2024-2025学年辽宁省盘锦市兴隆台区下学期期末八年级数学检测试卷

这是一份2024-2025学年辽宁省盘锦市兴隆台区下学期期末八年级数学检测试卷，共47页。
八年级数学试卷
时间：120 分钟 满分：120 分
注意：所有试题必须在答题纸上作答，在本试卷上作答无效
一．选择题（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）
1 ．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A ． B．
C ． D．
2 ．关于一元二次方程x2 - 3x +1 = 0的根的情况，下列结论正确的是( )
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根 D ．无法判断根的情况
3．为了在 2025 年高中生创新能力大赛中取得优异成绩，某校准备从甲、乙、丙、丁四个小 组中选出一组，参加本次比赛，下表反映的是各小组平时成绩的平均数x （单位：分）及方 差s2 ，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛，那么应选的小组是( )
A ．甲小组 B ．乙小组 C ．丙小组 D ．丁小组
4 ．若一次函数y = kx + b 的图像经过一、二、四象限，则一次函数y = -bx + k 的图像不经过 ( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
5 ．若添加一个条件，使得平行四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是( )
A ．AB = CD B ．AC = BD C ．AC ^ BD D ．AC ，BD 互相平分
6 ．如图，二次函数y = ax2 + bx + c 的部分图象与 x 轴的一个交点的横坐标是-3 ，顶点坐标
甲小组
乙小组
丙小组
丁小组
x
92
92
95
95
2 s
1
1.3
1
1.6
为(-1, 4) ，则下列说法正确的是( )
A ．二次函数图象的对称轴是直线x = 1
B ．二次函数图象与 x 轴的另一个交点的横坐标是 2
C ．当x < -1时，y 随 x 的增大而减小
D ．二次函数图象与y 轴的交点的纵坐标是 3
7 ．抛物线y = ax2 + 4ax - 5 经过A(-4, y1 ) ，B (-3, y2 ) ，C (1, y3 ) 三点，且该抛物线与 x 轴的 交点位于y 轴两侧，则y1 ，y2 ，y3 的大小关系是( )
A ．y2 < y1 < y3 B ．y1 < y2 < y3
C ．y3 < y1 < y2 D ．y2 < y3 < y1
8 ．已知一次函数y = ax - b 图象如图所示，则二次函数y = ax2 + bx + b 在平面直角坐标系中 的图象可能是( )
C．
B．
D．
A．
9 ．甲、乙两车从 A 城出发前往 B 城，在整个行驶过程中，汽车离开 A 城的距离y（km）与 行驶时间 t（h）的函数图象如图所示，下列说法正确的有( )
①甲车的速度为 50km/h；
②乙车用了3h 到达 B 城；
③甲车出发 4h 时，乙车追上甲车；
④乙车出发后经过 1h 或 3h 两车相距 50km．
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
10 ．如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 内作上EAF = 45° , AE 交 BC 于点 E，AF 交 CD 于点 F，连接 EF，将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABG ．若DF = 3 ，则 BE 的长为( )
A ．2 B ． C ．1 D ．
二．填空题（共 5 小题，每题 3 分，共 15 分）
11 ．点A(1, -5) 关于原点的对称点在第 象限．
12．将二次函数y = 2 (x -1)2 + 3 的图象右平移 2 个单位长度．再向下平移 3 个单位长度，则 平移后的函数解析式为 ．
13 ．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O ，点 M、N 分别是边AD、CD 的 中点，连接MN、OM ． 若MN = 3 ，S菱形ABCD = 24 ，则 OM 的长为 ．
14 ．已知抛物线y = (x -1)2 - 4 如图 1 所示，现将抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图 象其余部分不变，得到一个新图象如图 2 ．当直线y = m 与新图象有四个交点时，m 的取值 范围是 ．
15 ．如图，点O 是等边△ABC 内一点 将线段BO 以点B 为旋转 中心逆时针旋转60° 得到线段BO¢ ,则S△ABC - S△AOC 的值为 ．
