2024-2025学年江西省赣州市章贡区八年级下学期期末考试数学检测试卷

这是一份2024-2025学年江西省赣州市章贡区八年级下学期期末考试数学检测试卷，共42页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题说明：
1 ．本试题卷满分 120 分，考试时间 120 分钟．
2 ．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效．
一、单项选择题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂 在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分．
1 ．下列式子中，最简二次根式是( )
B ． · C ． · D ．、
2 ．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )
A ． B ．1 ，2 ，2 C ．2 ，3 ，4 D ．
3．根据某市统计局发布的该市近 5 年的年度 GDP 增长率的有关数据，经济学家 评论说，该市近 5 年的年度 GDP 增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率 相当平稳”说明这组数据的（ ）比较小．
A ．中位数 B ．平均数 C ．众数 D ．方差
4 ．如图，点A(1, 2) 是一次函数y = kx + b 图象上的一点，则方程kx + b = 2 的解是 ( )
A ．x = 2 B ．x = 1 C ．x = 0 D ．无法确定
5 ．如图，在 △ABC 中，DE 是中位线，点F 在DE 上，上AFB = 90° ,若 AB = 7, BC = 13，则 EF 的长为( )
A ．1.5 B ．2.5 C ．3 D ．3.5
6 ．如图，点P 是菱形ABCD 边上的一动点，它从点A 出发沿在A → B → C → D 路 径匀速运动到点D ，设 ΔPAD 的面积为y ，P 点的运动时间为x ，则 y 关于x 的函 数图象大致为( )
A．
C．
B．
D．
二、填空题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
7 ．若、在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．
8 ．将直线y ＝ -2x 向下平移 1 个单位长度，平移后直线的解析式为 ．
9 ．已知一组数据 4，x，5，y，7，9 的平均数为 6，众数为 5，则这组数据的中位数是 ．
10 ．如图，小刚用七巧板拼了一个对角线长为4 的正方形，再用这副七巧板拼成 一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 ．
11 ．如图，正方形ABCD 的边长为2 2 ，P 为对角线BD 上动点，过 P 作PE 丄 BC
于 E，PF 丄 CD 于 F，连接EF ，则 EF 的最小值为 ．
12 ．在平面直角坐标系xOy 中，直线y = -x + 5 和直线y = x + 5分别交x 轴于A 、B 两点，两直线交点是点C ，在 △ABC 内部作矩形，使得矩形的四个顶点都落在
△ABC 的边上，且矩形的长是宽的2 倍，则矩形的宽的长度是 ．
三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）
13 ．（1）计算：( + )( - )；
（2）如图，在 □ABCD 中，上BCD 的平分线交AD 于点E ，若AB = 5, CE = 6 ，求 △CDE 的周长．
14 ．如图，长和宽分别是 a ，b 的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为 x 的正 方形．
(1)用含 a ，b，x 的代数式表示纸片剩余部分的面积；
(2)当a = 20 + 2 ，b = 20 - 2 ，x = ，求剩余部分的面积．
15 ．在人教版八下数学教材第 36 页数学活动一《测量学校旗杆高度》中，聪聪
想到了一种新颖的求解方式，聪聪从点 C 观察旗杆顶端的仰角为30° （即
上ACB = 30° ),接着往前走 10 米到达点 D，观察旗杆顶端的仰角为 60° （即
上ADB = 60° ).
