2024-2025学年河北省邢台市襄都区下学期期末考试八年级数学检测试卷-

这是一份2024-2025学年河北省邢台市襄都区下学期期末考试八年级数学检测试卷-，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
级数学试卷说明：1 ．本试卷共 6 页，满分 120 分．
2 ．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效．
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1 ．小明想知道银河系里恒星大约有多少颗，他可以获取有关数据的方式是( )
A ．问卷调查
B ．实地考察
C ．查阅文献资料
D ．实验
2 ．在平面直角坐标系中，点（ -2 ，4）所在的象限是( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3 ．如图是人字梯及其侧面示意图，AB ，AC 为支撑架，DE 为拉杆，D ，E 分别 是AB ，AC 的中点，若DE = 40cm ，则 B ，C 两点的距离为( )
A ．50cm B ．60cm C ．70cm D ．80cm
4 ．在平面直角坐标系中，若点A(2, m) 和B(n,3) 关于原点O 对称，则m + n = ( )
A ．-5 B ．5 C ．-1 D ．1
5 ．如图，点M 是海上巡逻艇的位置，若一渔船在海上巡逻艇的北偏东55° 方向 上，则这艘渔船的大致位置可以在( )
A ．点A 处 B ．点B 处 C ．点C 处 D ．点D 处
6 ．已知一个四边形的四条边相等，为使该四边形是正方形，甲、乙二人分别添 加了一个条件，下列判断正确的是( )
甲：四边形的四个角均相等；乙：四边形的对角线相等．
A ．只有甲对 B ．只有乙对 C ．甲和乙都对 D ．甲和乙都不对
7 ．下列图象中，不可能是关于x 的一次函数y = mx - (m - 3) 的图象的是( )
A．
B．
C．
D．
8 ．为保护人类赖以生存的生态环境，我国将每年的 3 月 12 日定为中国植树
节．在植树节当天，某校组织各班级进行植树活动，活动结束后统计了所有班级 每班种植树木的数量x （棵），按照 20 ≤ x
< 25，25 ≤ x < 30，30 ≤ x < 35，35 ≤ x < 40，40 ≤ x < 45 的分组绘制了如图所示的频数分布直 方图，根据统计结果，下列说法错误的是( )
A ．共有 24 个班级参加此次植树活动
B ．种植树木的数量在30 ≤ x < 35 这一组的班级个数最多
C ．有 的班级种植树木的数量少于 35 棵
D ．有 3 个班级都种了 45 棵树
9 ．五子棋起源于中国，游戏规则是：双方各执一色，黑棋先下（为先手），白棋 后下，黑白双方轮流交替下子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，先形成五子连 线者获胜．如图，若白棋A 的位置记为(2,1) ，黑棋B 的位置记为(-1, -2) ，为了阻
止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置是( )
A ．(0, 2) B ．(1, -1) C ．(1, -2) D ．(2, -1)
10 ．如图，AB 为小正方形组成的网格的边线，动点 P 从AB 上一点 C 出发，先 沿CD 运动到达点 D，再沿DE 运动到达点 E，点 C，D ，E 均为格点（网格线的 交点），设点 P 到AB 的距离为 d，点 P 运动的路程为 n ， 则 m 与 n 之间 的函数图象大致为( )
A ． B．
C．
D．
11 ．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是( )
B．
A．
C．
D．
12 ．如图 1，四边形 ABCD 是平行四边形，连接BD ，动点 P 从点A 出发，沿折线 AB → BD → DA 匀速运动，回到点A 后停止．设点P 运动的路程为x ，线段AP 的 长为y ，图 2 是y 与x 的函数关系的大致图象，则。ABCD 的面积为( )
A ．12 B ．24 C ．60 D ．48
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分）
13．某中学为了了解全校2400 名学生观看电影《哪吒之魔童闹海》情况， 随机抽 取200 名学生进行调查，该调查中的样本容量是 ．