三．解答题（共 8 小题，共 75 分）
16 ．解方程：
(1) x2 - 2x +1 = 0 ；
(2) 2x2 - x - 4 = 0 ；
(3) x (x + 3) = 2x + 6 ．
17．为了更好地传承雷锋精神，在雷锋纪念日来临之际，某校组织七、八年级学生开展了一 次“学雷锋”知识竞赛．竞赛成绩分为 A，B ，C，D 四个等级．其中相应等级的得分分别记为
10 分，9 分，8 分，7 分，竞赛结束后两个年级各抽取 50 名学生的竞赛成绩进行整理分 析．部分信息如下：
信息一：七、八年级学生竞赛成绩统计表
信息二：七、八年级学生竞赛成绩统计图
年级
平均 分
中位 数
众 数
方 差
七年 级
8.76
a
9
1.06
八年 级
8.76
8
b
1.38
七年级竞赛成绩统计图
八年级竞赛成绩统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出a = _____ ，b = _____，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
(2)成绩更稳定的是_____年级；
(3)若该校七年级有 500 人，八年级有 600 人参加本次知识竞赛，且规定不低于 9 分的成绩 为优秀．请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
18 ．如图，在四边形ABCD 中 ，AD Ⅱ BC，BC = DC ，CA 平分上BCD ，过点 A 作 AE 丄 CB ， 交CB 延长线于点 E ．四边形ABCD 对角线AC，BD 交于点 O，连接 EO ．
(1)求证：四边形ABCD 是菱形；
(2)若OE = 1,上BCD = 60° ,求 △AEC 的面积．
19．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计 了某品牌头盔 4 月份到 6 月份的销量，该品牌头盔 4 月份销售 150 个，6 月份销售 216 个， 且从 4 月份到 6 月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为 30 元/个，测算在市场中，当售价为 40 元/个时，月销售量为 600 个， 若在此基础上售价每上涨 1 元/个，则月销售量将减少 10 个，为使月销售利润达到 10000 元， 而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
20 ．如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线CD : y2 = mx + n 交于点 A (a,3)，直线CD 交y 轴于点D(0,9) ．
(1)求直线CD 的解析式；
(2)直接写出当y1 ≥ y2 时，x 的取值范围；
(3)在x 轴上是否存在点P ，使S△△ABC ？如果存在，求点P 的坐标：如果不存在，请 说明理由．
21 ．甲、乙两人进行羽毛球比赛， 羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点上 正方1m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m) 与水平距离x (m) 之间满足函数表达式 y = a (x - 4)2 + h ．已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．
当 时， ①求h 的值．@通过计算判断此球能否过网．
(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到点O 的水平距离为7m ，离地面的高度为 的Q 处时，
乙扣球成功，求a 的值．
22．在正方形ABCD 中，点P 是CD 边上点，点E 在AP 的延长线上，将线段AE 绕点A 顺时 针旋转90° ,到线段 AF ，连接DE ．
(1)如图1，连接 BF ，判断线段 BF 与线段DE 的数量关系给出证明．
(2)如图2 ，若 EF 正好经过点B ．
①直接用等式表示线段EF 、DE 和BE 的数量关系为______．
②证明：BF 丄 DE ．
(3)如图3 ，当 EF 经过点C 时，若CF = 4 ，CE = 2 ，请直接写出此时正方形边的长度．
23 ．如图，二次函数y = x2 + bx + c 的图象交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，点B 的坐标为 (1, 0) ，对称轴是直线x = -1 ，点P 是x 轴上一动点，PM 丄 x 轴，交直线AC 于点M 、交抛 物线于点N ．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点 O 不重合），求 △ANC 面积的最大值，并求出 此时点P 的坐标．