(1)请你帮助聪聪判断 △ACD 的形状，并说明理由；
(2)根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度AB ．（人的身高忽略不计，结果保留根 号）
16 ．如图，在矩形ABCD 中，P，M 分别是AD ，CD 的中点．请仅用无刻度的直 尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图 1 中，以PM 为边作一个非特殊的平行四边形；
(2)在图 2 中，以PM 为边作一个菱形．
17 ．如图，已知一次函数y = kx + b 的图象经过A(-2, -1), B(1, 3) 两点，并且交x 轴于 点C ，交y 轴于点D ．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)求△AOB 的面积．
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
18．某校为调查学生对数学史知识的了解情况，从全校学生中随机抽取 n 名学生 进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下不完整的频数直方图和 扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次调查共抽测了 名学生，并直接在答题卡中补全频数直方图；
（2）在扇形统计图中 m 的值是 ，70 -80 所对应的扇形圆心角的度数是 度；
（3）已知“80 -90”这组的数据如下：82 ，83 ，83 ，85 ，85 ，85 ，86 ，87 ，88， 88 ，88 ，89，抽取的 n 名学生测试成绩的中位数是 分；
（4）若成绩达到 60 分以上（含 60 分）为合格，请你估计该校 2000 名学生中有 多少名学生对数学史知识了解情况为合格．
19．2025 年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已 知购进 2 千克香蕉和 3 千克橙子共需 46 元；购进 1 千克香蕉和 2 千克橙子共需 28 元．
(1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？
(2)该商场准备购进香蕉和橙子共 1000 千克，已知香蕉的售价为 12 元/千克，橙 子的售价为 15 元/千克，其中香蕉的进货量不低于 350 千克，且不高于 450 千 克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？
20 ．如图 1，是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形， 中间通过螺杆连接，转动手柄可改变AC 的大小（菱形的边长不变），从而改变千 斤顶的高度（即 B，D 之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D 之间的距离y（单 位：cm ）随 AC 的长度 x（单位：cm ）的变化规律如图 2 所示．
(1)指出图中点 P 坐标的实际意义；
(2)求y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围：
(3)直接写出 B，D 之间距离的变化范围．
五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）
21．结合函数的学习过程，探究函数y = kx - 3 + b ，已知当x = 2 时，y = -4 ；当x = 0 时，y = -1．
(1)求这个函数的解析式；
(2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出这个函数的两条 性质；
(3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 的解集________________．
22 ．【课本再现】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
已知：如图1 ，D ，E 分别是 △ABC 的AB ，AC 的中点．求证：DE ∥ BC 且
（1）小明想到了“延长DE 至点F ，使EF = DE ，连接CF ”，如图2 ．请按照小明 的提示完成证明．
【迁移应用】
（2）如图 3，在四边形 ABCD 中，ADⅡBC ，AD ≠ BC, E, F 分别为AB ，CD 的中 点，试判断线段EF ，AD ，BC 之间有何数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图 4，在 △ABC 中，上ACB = 60°, AC = 2, D是边AB 的中点，E 是边BC 上一 点．若DE 平分 △ABC 的周长，则DE 的长是______________．
六、解答题（本大题共 12 分）
23 ．【问题探究】四边形 ABCD 是正方形，点E 是射线BC 上的一个动点，连接 AE ，过点 E 作EF 丄 AE 交正方形的外角上DCL 的平分线于点F ．
（1）当点 E 在边BC 上时；
①如图 1，猜想 AE 与EF 有怎样的数量关系？并说明理由．
②如图 2，过点F 作FG Ⅱ AE 交直线CD 于点G ，再过点G 作GH 丄 CF 于点H ，求 证：FG = EF ；
【思维拓展】
（2）当点 E 在射线BC 上运动时，若AB = 8, CE = 4 ．过点F 作FG Ⅱ AE 交直线CD 于点G ，再过点G 作GH 丄 CF 于点H ．则线段DG 的长为_____________（直接写 出答案）．
1 ．B
【分析】本题考查最简二次根式的识别，根据最简二次根式的被开方数不含能开方开的尽的 因数或因式，且不含分母，进行判断即可．