14 ．函数 中自变量x 的取值范围是 ．
15 ．一次函数y1 = ax + b 与y2 = cx + d （a ，b ，c ，d 为常数，a ≠ 0 ，c ≠ 0 ）的图象如 图所示，若a - c = m (d - b)，则 m = ．
16 ．如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过原点和一三象限，点A 为x 轴正半 轴上一点，点B 位于第一象限内且在直线l 上，OB = 2 ，上AOB = 30° , 过点B 作直线 a 垂直于x 轴，点C ，D 在直线a 上(点D 在点C 上方)，且CD = 1 ，若线段CD 关于 直线l 对称的线段EF 与坐标轴有交点，则点C 的纵坐标m 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）
17 ．渔船常利用超声波来探测远处鱼群的方位，超声波的振幅h (m) 与传输时间 t (s) 之间的关系如图所示．
(1)根据函数的定义，请判断变量 h 是否为关于 t 的函数？
(2)结合图象回答：
。当t = 4s 时，h 的值是多少？
在0 ≤ t ≤ 4 内，当 h 随 t 的增大而增大，求 t 的取值范围．
18 ．已知一个多边形的内角和是外角和的3 倍．
(1)求这个多边形的边数；
(2)若这个多边形是正多边形，求该正多边形一个内角的度数．
19 ．在平面直角坐标系中，已知点A(5, 0) ，点B(2m - 4, 3m + 1) ．
(1)若直线AB 平行于y 轴，求m 的值．
(2)将点B 向右平移 1 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度后得到点C ，当点C 正好在x 轴上时，求点C 的坐标．
20．某中学开展以“拒绝毒品”为主题的手抄报比赛，同学们积极参与，参赛同学 每人交了一份满意作品，所有参赛作品均获奖，奖项分为一等奖、二等奖、三等
奖和优秀奖，将获奖结果绘制成如下两幅统计图．
请你根据图中所给信息解答下列问题：
(1)在图 1 中，求“二等奖”所在扇形圆心角的度数；
(2)求在此次比赛中一共收到参赛作品的份数；
(3)分别计算二、三等奖学生的人数，并将条形统计图（图2）补充完整．
21 ．老师布置了一项作业：利用所学知识在一张平行四边形纸片ABCD 上做出一 个菱形．
【解答问题】
(1)方案设计正确的是 （写出序号即可）；
(2)请选择一种正确的方案进行证明．
22．如图是8 个台阶的示意图（各拐角均为90° , 每个台阶宽、高分别为2 和1，A1B1
①嘉嘉的方案：
1 连接BD ；
2 ．作BD 的垂直平分线，分别交 AD ，BC 于点 E，F；
3 ．连接BE ，DF ；
4 ．四边形BFDE 即为所作的菱形．
@淇淇的方案：
1．点F 在边AD 上，沿BF 折叠平行四边形 纸片，使点A 与BC 边上的点E 重合；
2 ．连接EF ；
3 ．四边形ABEF 即为所作的菱形．
为第一个台阶面，A2B2 为第二个台阶面 … ，以此类推，A8M 为第八个台阶面，建 立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求直线MN 的解析式，并判断点B1 是否在直线MN 上；
(2)点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8 在直线 上（填直线的解析式）；
(3)嘉琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线都可以用直线y = mx - 20m + 9(m ≠ 0) 表示，若使光线刚好照到所有台阶（包含点M、N ），求m 的取值范围．
23．数学项目小组为解决由 10 根弹簧构成且成本不超过 40 元的弹簧拉力计设计 问题，经调研，获得如下信息：
信
息
1
如图 1 ，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，y = y1 + y2 ，弹簧 A 拉力y1 (N) 与长度x(cm) 之间有关系式y1 = 1.4x - 7 ；测得弹簧B 拉力y2 (N) 与 长度x(cm) 的对应数据如下表：
弹簧长度x/cm
10
15
20
25
拉力y2 /N
5
10
15
20
信
息
2
在弹性限度内，弹簧 A，B 伸长后最大长度均为30cm ．弹簧A 每根 6 元，弹 簧B 每根 3 元．
