2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中明珠学校下学期期末考试七年级数学检测试卷

这是一份2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中明珠学校下学期期末考试七年级数学检测试卷，共43页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二学期期末考试
时长：120 分钟 分值： 120 分
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1 ．下列图形中，是轴对称图形的是( )
A．
B．
C．
D．
2 ．已知a > b ，则下列不等式中正确的是( )
A ．-3a > -3b B ． C ．3 - a > 3 - b D ．a - 3 > b - 3
3 ．下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A ．1 ，3 ， 4 B ．3 ，4 ，8 C ．4 ，5 ，6 D ．6 ，6 ，13
ì2x +1 > 3①
4 ．解不等式组 íl x - 3 < 0② 时，在同一条数轴上表示不等式①@的解集，正确的是( )
A ． B．
C ． D．
5 ．如图，嘉嘉与淇淇坐在跷跷板两端，跷跷板的支点 O（即跷跷板的中点）到地面的距离 是60cm ，当淇淇从水平位置CD 垂直上升35cm 时，嘉嘉离地面的高度是( )
A ．35cm B ．30cm C ．40cm D ．25cm
6 ．下列每组图形，不能镶嵌整个平面的是( )
A．
B．
C．
D．
7．如图，将周长为 12 的 △ABC 沿着射线BC 方向向右平移 n 个单位长度，得到 △DEF ，DE 交AC 于点 G，连接 AD ．下列结论错误的是( )
A ．AD ∥ BE ，AD = BE B ．若AB TAC ，则 DE TAC
C ．AG = CG D ．若四边形ABFD的周长为 20，则 n = 4
8 ．如图①, 在四边形ABCD 中，上C = 35° , 上B = 上D = 90° , 点 E、F 分别是BC 、DC 上 的动点．如图@ ， 作点 A 关于BC 、DC 的对称点 N、M，连结NM ，交BC 于点 E，交DC 于点 F，连结 AE 、AF ，所得的△AEF 的周长最小，此时 7EAF 的度数为( )
A ．110° B ．105° C ．85° D ．72.5°
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
9 ．已知 x2a-1 - 3 = 0 是关于 x 的一元一次方程，那么 a 的值是 ．
10 ．不等式14 - 3x ≥ 2 的非负整数解有 个．
11 ．如图，上1 、上2 、上3 是多边形的三个外角，边CD 、AE 的延长线交于点 F，如果
上1 + 上2 + 上3 = 220° ,那么 上DFE 的度数是 度．
12．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻 方九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等， 将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格内的数字，则图中“红” 遮盖的数字是 ．
13 ．将 △ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转30° 得到△AB ¢C ¢ . 若上BAC=40° ,则 上BAC ¢ =
°
.
14 ．如图， Ð ABC 和 ÐBAC 的平分线交于点 O ， 连结CO ， △ABC 的外角上ACG 的平分 线与BO 的延长线交于点 E，OD 丄 OC 交BC 于点 D ．给出下面四个结论：
① ODⅡCE ；
③ Ð AOB = Ð BDO ；
④ Ð ACG = 2Ð AOE ．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
三、解答题 （共 78 分）
15 ．解方程（组）
(1)3(x - 4) = 1 - 2x
4
红
色
基
因
7
8
1
6
16 ． 解不等式（组）：
17 ．如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中， △ABC 的顶点均在格点（网 格线的交点）上．
(1)画出△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A1B1C1 ．
(2)画出△A1B1C1 绕点 C 顺时针旋转90° 后的△A2B2 C2 ．
(3)CC1 扫过的面积为 ．（结果保留 τ)
18．成语“朝三暮四”讲述了一位老翁通过调整分配策略安抚猴群的故事．老翁每日分早晚两 次喂食，且每日早晚喂食的粮食总重量相同．调整前，早上喂食的粮食重量是晚上的 ，此 举引发猴群不满；随后老翁从晚上喂食的粮食中取出4 kg 移至早上，调整后早上喂食的粮食 重量变为晚上的 ，猴群欣然接受．求调整前老翁晚上喂食的粮食重量及每日的粮食总供应 量．
19 ． 如图， 已知在 △ABC 中，AB > AC ．
(1)用圆规和无刻度的直尺，作 Ð A 的角平分线，交BC 于点 D，并作出点 C 关于AD 的对称 点 E ．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若 上BAC = 76°, 上B = 37° ,则 上ADC = 度．
20．如图， 已知 上A = 上D = 90 , E、F 在线段 BC 上， DE 与 AF 交于点 O ， 且 AF = DE, BE = CF. 求证： 上B = 上C.