解 不是最简二次根式，不符合题意；
B 、 ，是最简二次根式，符合题意；
C 、 = 2 ，不是最简二次根式，不符合题意；
D 、 ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选 B．
2 ．A
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三 边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边 的平方和等于最长边的平方即可．
解 故能作为直角三角形三边长；
B 、12 + 22 = 5 ≠ 22 = 4 ，故不能作为直角三角形三边长；
C 、22 + 32 = 13 ≠ 42 = 16 ，故不能作为直角三角形三边长；
D 、 故不能作为直角三角形三边长． 故选：A．
3 ．D
【分析】根据方差的意义： 是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组 数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故从统计角度看，“增长率相当平稳”说明 这组数据方差比较小．
【详解】解：由于方差反映的是数据的波动大小，故增长率相当平衡是指明方差比较小． 故选：D．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这 组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布 比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4 ．B
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合的数学思想是解题的关
键．根据一次函数的性质判断即可．
【详解】解：根据题意，当 x =1 时，y = kx + b = 2 ， :方程kx + b = 2 的解是x = 1．
故选：B．
5 ．C
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质， 根据直角三角 形斜边上的中线的性质求出DF ，根据三角形中位线定理求出 DE ，计算即可．掌握三角形 的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解：在 Rt△AFB 中，D 为AB 的中点，AB = 7 ，
Q DE 为 △ABC 的中位线，BC = 13 ，
:EF = DE - DF = 3 ，
故选：C．
6 ．B
【分析】设菱形的高为 h，即是一个定值，再分点 P 在 AB 上，在 BC 上和在 CD 上三种情 况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．
【详解】解：设菱形的高为 h，有三种情况：
①当 P 在 AB 边上时，如图 1，
∵AP 随 x 的增大而增大，h 不变，
:y 随 x 的增大而增大， 故选项 C 不正确；
②当 P 在边 BC 上时，如图 2，
AD 和 h 都不变，
:在这个过程中，y 不变， 故选项 A 不正确；
③当 P 在边 CD 上时，如图 3，
∵PD 随 x 的增大而减小，h 不变， :y 随 x 的增大而减小，
∵P 点从点A 出发沿 A→B→C→D 路径匀速运动到点 D， :P 在三条线段上运动的时间相同，
故选项 D 不正确， 故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，解题的关键是根据点 P 的位置的 不同，运用分类讨论思想，分三段求出△PAD 的面积的表达式．
7 ．x ≥ 1
【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得． 【详解】解：由题意可得 、/x -1 ≥ 0 ，
:x -1≥ 0 ，
:x ≥ 1，
故答案为：x ≥ 1．
8．y ＝ -2x-1
【分析】由题意根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律求解．
【详解】解：将直线 y ＝ -2x 向下平移 1 个单位长度，平移后直线的解析式为y ＝ -2x-1.
故答案为：y ＝ -2x-1.
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加 下减”的原则是解答此题的关键．
9 ．5.5
【详解】【分析】先判断出 x ，y 中至少有一个是 5，再用平均数求出 x+y=11，即可得出结 论．
【详解】∵一组数据 4 ，x ，5 ，y ，7 ，9 的众数为 5，
:x ，y 中至少有一个是 5，
∵一组数据 4 ，x ，5 ，y ，7 ，9 的平均数为 6，
:x+y=11，
:x ，y 中一个是 5，另一个是 6，
:这组数为 4 ，5 ，5 ，6 ，7 ，9，
:这组数据的中位数是
故答案为 5.5．
【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数等概念，熟练掌握众数、平均数、 中位数的概念、判断出 x ，y 中至少有一个是 5 是解本题的关键.
10 ．2
【分析】如图所示， 根据正方形的性质可知△ABE,△ADE,△ABD 是等腰直角三角形，由此 即可求证AE = BE = CE = DE 的长，拼成长方形，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，正方形 ABCD ，BD = 4 ，
△ABE,△ADE,△ABD 是等腰直角三角形， 在Rt△ABD 中，AB2 + AD2 = BD2 ，且 AB = AD ，
: 2AB2 = 2AD2 = 16 ，
