意，读懂函数图像的意义.
8 ．C
【分析】根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得上PAE = 上MAE = 45° , 然后利用SAS 证明 △APE 和 △AME 全等即可判断①；根据全等三角形对应边相等可得 同理 ，证出四边形 PEOF 是矩形，得出FP = OE ，根据等角对等边得出 AE = PE ，PE + PF = OA ，故可判断②；根据矩形的性质可得FP = OE ，再利用勾股定理 即可得到即可判断③；证明PM ，PN 是中位线，可得四边形APOM是正方形，四边形PBNO
是正方形，根据正方形的性质可得结论．
【详解】解：①∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线， : 上PAE = 上MAE = 45° ,
∵ PM 丄 AC ，
: 上AEP = 上AEM = 90° , 在 △APE 和 △AME 中，
ï
ì上PAE = 上MAE
íAE = AE ， ïl上AEP = 上AEM
:△APE≌△AME(SAS)， 故结论①正确；
②∵ △APE≌△AME ， : PE = EM = PM ，
∵四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线， : 上PBF = 上NBF = 45° , AO = AC ， ∵ PN 丄 BD ，
: 上BFP = 上BFN = 90° , 在△BPF 和 △BNF 中，
ï
ì上PBF = 上NBF
íBF = BF ， ïl上BFP = 上BFN
:△BPF≌△BNF(SAS)， : PF = FN = PN ，
∵正方形ABCD 中，AC ^ BD ， 又∵PE 丄 AC ，PF 丄 BD ，
: 上PEO = 上EOF = 上PFO = 90° , :四边形PEOF 是矩形，
: PF = EO ，
在 △APE 中，上AEP = 90° , 上PAE = 45° ,
: 上APE = 90° - 上PAE = 45° = 上PAE ， : AE = PE ，
: PE + PF = OA ，
: PM + PN = AC ， 故结论②正确；
③∵四边形PEOF 是矩形， : PE = OF ，
在Rt△PFO 中，OF2 + PF2 = PO2 ，
: PE2 + PF2 = PO2 ， 故结论③正确；
④如图，
由①得△APE≌△AME ，由②得 △BPF≌△BNF ，
: AP = AM ，PE = ME = AE ，BP = BN ，PF = NF = BF ， ∵点P 是AB 的中点，
: AP = AB ，BP = AB ∵ AB = AD = BC ，
:点M是AD 的中点，点N是BC 的中点，
: PM 为△ABD 的中位线，PN 为△ABC 的中位线， : PM Ⅱ BD ，PN Ⅱ AC ，
: AE = OE ，BF = OF ，
又∵PM 丄 AO ，PN 丄 BO ，
:四边形APOM是正方形，四边形PBNO 是正方形，
: S△APM = S△OPM ，PO = MO = NO ，上POM = 上PON = 90° , : S△OPM = S△PON ，
: S△APM = S△OPM = S△PON ，
故结论④错误；
:正确的结论是①②③,共 3 个． 故选：C．
【点睛】本题考查正方形的判定和性质， 矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定 和性质，三角形中位线定理，等角对等边，直角三角形两锐角互余等知识．证明
△APE≌△AME 是解题的关键．
9 ．x ≥ -1且x ≠ 2
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 分式有意义的条件，根据二次根式有意义 的条件是被开方数大于等于 0，分式有意义的条件是分母不为 0 进行求解即可．
解：∵式子有意义，
: í ,
ìx +1≥ 0
lx - 2 ≠ 0
: x ≥ -1且x ≠ 2 ，
故答案为：x ≥ -1且x ≠ 2 ．
10 ．8
【分析】先根据三角形中位线定理可得 BC 的长，再根据平行四边形的性质可得 AD 的长， 然后根据AM = 2MD 即可得．
【详解】Q 点E ，点 F 分别是BM , CM 中点
:EF 是 △BCM 的中位线
:BC = 2EF = 2 × 6 = 12
Q 四边形 ABCD 是平行四边形
: AD = BC = 12
又Q AM = 2MD
故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点， 解题的关键是熟记三 角形中位线定理．
11 ．4
【分析】设BN= x ，则由折叠的性质可得DN = AN = 9 - x ，根据中点的定义可得BD = 3 ， 在Rt△BND 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．
【详解】解：设 BN= x ，由折叠的性质可得DN = AN = 9 - x ， QD 是BC 的中点，
:BD = 3 ，
在Rt△BND 中，x2 + 32 = (9 - x)2 ， 解得x = 4 ．
故线段BN 的长为 4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程 思想，综合运用以上知识是解题的关键．
12 ．
【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，由菱形的性质可得AC ^ BD ， AC = 2OA = 8 ，BD = 2OD ，AB = AD ，由直角三角形的性质可得 AD = 2OF = 5 ，求出