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
(1)在图 2 中，描出对弹簧B 测得数据的各对x 与y2 的对应值为坐标的各点，并判 断这些点是否在同一直线上．
(2)求y2 关于x 的函数表达式，并求出弹簧B 在弹性限度内的最大拉力．
(3)如何购买 A，B 两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大； 并求出弹簧拉力计的最大拉力．
24 ．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】
（1）如图 1，在三角形纸片ABC 中，上C = 90°, AC = 32 ，将 Ð A沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，折痕和AC 交于点E, EC = 7 ，求BC 的长；
【深入探究】
（2）如图 2，将长方形纸片ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C ¢ 处，BC ¢ 交 AD 于E ，若 AB = 8, BC = 16 ，求 AE 的长（注：长方形的对边平行且相等）；
【拓展延伸】
（3）如图 3，在长方形纸片ABCD 中，AB = 10, BC = 16 ，点E 为射线AD 上一个动 点，把 △ABE 沿直线BE 折叠，当点A 的对应点F 刚好落在线段BC 的垂直平分线上 时，求AE 的长（注：长方形的对边平行且相等）．
1 ．C
【详解】对于不能实地考察的调查对象可查阅文献资料的方法获取有关数据．由此可得小明 想知道银河系里恒星大约有多少颗，他可以获取有关数据的方式是查阅文献资料．故选 C．
2 ．B
【分析】直接根据平面直角坐标系中点的坐标特征判断即可． 【详解】∵点（-2 ，4）的横坐标是负数，纵坐标是正数，
:点在平面直角坐标系的第二象限，
故选 B．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解 题关键．第一象限：(+, +) ，第二象限：(-, +) ，第三象限：(- -,) ，第四象限：(+, -) ，x 轴 上的点纵坐标为 0，y 轴上的点横坐标为 0．
3 ．D
【分析】本题主要考查了三角形中位线的实际应用， 等式的性质2 等知识点，熟练掌握三角 形的中位线定理是解题的关键．
利用三角形的中位线定理即可直接得出答案． 【详解】解：∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，
:BC = 2DE = 2 × 40cm = 80cm ， 故选：D ．
4 ．A
【分析】本题考查了关于原点对称的点的性质，准确记忆关于原点对称点横纵坐标之间的关 系是解题的关键．
根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标互为相反数，求出 m 和 n 的值，再相加即可． 【详解】解：∵点A(2, m) 和B(n,3) 关于原点 O 对称，
:点 B 的坐标为点 A 坐标的相反数，即B(-2, -m) ，
: n = -2 ，且3 = -m ，
解得：m = -3 ，n = -2 ， : m + n = (-3) + (-2) = -5 ．
故选：A．
5 ．B
【分析】本题考查方向角， 根据方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于 90°的 角，由此即可判断．
【详解】解：如图，
∵一渔船在海上巡逻艇的北偏东55° 方向上，
:由图可得，这艘渔船的大致位置可以在点B 处．
故选：B．
6 ．C
【分析】本题考查了菱形的判定与性质， 正方形的判定与性质，根据有一个角是直角的菱形 是正方形来验证甲的条件符合题意；根据菱形的对角线互相平分且垂直，再结合对角线相等， 证明这个四边形是正方形，即可作答．
【详解】解：∵一个四边形的四条边相等， :这个四边形是菱形，
∵四边形的四个角均相等
:四边形的四个角都是直角，
则该四边形是正方形， 故甲的条件符合题意；
或∵一个四边形的四条边相等，
:这个四边形是菱形，
∵四边形的对角线相等， :则该四边形是正方形， 故乙的条件符合题意； 故选：C
7 ．C
【分析】本题考查了一次函数的图像，解一元一次不等式组，掌握一次函数图像的规律是解 题的关键．分别根据四个答案中函数的图象求出m 的取值范围即可．
【详解】解：一次函数可变形为y = mx + 3 - m ，