21．“银发经济”已成为社会关注的热门话题．为满足老年人对助力车的需求，某商家获取如 下信息：购进1辆甲品牌助力车和4 辆乙品牌助力车共需2080 元，购进2 辆甲品牌助力车和 3 辆乙品牌助力车共需2160 元．
(1)求甲、乙两种品牌助力车每辆的进货价格．
(2)若该商家准备购进甲、乙两种品牌助力车共50 辆，且进货总费用不超过23000 元，则至 多可购进甲品牌助力车多少辆？
22．新定义：若一元一次方程的解是一元一次不等式组解集的所有整数解的个数，则称该一 元一次方程为该不等式组的“标记数方程” ．例如：方程2x -1 = 5 的解为 x = 3, 而不等式组
ì x -1 > 0
l3x -1 < 14
í 的解集为1 < x < 5 ，不难发现不等式组的整数解共有 3 个，所以方程2x -1 = 5 是
ì x -1 > 0
.
l3x -1 < 14
不等式组 í 的“标记数方程”
(1)在方程中，不等式组 的“标记数方程”是 ．（填序号）
(2)关于 x 的方程 是不等式组 íxxm-1 的“标记数方程”，求 m 的取值范围．
(3)若方程x =5 是关于 x 的不等式组 2a -1 ≤ x ≤ 3a + b 的“标记数方程”，其中 a 、b 为整数， 且此时不等式组所有整数解的和是 65，则 a = ；b = ．
23 ．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型认知】如图①,点 A 在直线l 上． 上BAD = 90°, AB = AD ， 过点 B 作BC 丄 l 于点 C， 过点 D 作． DE 丄 l 于点 E ． 易得上BAC = 上D ， 又上BCA = 上AED = 90° ,可以推理 得到△ABC≌△DAE(AAS) ． 进而得到结论：AC = ．我们把这个数学模型称为“K 字”模 型或“一线三直角”模型．
【模型运用】如图②, 在 △ABC 中，点 D 是BC 上一点， AC = AD, 上CAD = 90°, DE 丄 AB 于点 E， 且点 E 为AB 中点，AB = 8 ， 请求出 △ABC 的面积．
根据“一线三直角”模型，以下是部分解题过程：
解：如图③,过点 C 作CF 丄 BA 的延长线于点 F， : DE 丄 AB，上CAD = 90° ,
:上AED = 上AFC = 上CAD = 90° .