: AB = AD = 2 ，
拼成一个长方形如图所示，AE = ED = DF = BF = 2 ，连接 AF ，
: EF = ED + DF = 2 + 2 = 4 ，
在Rt△AEF 中 :长方形的对角线长为25 ．
【点睛】本题主要考查正方形与长方形的综合， 掌握正方形，长方形的性质，勾股定理求边 长是解题的关键．
11 ．2
【分析】本题考查了矩形的判定及性质、正方形的性质、勾股定理．
连接PC ，AC ，再根据已知条件可得四边形 PECF 是矩形，从而可得当点 P 是正方形对角 线 AC 和BD 的交点时，此时PC 最小，进而可得EF 的最小值．本题考查了正方形的性质、 三角形三边的关系、勾股定理、矩形的判定与性质， 解决本题的关键是能够明确四边形是矩 形．
【详解】解：连接PC ，AC ，
:正方形ABCD 的边长为2 2 ，PE 丄 BC ，PF 丄 CD ，
: 上BCF = 90° , 四边形PECF 是矩形，
: PC = EF
: PA + PC ≥ AC ，
:当点 P 是正方形对角线AC 和BD 的交点时，此时PC 最小，且 : EF 的最小值为 2，
故答案为：2．
5 5
12 ．2 或- 或- 、
2 3
【分析】分三种情况讨论， ①当矩形的长在AB 上时，②当矩形的宽在AB 上时，③当矩形 的宽在BC 上时，进而根据勾股定理即可求解．
【详解】:直线y= -x + 5 和直线y= x + 5 分别交x 轴于A 、B 两点，两直线交点是点C ， 当x = 0 时，y = 5 ，当 y = 0 时，x = 5 , x = -5 ，
则A(5, 0) ，B (-5, 0) ，C (0, 5)，
: AB = 10, AC = = 5
设矩形的宽为a ，则矩形的长为 2a , ①当矩形的长在AB 上时，如图所示，
: BE = OB - OE = 5 - a ，又DE = a ， : 上CBO = 45° ,
: △BDE 是等腰直角三角形， : DE = BE ，
即 5 - a = a ，
解得：a = ；
②当矩形的宽在AB 上时，
同理可得PB = 5 - , LP = 2a ， 则5 - = 2a ，
解得：a = 2 ；
③当矩形的宽在BC 上时，如图所示，
依题意，AJ = IJ = a，CJ = AC - AJ = 5- a，又CJ = 2a ，
解得：
④当矩形的长在BC 上时，同③的情形一样，可得 ，
5 5
综上所述，矩形的宽的长度是2 或- 或- 、 ．
2 3
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，矩形的性质，分类讨论是解 题的关键．
13 ．（1）2 ；（2）16
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算， 平行四边形的性质，等角对等边，熟知相关 知识是解题的关键．
（1）根据平方差公式去括号求解即可；
（2）由平行四边形的性质得到AD∥BC，CD = AB = 5 ，则由平行线的性质和角平分线的定
义可证明上DEC = 上ECD ，得到 DE = CD = 5 ，据此根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：（1）( + )( - )
= 7 - 5
= 2 ；
（2）Q 四边形ABCD 是平行四边形，
: AD∥BC，CD = AB = 5 ， : 上DEC = 上ECB ，
: 上BCD 的平分线交AD 于点E ， : 上ECB = 上ECD ，
: 上DEC = 上ECD ， : DE = CD = 5 ，
: △CDE 的周长= DE + CD + CE = 5 + 5 + 6 = 16 ．
14 ．(1) ab - 4x2 ；
(2)384．
【分析】（1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可；
（2）根据（1）所列出的式子，再把 a = 20 + 2 ，b = 20 - 2 ，x = 代入即可求出答 案．
【详解】（1）剩余部分的面积为：ab - 4x2 ；
（2）把 a = 20 + 2 ，b = 20 - 2 ，x = 代入ab - 4x2 得：
= 202 - (2 ) - 4 × 2
(20 + 2 )(2 - 2 )- 4 × ( )2
= 400 - 8 - 8
= 384 ．
【点睛】此题主要考查二次根式的应用，用代数式表示正方形、矩形的面积，需熟记公式， 且认真观察图形，得出等量关系．
15 ．(1)等腰三角形；理由见解析
(2) 5 米
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30° 角的直角三角形的性质，勾股定理.
（1）由题意可得 上CAD = 上ADB - 上ACB = 30° ,因此 上CAD = 上ACB = 30° ,根据等角对等 边即可得出答案；
（2）根据含30° 角的直角三角形的性质，可得 ， 在Rt△ADB 中，根据勾股 定理AB = 即可求出答案．
【详解】（1）解：: 上ACB = 30°, 上ADB = 60° ,
: 上CAD = 上ADB - 上ACB = 60° - 30° = 30° ,
: 上CAD = 上ACB ， : CD = AD ，
: △ACD 是等腰三角形．
（2）由（1）可知 CD = AD = 10，上ADB = 60°, 上ABC = 90° , : 上DAB = 30° ,
在Rt△ADB 中米．
16 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 AC, BD 交于点O ，连接PO ，则四边形 POCM 即为所求．
（2）连接 AC, BD 交于点O ，连接PO, MO 并延长与边BC, AB 交于F, E ，则四边形 PEFM 即为所求.