ì m > 0 ìm > 0
l3 - m > 0 lm < 3
A. 由函数图象可知，í , 解得 í , 即0 < m < 3 ，故此种情况存在，不符合题意；
B. 由函数图象可知 解得 ，即 m = 3 ，故此种情况存在，不符合题意；
ì m < 0 ìm < 0
C. 由函数图象可知， íl3 - m < 0 ，解得 ílm > 3 ，即无解，故此种情况不存在，符合题意；
ì m < 0 ìm < 0
D. 由函数图象可知， í ,解得 í ,即 m < 0 ，故此种情况存在，不符合题意；
l3 - m > 0 lm < 3 故选：C．
8 ．D
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，从直方图中获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、共有3 + 4 + 5× 2 + 7 = 24 个班级参加植树活动，正确，不符合题意；
B、根据统计图可知种植树木的数量在 30 ≤ x < 35 这一组的班级个数最多，正确，不符合题 意；
的班级种植树木的数量少于 35 棵，正确，不符合题意；
D、有 3 个班级都种了40 ~ 45 棵树，错误，符合题意． 故选：D．
9 ．C
【分析】本题考查了有序数对表示地理位置，理解图示，确定平面直角坐标系是关键． 根据提示得到平面直角坐标系的原点，建立平面直角坐标系，即可求解．
【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示，
:阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置是(1, -2)， 故选：C ．
10 ．A
【分析】本题考查了函数图象，理解题意是解题的关键． 根据题意推断函数的变化趋势，再根据图象的趋势求解．
【详解】解：由题意得：当 P 在CD 上运动时，n = d ，此时 m = 1 ， 当 O 在DE 上时，n 逐渐变大，d = CD 不变，此时，m 就逐渐变大， 故选：A．
11 ．D
【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四 边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即 可求解．
【详解】解： A、由两个全等三角形组成的四边形， 且根据勾股定理的逆定理可得有一个角 是直角故可得四边形是矩形，故该选项不符合题意；
B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意
C、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
D、不能证明是矩形，故该选项符合题意． 故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
12 ．B
【分析】图 1 和图 2 中的点对应：点A 对点O ，点 B 对点M ，点 D 对点N ，根据点 P 运动 的路程为x ，线段 AP 的长为y ，依次解出 AB = x = 8 ，即点 M 的横坐标，AD = AP = y = 12 ，
即点N 的纵坐标，解出 的面积= AD × BE ，可得结论．
【详解】解：在图 1 中，作BE 丄 AD ，垂足为 E ， 在图 2 中，取M (8,8) ，N(16,12) ，
当点P 从点A 到点B 时，对应图 2 中OM 线段，得AB = x = 8 ，
当点P 从B 到D 时，对应图 2 中曲线MN 从点M 到点N ，得 AB + BD = x = 16 ， 解得BD = 8 ，
当点P 到点D 时，对应图 2 中到达点N ，得 AD = AP = y = 12 ， 在△ABD 中，AB = BD = 8 ，AD = 12 ，BE 丄 AD ，
解得AE = 6 ，
在Rt△ABE 中，AB = 8 ，AE = 6 ， BE2 + AE2 = AB2 ，
解得 ，
:。ABCD 的面积= AD × BE = 12 × 2 = 24 ， 故选：B．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象， 解题的关键是确定对应关系：点A 对点O ，点B 对 点M ，点D 对点N ，当点P 到点D 时，图 2 的N点的纵坐标表示的意义： AD = AP = y （点 N 的纵坐标）．
13 ．200