(3)当-2 ≤ x ≤ n 时，此函数最大值与最小值之差为2.25 ，求 n 的值．
1 ．B
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的 定义逐项分析即可．
【详解】解：A ．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B ．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C ．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D ．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选 B．
2 ．A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当b2 - 4ac > 0 时， 方程有两个不相等的实数根；当b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；当b2 - 4ac < 0 时，方程没有实数根．
通过计算一元二次方程的判别式 Δ ,即可判断方程根的情况． 【详解】解：x2 - 3x +1 = 0 ，
a = 1, b = -3, c = 1
: Δ = b2 - 4ac = (-3)2 - 4× 1 × 1 = 9 - 4 = 5 > 0 ， :方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
3 ．C
【分析】本题考查利用平均数和方差作决策， 根据平均数越高，成绩越好，方差越小，状态 越稳定，进行判断即可．
【详解】解：由表格可知，丙小组的平均成绩最高，且方差最小，
:丙小组的成绩较好且状态稳定， 故应选的小组为丙小组；
故选 C．
4 ．A
【分析】根据一次函数y = kx + b 的图像经过一、二、四象限， 可得k 0 ，进而判断一 次函数y = -bx + k 的图像即可．
【详解】解：:一次函数y = kx + b 的图像经过一、二、四象限，
: k < 0, b > 0 ， :-b < 0, k < 0 ，
:一次函数y = -bx + k 的图像经过二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图像性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数y = kx + b (b ≠ 0) 的图像有四种情况：
①当k > 0 ，b > 0 ，函数 y = kx + b 的图像经过第一、二、三象限； @当k > 0 ，b < 0 ，函数 y = kx + b 的图像经过第一、三、四象限；
③当k < 0 ，b > 0 时，函数y = kx + b 的图像经过第一、二、四象限；
④当k < 0 ，b < 0 时，函数y = kx + b 的图像经过第二、三、四象限．
5 ．B
【分析】本题考查矩形的判定，需掌握矩形与平行四边形的性质及判定定理．
【详解】解：选项 A：AB = CD 是平行四边形的固有性质（对边相等），无法判定为矩形． 选项 B：AC = BD （对角线相等）是矩形的判定定理，满足此条件时平行四边形为矩形．
选项 C：AC ^ BD 会使平行四边形成为菱形，而非矩形．
选项 D：对角线互相平分是平行四边形的固有性质，无法判定为矩形．
故选 B．
6 ．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质， 对称性，增减性判断选项 A 、B 、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与 y 轴的交点坐标即可判定选项 D．
【详解】解: :二次函数y = ax2 + bx + c 的顶点坐标为(-1, 4) ， :二次函数图象的对称轴是直线x = -1 ，故选项 A 错误；
:二次函数y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的一个交点的横坐标是-3 ，对称轴是直线 x = -1 ， :二次函数图象与 x 轴的另一个交点的横坐标是 1，故选项 B 错误；
:抛物线开口向下， 对称轴是直线x = -1 ，
:当x < -1时，y 随 x 的增大而增大，故选项 C 错误； 设二次函数解析式为y = a (x +1)2 + 4 ，
把(-3, 0) 代入，得0 = a (-3 +1)2 + 4 ， 解得a = -1 ，
: y = - (x +1)2 + 4 ，
当x = 0 时，y = - (0 +1)2 + 4 = 3 ，
:二次函数图象与y 轴的交点的纵坐标是 3，故选项 D 正确， 故选 D．
7 ．A