【详解】（1）解：如图 1，四边形 POCM 即为所求．
理由如下：
:矩形ABCD ，
: OA = OC ，
:P，M 分别是AD ，CD 的中点．
,
而AC ≠ CD ，上OPD = 180° - 90° = 90° ,
:四边形POCM为平行四边形， PO ≠ PM ，上OPM ≠ 90° .
（2）解：如图 2，四边形 PEFM 即为所求．
理由如下：
同理可得：PO = CD, OF = CD ，PO ∥CD ，OM = AD ，OE = AD ，OM Ⅱ AD ， ∵ 上ADC = 90° ,
: 上OPD = 上OMD = 90° , :四边形POMD 是矩形；
: 上POM = 90° ,即 PF 丄 EM ， :四边形PEFM为菱形.
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质， 平行四边形的判定，菱形的判定，三角形的中位 线的性质，熟练的作图是解本题的关键.
4 5
17 ．(1) y = x +
3 3
(2)
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，坐标与图形面积；
（1）把 A(-2, -1), B(1, 3) 代入y = kx + b ，再建立方程组求解即可；
（2）先求解D 点坐标为 ，结合 △AOB 的面积为：S△AOD + S△BOD ，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：把 A(-2, -1), B(1, 3) 代入y = kx + b 得，
í ,
ì-2k + b = -1
l k + b = 3
解得 .
4 5
所以一次函数解析式为y = x + ；
3 3
4 5 5
（2）解：把 x =0 代入y = x + 得y = ，
3 3 3
( 5 ö
:D 点坐标为çè0, 3 ,÷ ,
:△AOB 的面积为：S△AOD + S△BOD
18 ．（1）50，作图见解析；（2）16 ，72；（3）84；（4）约 1840 名
【分析】（1）可先根据成绩在 80 -90 之间的人数求出总人数 n 的值，从而求出 90 -100 的 人数，补全直方图即可；
（2）从直方图中读出 60 -70 的人数，再除以总人数即可得到百分比，即可得到 m 的值，
从直方图中读出 70 -80 的人数，再除以总人数即可得到百分比，所占的百分比再乘以一个 圆的圆心角即可得到 70 -80 所对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据中位数的概念计算中位数；
（4）计算样本的合格率，用样本合格率估计总体即可求解．
【详解】（1）由直方图可知，成绩在 80 -90 之间的人数为 12 人， : 被调查的总人数为：n=12÷24%=50（人），
: 成绩在 90 -100 之间的人数为：50-4-8-10-12=16（人）．
补全直方图如图所示：
（2）从直方图中可得，成绩在 60 -70 之间的人数为 8 人，
:成绩在 60 -70 之间的人数占总人数的百分比为： ， : m=16，
从直方图中可得，成绩在 70 -80 之间的人数为 10 人，
:成绩在 70 -80 之间的人数占总人数的百分比为：
: 70 -80 所对应的扇形圆心角的度数为：360° × 20%= 72° .