【分析】本题考查了样本与样本容量，解题关键是找出题中的样本． 先找出样本，再得出样本容量即可．
【详解】解：∵样本是在全校范围内随机抽取的200 名学生的观看电影《哪吒之魔童闹海》 情况，
:样本容量为200 ．
故答案为：200 ．
14 ．x < 3
【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围， 二次根式和分式有意义的条件，解题的关 键熟练掌握二次根式被开方数为非负数，分式的分母不能为 0．
利用二次根式和分式有意义的条件即可解答此题．
【详解】解：根据二次根式和分式的意义可得， 3 - x > 0 ，
解得，x < 3 ，
故答案为：x < 3 ．
15 ． ##0.5
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关 键．
根据当x = 2 时，y1 = y2 ，即可求得 ．
【详解】∵一次函数y1 = ax + b 与y2 = cx + d 的图象的交点的横坐标为 3 ，
: 2a + b = 2c + d ，
: 2a - 2c = d - b ， 故答案为 ．
16 ．2 ≤ m ≤ 3 或-2 ≤ m ≤ -1
【分析】本题主要考查了坐标对称、含有 30 度的直角三角形的性质；先作出直线a 关于直 线l 的对称直线b ，由直线a 与直线l 的夹角是60° 推出直线b 和直线l 关于直线a 对称，然后 分类讨论C 和D 在直线l 的上方或下方，画出图形，再进而求解即可．
【详解】解：作直线a 关于直线l 的对称直线b ，
Q 线段CD 在直线a 上，
:线段CD 关于直线l 对称的线段EF 在直线b 上， Q上AOB = 30° ,直线a 垂直于x 轴，
:直线a 与l 直线所夹的锐角为90° - 30° = 60° ,所夹的钝角为180° - 60° = 120° ,
Q 直线a 与直线b 关于直线l 对称，
:直线b 与直线l 所夹的锐角也是 60° ,
:直线a 与直线b 所夹的钝角为 60° + 60° = 120° , :直线b 和直线l 关于直线a 对称，
当C 、D 在直线l 的上方时，
观察发现，当点F 在x 轴上时，对应的是点C 的纵坐标的最小值，此时 △ODF 为等边三角形； 当点E 在x 轴上时，对应的是点C 的纵坐标的最大值，此时 △OCE 为等边三角形，
①当点F 在x 轴上时， △ODF 为等边三角形，根据等边三角形的性质可知，DB = OB = 2 ， : CB = DB - CD = 1，
Q OB = 2 ，上BOG = 30° , BG 丄 OG ， ,
: 点C 的纵坐标的值CG = CB + BG = 1+1 = 2 ；
@当点E 在x 轴上时，由①可知，点C 的纵坐标的值比①的结果要大1，
: 点C 的纵坐标的值CG = 2 +1 = 3 ，
: 当C 、D 在直线l 的上方时，点C 的纵坐标m 的取值范围是2 ≤ m ≤ 3．
同理，当C 、D 在直线l 的下方时，可以求得点C 的纵坐标m 的取值范围是-2 ≤ m ≤ -1． 综上，m 的范围为2 ≤ m ≤ 3 或-2 ≤ m ≤ -1；
故答案为：2 ≤ m ≤ 3 或-2 ≤ m ≤ -1
17 ．(1)是
(2)①4；②2 ≤ t ≤ 4
【分析】本题主要考查了函数的图象、函数的概念及函数值， 熟知函数的定义及正确识别所 给函数图象是解题的关键．
（1）根据所给函数图象，结合函数的定义进行判断即可；
（2）①观察图象t = 4s 时多对应的 h 值即可解答；②利用所给函数图象即可解决问题． 【详解】（1）解：由图象可知，对于每一个变化的 t ，h 都有唯一确定的值与其对应，
:变量 h 是关于 t 的函数．
（2）解：①由图象可知：当t = 4s 时，h = 4 ，
②由图象可知：2 ≤ t ≤ 4 时，h 随 t 的增大而增大． 18 ．(1)8
(2)135°
【分析】（1）设这个多边形的边数为n ，根据多边形内角和公式和外角和定理列出方程解答 即可；
（2 ）用多边形内角和除以边数即可求解；
本题考查了多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和公式和外角和定理是解题的关键．
【详解】（1）解：设这个多边形的边数为 n ， 由题意得，180° (n - 2) = 360°× 3，
解得n = 8 ，
答：这个多边形的边数为8 ；
（2）解：180°× (8 - 2) ÷ 8 = 135° ,
答：该正多边形一个内角的度数为135° .