请你补全缺失的解题过程．
【拓展提升】如图④,点 A 在直线 l 上， 上BAD = 上CAE = 90°, AB = AD, AC = AE, 连结
BC、DE ，且． BC 丄 l 于点 F，DE 与直线 l 交于点 G．若． BC = 17, AF = 8, 则 SΔADG = ．
过程缺失
24 ． 如图， 在长方形ABCD 中， AB = 10, BC = 18. 动点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位 长度的速度沿B → C 的方向运动；同时动点 Q 从点 C 出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿 C → D → A 的路径运动，连结PQ ．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停．止运 动．设点 Q 的运动时间为 t 秒．(t > 0)
(1)写出DQ 的长（用含 t 的代数式表示）．
(2)当线段PQ 将长方形ABCD 分割后，所得图形中存在轴对称图形时， t = ．
(3)若点 Q 到达点A 后，以原速度的 2 倍返回到点 D，同时点 P 以原速度继续向点 C 运
动．在点 Q 的整个运动过程中：
①当线段PQ 平分长方形ABCD 的周长时，求t 的值；
@作点 Q 关于点 D 的中心对称点 Q ¢, 直接写出． △PQQ ¢ 的面积是△PCD 面积的 时 t 的值．
1 ．B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别， 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部 分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A ，C ，D 选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
B 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相 重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
2 ．D
【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、由a > b，可得 3a > 3b ，则 -3a < -3b ，原不等式错误，不符合题意；
B 、由a > b ，可得 则 ，原不等式错误，不符合题意；
C、由a > b，可得 -a < -b ，则3 - a < 3 - b ，原不等式错误，不符合题意；
D、由a > b，可得 a - 3 > b - 3，原不等式正确，符合题意； 故选 D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质， 熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式 的性质：不等式的基本性质 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等 号的方向不变；不等式的基本性质 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号 的方向不变；不等式的基本性质 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的 方向改变．
3 ．C
【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边， 依次验证各选项是否满足该条件即可，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键．
【详解】解： A 、1+ 3 = 4 ，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，故不符合题意；
B 、3 + 4 = 7 < 8 ，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，故不符合题意；
C 、4 + 5 > 6 ，4 + 6 > 5 ，5 + 6 > 4 ，均满足条件，能组成三角形，故符合题意；
D 、6 + 6 < 13 ，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，故不符合题意； 故选：C．
4 ．A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的 解集，并在数轴上表示不等式组的解集即可，掌握相关知识是解题的关键．
ì2x +1 > 3①
【详解】解： íl x - 3 < 0② ,
解不等式①得：x > 1 ，
解不等式②得：x < 3 ，
:不等式组的解集为：1 < x < 3 ， 在数轴上表示为：
故选：A．
5 ．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得上EBO = 上FAO = 90° , BE = 35cm ， EO = FO ，证明 △EOB≌△FOA (AAS)，得出AF = BE = 35cm ，即可得解，熟练掌握全等三角 形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，由题意可得：上EBO = 上FAO = 90° , BE = 35cm ，EO = FO ，
在 △EOB 和 △FOA 中，
: △EOB≌△FOA (AAS)， : AF = BE = 35cm ，
:嘉嘉离地面的高度是60 - 35 = 25cm ， 故选：25cm ．
6 ．C
【分析】本题考查了平面镶嵌， 根据几何图形镶嵌成平面图形的关键是：围绕一点拼在一起
的多变形的内角加在一起恰好组成一个周角，由此逐项分析即可得解，熟练掌握此知识点是 解此题的关键．
【详解】解：A 、2 个三角形 2 个正六边形或 4 个三角形 1 个正六边形可以镶嵌，故不符合 题意；
B 、1 个左边的图和 4 个右边的图可以镶嵌，故不符合题意；
C、正方形与正六边形不可以镶嵌，故符合题意；
D、正方形的内角为90° ,矩形的内角为90° ,可以镶嵌，故不符合题意； 故选：C．
7 ．C
【分析】本题考查了平移的性质， 根据平移的性质逐项分析即可得解，熟练掌握平移的性质 是解此题的关键．