【分析】本题考查了二次函数的性质， 以及二次函数与坐标轴的交点问题，先根据该抛物线 与 x 轴的交点位于y 轴两侧判断 a 的正负，再根据二次函数的性质求解．
【详解】解：设抛物线与 x 轴的交点横坐标为x1 , x2 ， :该抛物线与 x 轴的交点位于y 轴两侧，
, : a > 0 ，
:抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大．
:抛物线对称轴为直线 : y2 < y1 < y3 ．
故选 A．
8 ．C
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数图象与系数的 关系、二次函数的开口方向、对称轴、与y 轴交点的判定方法是解题的关键．先根据一次函 数图象确定a 、b 的符号，再据此分析二次函数的开口方向、对称轴位置和与y 轴交点情况， 从而判断二次函数图象．
【详解】解：从一次函数y = ax - b 的图象来看， Q 图象从左到右上升，
: a > 0 ；
Q 图象与y 轴交点在正半轴，即当x =0 时，y = -b > 0 ， :b < 0 ．
对于二次函数y = ax2 + bx + b ：
Qa > 0 ，
: 二次函数图象开口向上，排除A 、B 选项； 对称轴为 ，
Qa > 0 ，b < 0 ，
即对称轴在y 轴右侧；
当x =0 时，y = b < 0 ，即二次函数与y 轴交点在负半轴． 综上，符合条件的是C 选项．
故选：C ．
9 ．D
【分析】根据路程、时间和速度之间的关系判断出①正确；
根据函数图象上的数据得出乙车到达 B 城用的时间，判断出②正确；
根据甲的速度和走的时间得出甲车出发 4h 时走的总路程，再根据乙的总路程和所走的总时 间求出乙的速度，再乘以 2 小时，求出甲车出发 4h 时，乙走的总路程，从而判断出③正确； 再根据速度×时间=总路程，即可判断出乙车出发后经过 1h 或 3h，两车相距的距离，从而判 断出④正确．
【详解】解：①甲车的速度为 故本选项正确,符合题意；
②乙车到达 B 城用的时间为：5 -2=3h，故本选项正确,符合题意；
③甲车出发 4h，所走路程是：50×4=200km，甲车出发 4h 时，乙走的路程是： ×2=200km，则乙车追上甲车，故本选项正确,符合题意；
④当乙车出发 1h 时，两车相距：50×3 -100=50km，当乙车出发 3h 时，两车相距： 100×3 -50×5=50km，故本选项正确,符合题意；
故选 D．
10 ．A
【分析】根据旋转的性质可知， △ADF≥△ABG，然后即可得到 DF=BG ，∠DAF=∠BAG，然 后根据题目中的条件，可以得到△EAG≥△EAF，再根据 DF=3，AB=6 和勾股定理，可以求 出 BE 的长．
【详解】解：由题意可得，
△ADF≥△ABG，
:DF=BG ，∠DAF=∠BAG， :∠DAB=90° , ∠EAF=45° , :∠DAF+∠EAB=45° ,
:∠BAG+∠EAB=45° , :∠EAF=∠EAG，
在△EAG 和△EAF 中，
:△EAG≥△EAF(SAS)， :GE=FE，
设 BE=x，则 GE=BG+BE=3+x ，CE=6−x，
:EF=3+x，
:CD=6 ，DF=3，
:CF=3，
:∠C=90° ,
:(6−x)2+32=(3+x)2，
解得，x=2， 即 BE=2.
故选 A..
【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理， 解答本题的关键是明 确题意，利用数形结合的思想．
11 ．二
【分析】本题考查了关于原点对称的点的特点，求点所在的象限．
先根据关于原点对称的点横纵坐标均为相反数求出对称点，再判断其所在的象限即可． 【详解】解：点 A(1, -5) 关于原点的对称点为(-1,5)，
: x = -1< 0 ，y = 5 > 0 ， : (-1,5) 在第二象限，
故答案为：二．
12 ．y = 2 (x - 3)2
【分析】本题考查函数图象的平移，根据平移规律“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】解： y = 2 (x -1)2 + 3 的图象右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到
y = 2 (x -1- 2)2 + 3 - 3 ， 即y = 2 (x - 3)2 ．
故答案为：y = 2 (x - 3)2
13 ．2.5
【分析】根据菱形的性质可得 上AOD = 90° , 根据中 位线定理可得AC ，由菱形的面积可得 BD ，进而利用勾股定理可求出 AD ，再根据直角三 角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求出OM 的长．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形 ，
: 上AOD = 90° ,