19 ．
(2)C(-7, 0)
【分析】本题考查了平移变换的性质， 坐标系中点的特征，点到坐标轴的距离等知识，解题 的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
（1）根据直线 AB 平行于y 轴，则点A 点 B 的横坐标相等，据此建立方程求解即可；
（2）根据平移法则得到平移后C(2m - 3,3m + 6)，再根据点 C 正好在 x 轴上，即纵坐标为
0，得到 3m + 6 = 0 ，求解即可得到 m 的值，即可求解．
【详解】（1）QA(5, 0) ，直线 AB 平行于y 轴， : 点 A 点 B 的横坐标相等，即2m- 4 = 5 ，
解得：
（2）Q将点 B 向右平移 1 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度后得到点 C， : C (2m - 4 + 1, 3m + 1 + 5) 即C (2m - 3, 3m + 6) ，
Q 点 C 正好在 x 轴上，
:3m + 6 = 0 ，
解得：m = -2 ， : 2m - 3 = -7 ， : C(-7, 0) ．
20 ．(1)“二等奖”所占的圆心角度数是 72°
(2)一共收到了 200 份参赛作品
(3)二等奖的人数为 40 人，三等奖人数为 48 人，见解析
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图，理清统计图之间的数量关系是解题的关键．
（1）用360° 乘以“二等奖”所占的的百分比即可求解；
（2）用优秀奖的人数除以其百分比可求出参赛作品；
（3）用总数乘以百分比求出二等奖和三等奖的获奖人数，即可补充条形统计图． 【详解】（1）360° × 20% = 72° ,
答：“二等奖”所占的圆心角度数是72° ;
（2）一共收到了92 ÷ 46% = 200 （份）， 答：一共收到了 200 份参赛作品；
（3）二等奖的人数为 200× 20% = 40 （人）， 三等奖人数：200 × 24% = 48 （人），
将条形统计图补充完整如图所示：
21 ．(1)①@
(2)见解析
【分析】本题主要考查了菱形的判定， 平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，折叠的 性质，全等三角形的性质与判定等待，熟知平行四边形的性质和菱形的判定定理是解题的关 键．
（1）根据题意结合菱形的判定定理即可得到答案；
（2）方案①证明：设EF ，BD 交于 O，由线段垂直平分线的性质得到 BE = DE ， OE = OF ，则可证明 △OED≌△OFB ，得到 DE = BF ，据此可证明结论；
方案@证明：由折叠的性质可得AB = BE ，AF = EF ， ∠ABF = ∠EBF ，再证明
上AFB = 上ABF ，得到 AB = AF ，据此可证明结论．
【详解】（1）解：根据题意得方案设计正确的是①@， 故答案为：①@．
（2）证明：方案①证明如下： 设EF ，BD 交于 O，
∵四边形ABCD 是平行四边形， : ADⅡBC ，
: 上ODE = 上OBF ，上OED = 上OFB ， ∵ EF 垂直平分BD ，
: BE = DE ，OE = OF ， : △OED≌△OFB (AAS) ，
: DE = BF ，
又∵DE Ⅱ BF ，
:四边形BEDF 是平行四边形， ∵ BE = DE ，
:四边形BEDF 是菱形；
方案②证明如下：
由折叠的性质可得AB = BE ，AF = EF ， ∠ABF = ∠EBF ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，
: ADⅡBC ，
: 上AFB = 上EBF ，
: 上AFB = 上ABF ， : AB = AF ，
: AB = AF = EF = BE ， :四边形BEDF 是菱形．
22 ． 在直线MN 上；
【分析】本题考查了一元一次函数的实际应用，用待定系数法求函数解析式，规律探索，解
题关键是关键题意得出点的坐标．
（1）设直线 MN 的解析式为y = kx + b ，将M(0,8) ，N (16, 0) 代入解析式即可求解，再将 B1 (14,1) 代入判断；
（2 ）由每个台阶宽、高分别为2 和1得A1 (16,1) ，N (16, 0) ，将直线直线 向上平 移即可求解；
（3 ）将(0,8) 和(16, 0) 代入即可求解．
【详解】（1）解：设直线 MN的解析式为y = kx + b ，
:每个台阶宽、高分别为2 和1， : M (0,8) ，N (16, 0) ，
将(0, 8) 和(16, 0) 代入解析式得 解得 ，
:直线MN 的解析式为 ， 当x = 14 时 : B1 (14,1) 在直线MN 上；
（2）解：由每个台阶宽、高分别为 2 和1得A1 (16,1) ，N (16, 0) ， 根据图象可知，
将直线 向上平移1个单位，得到 同理：A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8 在直线 上，
故答案为
（3）解：由题意可得16m - 20m + 9 = 0 ，得 ，
把M (0,8) 代入y = mx - 20m + 9(m ≠ 0) 可得-20m + 9 = 8 ， 解得 ，
.