【详解】解： 根据平移的性质可得：ABⅡDE ，AD ∥ BE ，AD = BE ，故 A 正确，不符合 题意；
: 上BAC = 上EGC ， : AB 丄 AC ，
: 上EGC = 上BAC = 90° ,
: DE 丄 AC ，故 B 正确，不符合题意；
DE 交AC 于点 G，但不一定是AC 的中点，故 C 错误，符合题意；
根据平移的性质可得：AD = CF ，AC = DF ，
:四边形ABFD的周长AB + BC + CF + DF + AD = AB + BC + AC + 2CF = 12 + 2CF = 20 ， : CF = 4 ，
: △ABC 沿着射线BC 方向向右平移4 个单位长度，即n =4 ，故 D 正确，不符合题意； 故选：C．
8 ．A
【分析】本题考查了轴对称的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质、三角形内角和 定理，先由题意可得上NAE + 上EAF + 上MAF = 145°① ,由轴对称的性质结合等边对等角可 得上N = 上NAE ，上M = 上MAF ，由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理可得 2上NAE + 2上MAF + 上EAF = 180°② ,计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解 此题的关键．
【详解】解：:在四边形ABCD 中， 上C = 35° , 上B = 上D = 90° ,
: 上BAD = 360° - 上ABC - 上ADC - 上C = 145° , : 上NAE + 上EAF + 上MAF = 145°① ,
由轴对称的性质可得：NE = AE ，AF = MF ， : 上N = 上NAE ，上M = 上MAF ，
: 上AEF = 上N+ 上NAE = 2上NAE ，上AFE = 上M + 上MAF = 2上MAF ，
上AFE + 上AEF + 上EAF = 180° ,
: 2上NAE + 2上MAF + 上EAF = 180°② , 由 ① ×2 - ② 可得： ∠EAF = 110° ,
故选：A．
9 ．1
【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义列出关于 a 的方程， 求出 a 的值即可．
【详解】解：:方程x2a-1 - 3 = 0 是关于 x 的一元一次方程，
: 2a -1 = 1， 解得a = 1．
故答案为：1．
10 ．5
【分析】本题考查一元一次不等式的整数解．先根据不等式的基本性质求出x 的取值范围， 再根据x 的取值范围求出符合条件的x 的非负整数解即可．
【详解】解：14 - 3x ≥ 2 ， 移项，合并得：-3x ≥ -12 ， 系数化为1，得： x ≤ 4 ，
:不等式14 - 3x ≥ 2 的非负整数解为：0 ，1 ，2 ，3 ，4，
:不等式14 - 3x ≥ 2 的非负整数解有 5 个， 故答案为：5．
11 ．40
【分析】本题考查了多边形外角和，三角形内角和定理，掌握多边形的外角和为360° 是解 题关键．根据多边形的外角和可得上EDF + 上DEF = 140° , 再结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：Q 多边形的外角和为360° ,
:上1 + 上2 + 上3 + 上EDF + 上DEF = 360° ,
Q 上1+ 上2 + 上3 = 220° ,
:上EDF + 上DEF = 140° ,
:上EDF + 上DEF + 上DFE = 180° ,
:上DFE = 40° , 故答案为：40 ．
12 ．9
【分析】本题主要考查了有理数的加法， 根据每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和 都为定值，列出算式求解即可．
【详解】解：由题意可得：8 +1+ 6 = 15 ，
:色= 15 - 6 - 7 = 2 ， :红= 15 - 2 - 4 = 9 ， 故答案为：9．
13 ．70
【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转得上BAB¢ = 30° ,再根据 上BAC¢ = 上BAB¢ + 上B¢AC ¢ 可得答案．
【详解】解：由旋转得，
上BAB¢ = 30° , 上CAB = 上B¢AC ¢ : 上BAC=40° ,
: 上BAC¢ = 上BAB¢ + 上B¢AC ¢ = 30° + 40° = 70° .
故答案为：70．
14 ．①③④
【分析】根据Ð ABC 和 ÐBAC 的平分线交于点 O，得出CO 平分Ð ACB ，求出
上OCE = 90° ,证明∠COD = ∠OCE ，根据平行线的判定得出 ODⅡCE ，说明①正确；根 据角平分线和三角形外角的性质求出上上ACG ，根据 上ABC + 上BAC ≠ 180° ,得出 判定②错误；先求出上AOB = 90° + 上ACB ，
上上ACB ，得出Ð AOB = Ð BDO ，判定③正确；根据
上ACG = 上BAC + 上ABC ，上AOE = 上BAO + 上上上ABC ，即可判定④正确． 【详解】解：: Ð ABC 和 ÐBAC 的平分线交于点 O，
: CO 平分 Ð ACB ，
: 上ACO = 上BCO = 上ACB ， ∵ CE 平分上ACG ，
:∠ACE = ∠GCE = ∠ACG ，
1 1
:∠OCE = ∠ACO +∠ACE = ∠ACB + ∠ACG = 90° ,
2 2
∵ OD 丄 OC ，
: 上COD = 90° ,
:∠COD = ∠OCE ， : OD ⅡCE ，
故①正确；
∵上ECG = 上E + 上EBC = 上E + 上ABC ，上ACG = 上BAC + 上ABC ， 又∵上上ACG ，
: 上E + 上ABC = 上BAC + 上ABC) ，
∵ 上ABC + 上BAC ≠ 180° ,
故②错误；
:上AOB = 180° - (上OAB + 上OBA)
∵上BDO = 上DOC + 上BCO = 90° + 上ACB ， : Ð AOB = Ð BDO ，
故③正确；
∵ 上ACG = 上BAC + 上ABC ，上AOE = 上BAO + 上上上ABC ， : 7ACG = 27AOE ，
故④正确；
综上所述，正确的有①③④ .