∵点M、N 分别是边AD、CD 的中点，MN = 3， : AC = 2MN = 6 ，
: BD = 8 ，
故答案为：2.5 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质， 三角形中位线性质，直角三角形的性质、勾股定理， 掌握 以上知识点是解题的关键．
14 ．0 < m < 4
【分析】先求出翻折部分的解析式， 再根据图象确定直线y = m 与图象恰有四个公共点时 m
的取值范围即可．
【详解】解：∵抛物线的解析式为y = (x -1)2 - 4 ， :抛物线的顶点坐标为(1, -4)，
令y = 0 ，则 (x -1)2 - 4 = 0 ， 解得：x1 = -1 ，x2 = 3 ，
: A (-1, 0) ，B (3, 0) ，
根据翻折变换，(1, -4) 关于 x 轴的对称点为(1, 4) ，
:曲线ACB 所对应的函数解析式为y = - (x -1)2 + 4 (-1 ≤ x ≤ 3) ， 当直线y = m 与图象 2 恰有四个公共点时，如图所示：
①当直线y = m 与 x 轴重合，即m=0 时与图象@有两个公共点， 所以当m > 0 时与图象@有四个公共点；
@当m=4 时，直线y = m 与y = - (x -1)2 + 4 (-1 ≤ x ≤ 3) 有三个公共点， 所以当0 < m < 4 时，直线y = m 与新图象有四个交点．
故答案为：0 < m < 4 ．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出图象，找出新图象与直线 y = m 有四个不同公共点的条件是解题的关键．
15 ．
【分析】证明 △BO¢A≌△BOC ，即可得到O¢A = OC = 4 ，S△AO¢B = S△BOC ，根据旋转的性质可知
△BOO¢ 是等边三角形，则 利用勾股定理的逆定理判断△AOO¢ 是直角三角
形，上AOO¢ = 90° ,利用四边形 AOBO ¢ 的面积= 等边 △BOO¢ 面积+Rt△AO¢O 面积= △AO¢B 面积+△AOB 的面积= △BOC 的面积+△AOB 的面积，进行计算即可判断．
【详解】解：在 △BO¢A 和 △BOC 中，BO ¢ = BO ，上O¢BA = 上OBC ，BA = BC ， : △BO ¢A≌△BOC (SAS) ，
: O¢A = OC = 4 ，S△AO¢B = S△BOC ． 如图，连接OO¢ ,
根据旋转的性质可知 △BOO¢ 是等边三角形， : OO ¢ = OB = 2 ，
在△AOO¢ 中 : AO2 + OO¢2 = AO ¢2 ，
:△AOO¢ 是直角三角形，上AOO¢ = 90° . : Rt△AOO¢ 面积为 作BD 丄 OO ¢ 于D ，则 ，
:等边 △BOO¢ 面积为 ， :四边形AOBO ¢ 的面积为5 ，
:△BO¢A≌△BOC ，
:四边形AOBO ¢ 的面积=△AOB 的面积+△BOC 的面积， : S△ABC - S△AOC = S△AOB + S△BOC = 5 ，
故答案为：5 ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股
定理的逆定理，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的 性质进行求解．
16 ．(1) x1 = =x2 1
(3) x1 = -3 ，x2 = 2
【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．
（1）用因式分解法解方程即可；
（2）用公式法解方程即可；
（3）移项整理，用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：x2 - 2x +1 = 0
因式分解，得(x -1)2 = 0 ， 于是得，x -1 = 0 ，
: x1 = =x2 1
（2）解：2x2 - x - 4 = 0
: Δ = b2 - 4ac = (-1)2 - 4× 2 × (-4) = 33 > 0 ，
:方程有两个不等的实数根
（3）解：x (x + 3) = 2x + 6
移项，得x (x + 3) - (2x + 6) = 0 ， 因式分解，得(x + 3)(x - 2) = 0 ， 于是得，x + 3 = 0 ，或 x - 2 = 0 , : x1 = -3 ，x2 = 2
17 ．(1) 9 ，10 ，见解析 (2)七
(3)估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共约有 648 人
【分析】本题考查了数据的分析， 求数据的中位数，众数，以及方差的意义，利用样本估计
总体．
（1）利用中位数的特点求a 即可，利用众数的特点求出b 即可，求出C 组的人数后作图即 可；
（2）根据方差进行解答即可；
（3）利用总数乘以所占比例进行解答即可．