从而可得BD = 2OD = 6 ，再由菱形面积公式计算即 可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，
: AC ^ BD ，AC = 2OA = 8 ，BD = 2OD ，AB = AD ， ∵F 是线段AD 的中点
: AD = 2OF = 5 ，
: BD = 2OD = 6 ， ∵ DE ^ AB ，
故答案为： ．
【分析】（1）将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）利用平方差公式、完全平方公式去括号，再合并同类二次根式解题即可．
（2）( + 2)(2 - ) + ( - )2 =22 - ( )2 + ( )2 - 2 + ( )2
= 4 - 2 + 2
【点睛】本题考查二次根式的混合运算， 涉及分母有理化、平方差公式、完全平方公式等知 识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14 ．（1）4；（2）8 、1.2 、7.5；（3）从平均数看，甲成绩优于乙的成绩；从方差看，甲的方 差小，说明甲的成绩稳定．
【分析】（1）根据甲的成绩频数分布图及题意列出 10 -（1+2+2+1），计算即可得到答案；
（2）根据平均数公式、中位数的求法和方差公式计算得到答案；
（3）从平均数和方差进行分析即可得到答案.
【详解】解：（1）甲选手命中 8 环的次数为 10 -（1+2+2+1）＝4， 补全图形如下：
故答案为 8 、1.2 、7.5；
（3）从平均数看，甲成绩优于乙的成绩；从方差看，甲的方差小，说明甲的成绩稳定． 【点睛】本题考查频数分布直方图、平均数、中位数和方差， 解题的关键是读懂频数分布直 方图，掌握平均数、中位数和方差的求法.
15 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由平行线的性质得到两组角对应相等，由中点的性质以及线段的和差得到一组 对边相等，利用AAS 判定 △OEC≌△OFA ．
（2）由对角线互补判定四边形是平行四边形，进而由对角线相等的平行四边形是矩形判定 即可．
【详解】（1）证明：∵ AF Ⅱ CE ，
: 上AFO = 上CEO ，上FAO = 上ECO ，
∵O 为BD 的中点，即OB = OD ，BE = DF ， : OB - BE = OD - DF ，即 OE = OF ，
在△OEC 和 △OFA 中，
: △OEC≌△OFA(AAS) ．
（2）证明：∵ △OEC≌△OFA ， : OC = OA ．
∵ OB = OD ，
:四边形ABCD 是平行四边形． ∵ OA = OD ，
: OA = OB = OC = OD ，即 BD = AC ， :四边形ABCD 为矩形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定，矩 形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握这些判定定理与性质定理．
16 ．(1)每桶A 消毒液 40 元，每桶B 消毒液 30 元；
(2)设购买A 消毒液 27 桶，则购买B 消毒液 23 桶，总费用最少 1770 元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用， 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系， 找出 w 关于 a 的函数关系式．
（1）设每桶 A 消毒液的价格是 x 元、每桶B 消毒液的价格是y 元，根据题意列二元一次方 程组，解方程组即可求解；
（2）设购买A 消毒液 a 桶，则购买B 消毒液(50 - a )桶，总费用为 w ，根据题意可得出关于 a 的一元一次不等式组 ，解之即可得出 a 的取值范围，再根据所需总费用= A种消毒液的 价格× 购进数量+ B 种消毒液的价格× 购进数量，即可得出 w 关于 a 的函数关系式，再利用 一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每桶A 消毒液的价格是 x 元、每桶B 消毒液的价格是y 元，根据题意得： 解得
答：每桶A 消毒液 40 元，每桶B 消毒液 30 元；
（2）解：设购买 A 消毒液 a 桶，则购买B 消毒液(50 - a )桶，总费用为 w 元，
根据题意得： íìl a- ≥) -44 ，
解得：27 ≤ a ≤ 32 ；
需总费用为：w = 40a + 30 (50 - a ) = 10a +1500 ， Q10 > 0 ，
:w 的值随 a 的增大而增大，
当a = 27 时，w 的值最小，最小值为w = 10 × 27 +1500 = 1770 ， 则50 - 27 = 23 （桶）
答：设购买A 消毒液 27 桶，则购买B 消毒液 23 桶，总费用最少 1770 元．
17 ．（1）见解析 ．
【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形即可判断．
（2）矩形的性质和勾股定理求解．
（3）作 OQ丄CE 于 Q，交 CD 于 P，此时 PE+PQ 的值最小，由折叠的性质得出∠DCE =
∠DCO ，PE ＝PO，得出 PE+PQ ＝PO+PQ ＝OQ，由直角三角形的性质得出 即可得到答案．
【详解】解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， :AC 与 BD 相等且互相平分，
:OC ＝OD，
∵△COD 关于 CD 的对称图形为△CED， :OD＝ED ，EC＝OC，
:OD＝ED＝EC＝OC， :四边形 OCED 是菱形．
（2）解：∵四边形 ABCD 是矩形， :CD＝AB ＝2．
∵四边形 OCED 是正方形， :∠COD ＝90° .