故答案为：①③④.
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线的性质， 平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质．
15 ．
【分析】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，熟练掌握解方程或方程组的基本 步骤是解题的关键．
（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 的基本步骤解答即可．
（2）按照解方程组的基本步骤解答即可． 【详解】（1）解：3(x - 4) = 1 - 2x ，
去括号，得3x - 12 = 1 - 2x ， 移项，得3x + 2x = 1 + 12 ，
合并同类项，得5x = 13 ，
系数化为 ；
解 ① ×3 + ② 得10x = 10 ，
解得x = 1 ；
把x =1 代入①解得，y= - 3 ， 故方程组的解为
16 ．(1) x ≤ 2
(2)1< x ≤ 4
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法．
（1）按照去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可；
（2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不 等式组的解集．
【详解】（1）解：去分母得 5x ≤ 1+ 2x + 5
移项得5x - 2x ≤ 1+ 5
合并同类项得3x ≤ 6
系数化为1得x ≤ 2 ；
解 解不等式①得x >1，
解不等式②得x ≤ 4 ，
:不等式组的解集为1< x ≤ 4 ．
17 ．(1)见解析
(2)见解析
(3)4π
【分析】本题考查作图——轴对称变换和旋转变换，扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结 构准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）根据扇形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图， △A1B1C1 即为所求作；
（2）解：如图， △A2B2 C2 即为所求作；
（3）解：由图形可知，上C1CC2 = 90° , CC1 = 4 ， 则CC1 扫过的面积为S扇形
18 ．调整前晚上喂食的粮食重量为16 kg ，每日的粮食总供应量为28kg ．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．设调整前晚上喂食的粮食 重量为x kg ，则调整前早上喂食的粮食重量为 ，根据“从晚上喂食的粮食中取出4 kg
移至早上，调整后早上喂食的粮食重量变为晚上的 ”列方程求解即可．
【详解】解：设调整前晚上喂食的粮食重量为x kg ，则调整前早上喂食的粮食重量为 x kg ，
则 解得：x = 16 ，
即调整前晚上喂食的粮食重量为16 kg ，调整前早上喂食的粮食重量为12 kg ，
:每日的粮食总供应量为16 + 12 = 28 kg ．
19 ．(1)见解析 (2) 75
【分析】本题考查了复杂作图——作角平分线、作垂线以及作线段， 轴对称的性质，三角形 外角的性质等知识，根据题意正确作图是解题关键．
（1）先根据角平分线的作法作 Ð A 的角平分线，再过点C 作AD 的垂线，垂足为F ，再在 射线CF 上截取CF = FE ，即可完成作图；
（2）先根据角平分线的定义，得到上上BAC = 38° ,再根据三角形外角的性质求解 即可．
【详解】（1）解：如图即为所求作；
（2）解：:上BAC = 76° , AD 平分 ÐBAC ，
Q 上B = 37° ,
:上ADC = 上BAD + 上B = 75° .