（3）把这 50 名学生的成绩从低到高排列，第 25 ，26 个成绩分别为 83 分，85 分， 故中位数为
（4）:成绩达到 60 分以上（含 60 分）的百分比为
: 估计该校 2000 名学生对数学史知识了解情况为合格的学生人数为 2000 × 92%=1840（名）． 【点睛】本题考查扇形统计图与频率分布直方图， 中位数以及用样本估计总体，结合扇形统 计图与频率分布直方图求解出样本的总量是解题的关键．
19 ．(1)香蕉的进价是 8 元，橙子的进价是 10 元
(2)总利润的最大值是4650 元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准 等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出 w 关于 m 的函数 关系式．
（1）设香蕉的进价是 x 元，橙子的进价是y 元，根据“购进 2 千克香蕉和 3 千克橙子共需 46 元；购进 1 千克香蕉和 2 千克橙子共需 28 元”，可列出关于 x，y 的二元一次方程组，解 之即可得出结论；
（2）设购进 m 千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为 w 元，则购进
(1000 - m) 千克橙子，利用总利润＝每千克香蕉的销售利润×购进香蕉的数量+每千克橙子的 销售利润×购进橙子的数量，可找出 w 关于 m 的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可 解决最值问题．
【详解】（1）解：设香蕉的进价是 x 元，橙子的进价是y 元， 根据题意得
解得：
答：香蕉的进价是 8 元，橙子的进价是 10 元；
（2）设购进 m 千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为 w 元，则购进 (1000- m) 千克橙子，
根据题意得：w = (12 - 8)m + (15 -10)(1000 - m) ，
即w = -m + 5000 ， ∵ -1< 0 ，
:w 随 m 的增大而减小， 又∵350 ≤ m ≤ 450 ，
:当m = 350 时，w 取得最大值，最大值为-350 + 5000 = 4650 （元）．
答：总利润的最大值是4650 元．
20 ．(1)当AC 的长度为18cm 时，千斤顶的高度为24cm ；
(3)大于等于2 cm ，小于等于 8cm ．
【分析】（1）根据题意可得点 P 的坐标的实际意义为当AC 的长度为18cm 时，千斤顶的高 度为24cm ；
（2）连接 BD 交AC 于 O，当 AC = 18cm 时，BD = 24cm ，由菱形的性质得到
1 1
OA = AC = 9cm ，OB = BD = 12cm ，则由勾股定理得到 AB = = 15cm，当
2 2
AC = xcm 时，则 由勾股定理得 则
y = BD = 2OB = ；
（3）根据（2）所求分别求出当 x =2 和x =28 时的函数值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，点 P 的坐标的实际意义为当AC 的长度为18cm 时，千斤顶的 高度为24cm ；
（2）解：如图所示，连接 BD 交AC 于 O， 当AC = 18cm 时，BD = 24cm ，
∵四边形ABCD 是菱形，
在Rt△ABO 中，由勾股定理得 由于菱形的边长不发生变化，
: AB = 15cm 是定值，
1 1
当AC = xcm 时，则OA = AC = xcm ，
2 2
即y = (2 ≤ x ≤ 28)；
（3）解：在 y =
900 - x2
中，当 x = 2 时 当 x = 28 时，
∴B ，D 之间距离的变化范围为大于等于2 cm ，小于等于 8cm ．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息， 列函数关系式，菱形的性质和勾股定理，正 确读懂函数图象是解题的关键．
21 ．
(2)画图见解析；①当x ≤ 2 时，y 随x 的增大而减小，当x > 2 时，y 随x 的增大而增大；② 当x =2 时，函数有最小值-4；
(3)1≤ x ≤ 4
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，画一次函数图象，一次函数图象的性质，一次 函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先列表，再描点连线画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即 可；
（3）求出函数 与函数 4 的交点坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：依题意可得
解得
∴这个函数的解析式为
（2）解：列表如下：
该函数的图象如图所示：
由函数图象可得，①当x ≤ 2 时，y 随x 的增大而减小，当x > 2 时，y 随x 的增大而增大；② 当x =2 时，函数有最小值-4；
解：当x ≤ 2 时 联立 解得
当x > 2 时 联立 解得
:由函数图象可得不等式的解集为1≤ x ≤ 4 ．
22 ．（1）见解析；（2）BC + AD = 2EF ，理由见解析；（3）