【详解】（1）解：∵七年级成绩的中位数为从小到大排列第25 个人和第26 个人的成绩的平
均数，这两个人都成绩都为B 等级， : a = 9 ，
∵八年级成绩人数最多的为A 等级， : b = 10 ，
七年级成绩C 等级人数为：50 -12 - 24 -10 = 4 （人）， 七年级竞赛成绩统计图补充完整如下：
故答案为：9 ；10 ；见解析；
（2）理由：在平均分相同的情况下，七年级的方差小于八年级的方差，所以七年级成绩较 稳定；
:七年级成绩更稳定．
故答案为：七；
（人）
答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共约有 648 人．
18 ．(1)见解析
【分析】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识， 证明四边形 ABCD 是菱形是解题的关键．
（1）证明 AD = BC ，得到四边形 ABCD 是平行四边形；由BC = DC 即可证明四边形ABCD 是菱形；
（2）根据菱形的性质和直角三角形的性质得到AC = 2 ，根据勾股定理得到CE = 、 ，即可求 出答案．
【详解】（1）解：∵ ADⅡBC
: 上CAD = 上ACB ， ∵ CA 平分上BCD ， : 上ACD = 上ACB ，
: 上ACD = 上CAD : AD = CD
∵ BC = DC ， : AD = BC ， ∵ ADⅡBC
:四边形ABCD 是平行四边形； ∵ BC = DC
:四边形ABCD 是菱形；
（2）∵四边形ABCD 是菱形
∵ AE 丄 CB ，
: 上AEC = 90° ,
: AC = 2 ，
19 ．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%
(2)该品牌头盔的实际售价应定为50 元/个
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关 键：
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，根据 4 月份销售 150 个，6 月份销售 216 个， 列出方程进行求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m 元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方 程进行求解即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为 x ，由题意，得：150 (1+ x)2 = 216 ， 解得：x = 0.2 = 20% 或x = -2.2 （舍去）；
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20% ；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为 m 元/个，由题意，得：
(m - 30) 600 - 10 (m - 40) = 10000 ， 解得：m1 = 50, m2 = 80 ，
∵尽可能让顾客得到实惠， : m = 50 ；
答：该品牌头盔的实际售价应定为50 元/个．
20 ．
(2) x ≥ 4 ；
(3)P(-6，0) 或(2，0)．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集， 直线围成图形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由直线 求得点 A 的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线CD 的解析 式；
（2）观察图象求得即可；
（3）由直线 求得点 B 的坐标，由直线 求得点 C 的坐标，然后 利用三角形面积公式求得PB = 4 ，进一步即可求得点 P 的坐标．
解：直线 与直线CD : y2 = mx + n 交于点A(a, 3)，
: A (4, 3) ，
把A(4, 3) ，D (0, 9) 代入y2 = mx + n 得 解得
:直线CD 的解析式为
（2）解：由（1）可知 A(4, 3) ，
由图象可知，当x ≥ 4时，直线AB : y1 = x + 1 的图象在直线CD : y2 = - x + 9 的上方， :当y1 ≥ y2 时，x 的取值范围是x ≥ 4 ；
解：令y = 0 ，则 解得x = -2 ， : B (-2，0) ，
令y = 0 ，则 解得x = 6 ， : C (6，0)，
:BC = 6 - (-2) = 8
∵点 P 在 x 轴上，S△ABP = S△ABC ，
: PB = 4 ，
∵ B (-2，0) ，
: P (-6，0) 或(2，0) ．
能过网
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.