20 ．见解析
【分析】本题考查直角三角形全等的判定与性质， 根据BE = CF ，得到BF = CE ，利用直角 三角形全等的判定定理HL 得到Rt△ABF≌Rt△DCE ，再根据全等三角形的性质，对应角相 等即可得到上B = 上C ．
【详解】证明：∵ BE = CF ，
: BE + EF = CF + EF ，即 BF = CE ， 又∵AF = DE,
: Rt △ABF≌Rt△DCE (HL) , : 上B = 上C ．
21 ．(1)甲品牌助力车每辆进货价格为 480 元，乙品牌助力车每辆进货价格为 400 元
(2)至多可购进甲品牌助力车 37 辆
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等 式是解题的关键．
（1）设甲品牌助力车每辆进货价格为 x 元，乙品牌助力车每辆进货价格为y 元．根据两次 购买的费用关系建立方程组并求解；
（2）设购进甲品牌助力车a 辆，则乙品牌助力车为(50 - a )辆．结合总费用不超过 23000 元， 建立不等式，求出甲品牌助力车的最大购买数量．
【详解】（1）解：设甲品牌助力车每辆进货价格为 x 元，乙品牌助力车每辆进货价格为 y 元．
解得：
答：甲品牌助力车每辆进货价格为 480 元，乙品牌助力车每辆进货价格为 400 元；
（2）设购进甲品牌助力车a 辆，则乙品牌助力车为(50 - a )辆． 480a + 400(50 - a) ≤ 23000
480a + 20000 - 400a ≤ 23000
80a ≤ 3000
由于a 为整数，且最多可购进甲品牌助力车的数量，故取a = 37
答： 至多可购进甲品牌助力车 37 辆．
22 ．(1)@
(2) 2 < m ≤ 3
(3) 6 ，-3
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“标 记数方程”是解题的关键．
（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可；
（2）解方程，再根据新定义得到不等式有 4 个整数解，即可得到不等式组3 < m +1 ≤ 4 ，求 出 m 的取值范围；
（3）先得到不等式组有 5 个整数解，设这5 个整数解中间的是y，求出y 的值解，即可得到
10 < 2a -1 ≤ 11 ，15 ≤ 3a + b < 16 ，根据 a 、b 为整数解答即可． 【详解】（1）解：① ：2x -1 = 9 的解为x = 5 ；
@ 的解为x = 4 ；
的解为：x = 3 ；
ì 2x - 2 > x -1
解不等式组 íl3 (x - 2) - x ≤ 4 得1 < x ≤ 5 ，正数解有 4 个，
:不等式组 的“标记数方程”是 故答案为：@；
（2）解方程 得x = 4 ，
ì x > -1
lx < m +1
:不等式组 í 有4 个整数解，即为 0 ，1 ，2 ，3，
: 3 < m +1≤ 4 ， 解得2 < m ≤ 3；
（3）解：由题可知不等式组 2a -1 ≤ x ≤ 3a + b 有5 个整数解， 设这5 个整数解中间的是y，
则y- 2 + y-1+ y + y +1+ y + 2 = 65 ，解得 y = 13 ，
:这5 个整数解为11 ，12 ，13 ，14 ，15 ， :10 < 2a -1 ≤ 11 ，15 ≤ 3a + b < 16 ，
又:a ，b 为整数，
: a = 6 ，b = -3 ，
故答案为：6 ，-3 ．
23 ．模型认知：DE ；模型运用：16； 拓展提升: 34
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三直角模型是解答本题的关键． 模型认知：根据AAS 证明 △ABC≌△DAE，利用全等三角形的对应边相等可得结论；
模型运用：过点 C 作CF 丄 BA 的延长线于点 F，由 DE 丄 AB ，且点 E 为AB 中点得
上AED = 上 证明△CAE≌△ADF (AAS) 得CF = AE = 4 ， 然后根据三角形面积公式求解即可；
拓展提升: 过点 D 作DP 丄 l 于点 P，过点 E 作EQ 丄 l 于点Q，同模型认知证明：
△ABF≌△DAP，△ACF≌△EAQ ，得出BC = 2AP +PQ ，AF = DP = EQ ，可求出 2AP +PQ = 17，DP = EQ = 8 ，证明△DPG≌△EQG(AAS) 得PG = QG ，求出
然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】模型认知：进而得到结论：AC = DE ．
故答案为：DE ；
模型运用：过点 C 作CF 丄 BA 的延长线于点 F，
∵ DE 丄 AB，上CAD = 90° ,
:上AED = 上AFC = 上CAD = 90° .