【分析】（1）通过延长线段构造全等三角形，利用全等三角形性质得到边和角的关系，再结 合平行四边形判定与性质，证明三角形中位线定理．
（2）延长线段构造全等三角形，将AD 转化为CG ，再利用三角形中位线定理，找出EF 与BC 、 AD 的数量关系．
（3）延长线段构造特殊三角形，结合周长平分条件，利用三角形中位线定理和特殊三角形
x
…
-2
0
2
4
6
…
…
2
-1
-4
-1
2
…
（含 30 角的直角三角形、等边三角形相关性质 ），计算 DE 的长度． 【详解】（1）证明：延长 DE 至点F ，使 EF = DE ，连接CF ，
QE 是AC 的中点， : AE = EC ，
在VADE 和△CFE 中，
:△ADE≌△CFE(SAS) ，
: AD = CF, Ð A = Ð ECF ， : AB Ⅱ CF ，
QD 是AB 的中点，
:BD = AD ，
:BD = CF ，
: 四边形DBCF 是平行四边形， :DF∥BC, DF = BC ，
:DE Ⅱ BC, DE = BC ；
（2）解：BC + AD = 2EF ， 理由如下：
连接AF 并延长交BC 的延长线于点G ，如图：
Q AD Ⅱ BC ，
:上DAF = 上CGF, 上ADF = 上GCF ， Q F 是CD 的中点，
:FD = FC ，
:△DAF =△CGF ，
: AD = CG, AF = FG ，
QE 是AB 的中点，F 是AG 的中点，
:BC + AD = 2EF ．
（3）解：延长 BC 至M ，使CM = CA ，连接 AM ，作 CN 丄 AM 于N ，
Q DE 平分 △ABC 的周长， :ME = EB ，又 AD = DB ，
Q 上ACB = 60° ,
:上ACM = 120° ,
Q CM = CA ，
:上ACN = 60°, AN = MN ， : CN = 1，
: AM = 2 ，
Q BD = DA, BE = EM ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定 与性质以及特殊三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，灵活运用构造全等三角形、特 殊三角形的方法是解题的关键．
23 ．（1）①猜想：AE = EF ，理由见解析；@证明见解析；（2）4 或 12
【分析】（1）①在BA 上截取BP = BE ，先证上APE = 上ECF = 135° , 进而证明 △APE≌△ECF ， 可得AE = EF ．@在GH 上截取HQ = HF ， △QHF 和 △HCG 均为等腰直角三角形，证明
△QGF≌△CFE (ASA )，可得FG = EF ；
（2）分两种情况：当 E 在BC 上时，当E 在BC 延长线上时，参照（1）@中的方法，添加 辅助线构造全等三角形，等腰直角三角形，分别求解即可．
【详解】解：（1）①猜想：AE = EF ．
理由如下：如图，在BA 上截取BP = BE ．
Q 四边形ABCD 是正方形，
: AB = BC, 上B = 90° ,
Q BP = BE ，
: AP = EC, 上BPE = 上BEP = 45° ,
:上APE = 上ECF = 135° ,
Q AE 丄 EF ，
:上BAE + 上AEB = 90°, 上AEB + 上FEC = 90° ,
:上FEC = 上EAP ．
:△APE≌△ECF (ASA ) ．
: AE = EF ．
@证明：在GH 上截取HQ = HF ，连接FQ ．
则上HQF = 上HFQ = 45° , Q△HCG 是直角三角形， 上GCH = 45°
:△HCG 是等腰直角三角形， :HG = HC ，则QG = FC ，
,
上GQF = 180° - 45° = 135° = 上FCE
上QGF = 90° - 上GFH = 上CFE ， :△QGF≌△CFE (ASA )．
:FG = EF ；
（2）线段 GD 的长为 4 或 12．
解：当E 在线段BC 上时，同（1）②,在GH 上截取HQ = HF ，连接FQ，则△QHF 是等 腰直角三角形， △QGF≌△CFE ，
:FQ = FH ，
Q △QHF 是等腰直角三角形，
Q△QGF≌△CFE ，
:FQ = CE ，
:CE = FH ；
Q CE = 4 ，即 CE = FH = 4 ， :HQ = HF = 2 , BE = 4 ， : GF = EF = AE = = 4 ，
Q△HCG 是等腰直角三角形，
: GD = 12 - 8 = 4 ；
当E 在BC 延长线上时，延长GH ，使HQ = HF ，连接FQ ，
则△HFQ 是等腰直角三角形，
:上Q = 45°, FQ = 2FH, GQ = HG +HQ = HC + HF = CF ，
上QGF = 90° - 上GFH = 上CFE ， :△QGF≌△CFE (ASA )，
2 2
2
:GF = EF = AE = = 4 , HQ = HF = CE = 2 ，
Q△HCG 是等腰直角三角形，
: GD = 20 - 8 = 12;
综上，线段GD 的长为 4 或 12．
【点睛】本题属于四边形综合题， 考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直 角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线，注意分类讨论是解题的关键．