①利用代入解析式即可求出 h 的值；
②利用x =5 代入解析式求出y，再与 1.55 比较大小即可判断是否过网；
（2）将点(0,1) ，(çè 7, ÷代入解析式得到一个二元一次方程组求解即可得出 a 的值．
【详解】（1）解： ①当 a = - 时，
将点P(0,1) 代入得 解得h = ，
解得 Q1.625 > 1.55 ，
:此球能过网；
解：把 代入y = a 2 + h 得：
解得
22 ．(1) BF = DE ，见解析
(2)①BE2 + BF2 = 2AB2 ；@见解析
(3) /5
【分析】（1）本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质和旋转的性质可得
AB = AD ，AE = AF ，上EAF = 90° = 上BAD ，由“SAS ”可证△ABF ≥ △ADE ，可得BF = DE ；
（2）本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股 定理， ① 由等腰直角三角形的性质可得上AFE = 上AEF = 45° ,由全等三角形的性质可得
上AFB = 上AED = 45° ,可得结论；
② 由正方形的性质和勾股定理可求BD2 = 2AB2 ，在 Rt△DBE 中，BE2 + DE2 = DB2 ，可得 结论；
（3）本题考查了正方形的性质，勾股定理，连接AC ，过点A 作AH丄 EF 于H ，由等腰直 角三角形的性质可得AH = FH = EH = 3 ，由勾股定理可得AH2 + CH2 = AB2 + BC2 ，即可求
解；
【详解】（1）解：BF = DE ，
证明：Q 四边形ABCD 是正方形， :AB = AD ，上DAB = 90° ,
Q将线段AE 绕点A 顺时针旋转90° ,到线段 AF ， : AE = AF ，上EAF = 90° = 上BAD ，
:上BAF = 上DAE ，
:△ABF ≥△ADE (SAS )， :BF = DE ；
（2） ① 解：BE2 + BF2 = 2AB2 ；
理由如下：如图2 ，连接DB ，
Q 四边形ABCD 是正方形，
:AB = AD ，上BAD = 90° ,
: AB2 + AD2 = BD2 ，
:BD2 = 2AB2 ，
Q 上DEF = 90° ,
:BE2 + DE2 = DB2 ， :BE2 + BF2 = 2AB2 ；
故答案为：BE2 + BF2 = 2AB2 ；
② 证明：Q AE = AF ，上EAF = 90° ,
:上AFE = 上AEF = 45° ,
Q△ABF ≥ △ADE ，
:上AFB = 上AED = 45° ,
:上DEF = 上AED + 上AEF = 90° , :DE 丄 BF ；
（3）解：如图 3 ，连接 AC ，过点 A 作AH丄 EF 于H ，
Q CF = 4 ，CE = 2 ，
:EF = 6 ，
Q AE = AF ，上EAF = 90° , AH 丄 EF ，
: AH = FH = EH = 3 ，
: CH = 1，
Q AC2 = AH2 + CH2 = AB2 + BC2 ，
:9 +1 = 2AB2 ， : AB = 、/5 ，
:正方形的边长为、 ．
23 ．(1) y = x2 + 2x - 3 ；
(2) △ANC 面积有最大值 此时
【分析】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质， 二次函数与面积等知识，掌握二次函数的图象与性质是关键．
（1）先根据对称轴是直线 x = -1 求出b = 2 ，再将(1, 0) 代入计算即可；
（2）先求出A(-3, 0) ，C (0, -3)，进而求出直线AC 的解析式，设P(a, 0) ，求出 △ANC 面积 的解析式，根据二次函数的性质判断即可；
（3）计算x = -2 和x = -1 时y 的值，相减可知n > -1，最小值为-4 ，得到yn = -1.75 ，代入
y = x2 + 2x - 3 列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵对称轴是直线x = -1 ，
解得：b = 2 ，
即y = x2 + 2x + c ，
将(1, 0) 代入得：1+ 2 + c = 0 ，
解得：c = -3，
:二次函数的解析式为：y = x2 + 2x - 3 ；
（2）解：当 x = 0 时，y= - 3 ，即C(0, -3) ，
当y = 0 时，x2 + 2x - 3 = 0 ，解得 x1 = -3 ，x2 = 1，即 A(-3, 0) ， 设直线AC 的解析式为y = kx + b1 ，
则 解得：
:直线AC 的解析式为y = -x - 3 ，
设P(a, 0) ，则M (a, - -a 3) ，N (a, a2 + 2a - 3)， : S△ANC = S△ANM + S△CNM
1 1
= MN × AP + MN × OP
2 2
= MN × AO
= -
:- < 0 ，
:当a = - 时， △ANC 面积有最大值 ，此时P(çè - , 0 ；
（3）解：当 x = -2 时，y = 4 - 4 - 3 = -3 ， 当x = -1 时，y = 1 - 2 - 3 = -4 ，
:-3 - (-4) = 1 < 2.25 ，
: n 在对称轴右侧，
即n > -1，最小值为 -4 ，
此时yn = 2.25 + (-4) = -1.75 ， 即n2 + 2n - 3 = -1.75 ，
整理得：4n2 + 8n - 5 = 0
解得 ，
即 n 的值为 ．