∵ DE 丄 AB 于点 E， 且点 E 为AB 中点，
: 上AED = 上 ， ∵ AC = AD ，
∵ 上CAD = 90° ,
: 上DAE + 上CAF = 90° , ∵ 上DAE + 上ADE = 90° , : 上CAF = 上ADE ，
在 △CAF 和△ADE 中，
:△CAE≌△ADF (AAS)， : CF = AE = 4 ，
拓展提升: 过点 D 作DP 丄 l 于点 P，过点 E 作EQ 丄 l 于点Q，如图所示：
同模型认知证明： △ABF≌△DAP，△ACF≌△EAQ ， : BF = AP，AF = DP，CF = AQ，AF = EQ ，
:BC = BF + CF = AP + AQ = AP + AP +PQ = 2AP +PQ，AF = DP = EQ ， ∵BC = 17, AF = 8,
:2AP +PQ = 17，DP = EQ = 8 ， ∵ DP 丄 l ，EQ 丄 l ，
:上DPG = 上EQG = 90° , 在△DPG 和 △EQG 中，
:△DPG≌△EQG(AAS)， : PG = QG ，
:PQ = 2PG ，
: 2AP + 2PG = 17 ，
: △ADG 的面积为
(2) 4s ；
或 △PQQ ¢ 的面积是△PCD 面积的 时 t 的值为 或 或
【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）分两种情况：当 0 < t ≤ 2 时，DQ = CD - CQ = 10 - 5t ，当 2 < t ≤ 时， DQ = CQ - CD = 5t -10 ；
（2）依题意可知，当线段PQ 将长方形ABCD 分割后，所得图形中存在轴对称图形，则 PQ 丄 BC ，得到BP = AQ，即2t = (10 +18) - 5t ，求解即可；
（3）①分两种情况：当 时，当 < t ≤ 时，分别求解即可；
28 28 37
@分三种情况讨论：当0 < t < 2 时，当2 < t ≤ 时，当 < t ≤ 时，分别求解即可．
5 5 5
【详解】（1）解：:四边形ABCD 是长方形，AB = 10, BC = 18 ， : CD = AB = 10, AD = BC = 18 ，
:动点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿B → C 的方向运动；同时动点 Q 从点 C 出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿C → D → A 的路径运动，
:点P 到达C 点的时间为：18 ÷ 2 = 9 (s)， 点Q 到达D 点的时间为：10 ÷ 5 = 2 (s)，
点Q 到达A 点的时间为 当0 < t ≤ 2 时，DQ = CD - CQ = 10 - 5t ，
当 时，DQ = CQ - CD = 5t -10 ，
（2）解：依题意可知，当线段PQ 将长方形ABCD 分割后，所得图形中存在轴对称图形，则
PQ 丄 BC ，如图：
: BP = AQ ，
: 2t = (10 +18) - 5t ， 解得：t = 4s ，
故答案为：4s ；
（3）解：①点 Q 到达点A 后，以原速度的 2 倍返回到点 D 的时间为：
长方形的周长为：2 × (18 +10) = 56 ，
当PQ 平分周长时
当 时， 18 - 2t + 5t = 28 ， 解得： ， 当 时，
解得：
@当0 < t < 2 时，CP = 18 - 2t ，DQ ¢ = DQ = 10 - 5t ，如图：
: QQ¢ = 20 -10t ，
:△PQQ ¢ 的面积是△PCD 面积的 ，
解得： ，
当 时，CP = 18 - 2t ，DQ ¢ = DQ = 5t -10 ，如图：
: QQ¢ = 10t - 20 ，
:△PQQ ¢ 的面积是△PCD 面积的 ，
解得： ，
当 时 如图：
: QQ¢ = 148 - 20t ，
:△PQQ ¢ 的面积是△PCD 面积的 ，
解得：
综上， △PQQ ¢ 的面积是△PCD 面积的 时 t 的值为 或 或