在直角△COD 中，由勾股定理得：
OC2+OD2 ＝22， ∵OD ＝OC，
（3）解：作 OQ丄CE 于 Q，交 CD 于P，如图所示：
此时 PE+PQ 的值最小为 理由如下：
∵△COD 沿CD 所在直线折叠，得到△CED，
:∠DCE = ∠DCO ，PE＝PO， :PE+PQ＝PO+PQ ＝OQ，
∵AC＝BD ＝3 ，
:∠DCO = ∠ACD ＝30° ,
:∠DCE ＝30° ,
:∠OCQ ＝60° ,
:∠COQ ＝30° ,
即 PE+PQ 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，正方形的判定， 勾股定理以及垂线最短等知识，熟练掌握翻折的性质和菱形的性质与判定是解题的关键.
18 ．(1) k = 3 ，点 A 的坐标是(2, 0) ，点 D 的坐标是(-3, 0)
(2)①点 E 的坐标是 ②
【分析】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、一次函数与坐标轴的交 点以及与坐标轴围成的面积，
把x = -2 代入求得点 C 的坐标，进一步代入求得y2 = kx + 9 的 k 值，令y1 = 0 求得点 A 的坐标，令y2 = 0 ，求得点 D 的坐标；
(2) ①由题意得点 F 的坐标是 ，点 G 的坐标是(a, 3a + 9) ，即可求得 EG = 3a + 9 ．结合题意列出方程求得 a，即可知点 E 的坐标；
②由题意得点 E 的坐标为(-1, 0) ．可得DE ，进一步求得点 F 的坐标和点 G 的坐标，即可 得EG 和FG ，利用分割法即可求得S四边形CDEF = S△DEG - S△CFG ．
解：把x = -2 代入 得 :点 C 的坐标是(-2, 3) ．
把点C(-2, 3) 代入y2 = kx + 9 ，得3= -2k + 9 ，解得 k = 3 ．
:y2 = 3x + 9 ．
对于 令y1 = 0 ，得 解得x = 2 ， : 点 A 的坐标是(2, 0) ．
对于y2 = 3x + 9 ，令 y2 = 0 ，得 0 = 3x + 9 ，解得 x = -3 ．
: 点 D 的坐标是(-3, 0)．
（2）①∵点 E 的坐标是(a, 0)（ -2 < a < 0 ）， :点 E 在点 C 的右侧．
Q EF 丄 x 轴，
:点 F 的坐标是 点 G 的坐标是(a, 3a + 9) ．
Q EG = 2EF ，
解得 ．
( 4 ö
:点 E 的坐标是çè - 3 , 0,÷ .
②当a = -1 时，点 E 的坐标为(-1, 0) ． ∵点 D 的坐标为(-3, 0)，
:DE = 2 ．
把a = -1 代入 得
( 9 ö
:点 F 的坐标为çè-1, 4 ,÷ .
把a = -1 代入y2 = 3x + 9 ，得 y2 = 6 ．
:点 G 的坐标为(-1, 6) ．
: S四边形CDEF = S△DEG - S△CFG = DE . EG - E - xC ) = × 2 × 6 - × × -1- (-2) = ．