23 ．(1)见解析，这些点分布在同一直线上
(2) y2 = 30-5 = 25，弹簧 B 在弹性限度内的最大拉力是25N
(3)购买 A 弹簧 3 根、B 弹簧 7 根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧拉 力计的最大拉力为280N
【分析】本题考查了画函数图象、 一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关 键．
（1）先描点、再连线，即可得出函数图象；
（2）利用待定系数法计算即可得出答案；
（3）设弹簧 A 为 m 根，则弹簧 B 为(10 - m) 根，根据最大拉力得到函数解析式，根据增减 性解题即可．
【详解】（1）描点并连线如图所示：
由图象可知，这些点分布在同一直线上．
（2）由（1）可知，y2 与x 之间是一次函数关系，
设y2 关于x 的函数表达式为y2 =kx+b(k、b为常数，且k ≠ 0) ， 将坐标(10,5) 和(15,10) 分别代入y2 = kx + b ，
得 解得
: y2 关于 x 的函数表达式为y2 = x - 5 ，
当x = 30 时，y2 = 30-5 = 25，
: 弹簧 B 在弹性限度内的最大拉力是25N ；
（3）设购买 A 弹簧 m 根，则购买 B 弹簧(10 - m) 根， 根据题意，得6m + 3(10 - m) ≤ 40 ，
解得m ≤ 3 ，
当x = 30 时，y1 = 1.4×30-7 = 35， y = 35m + 25(10 - m) = 10m + 250, Q10 > 0
: y 随 m 的增大而增大，
且 m 为非负整数，
: 当m = 3 时y 值最大，y 最大= 10 × 3 + 250 = 280,10 - 3 = 7 （根）．
答：购买 A 弹簧 3 根、B 弹簧 7 根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧 拉力计的最大拉力为280N ．
24 ．（1）BC 的长为 24；（2）AE 的长为 6；（3）AE 的长为 5 或 20
【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定
（1）由折叠得到 AE = EC ，然后对 Rt△BCE 运用勾股定理即可求解；
（2）先证明 BE = DE ，设 AE= x ，则 BE = DE = 16 - x ，在 Rt△ABE 中，由勾股定理建立方 程x2 + 82 = (16 - x)2 ，即可求解；
（3）设线段BC 的垂直平分线交BC 于点M ，交 AD 于点N 则MN = AB = 5 ，分两种情况：
①如图，当点F 在长方形内部时，在Rt△BFM 中，由勾股定理得FM = 6 ，则
FN = MN - FM = 4 ，设 AE = FE = y ，则EN = 8 - y ，在 Rt△ENF 中，由勾股定理得
y2 = (8 -y)2 + 42 ，解得：y = 5 ，即AE 的长为 5 ； @如图，当点F 在长方形外部时，由折
叠的性质得：BF = BA = 10, AE = FE ，同①得FM = 6 ，此时 FN = 16 ，设 AE = FE = a ，则 EN = a - 8 ，在Rt△ENF 中，由勾股定理得a2 = (a - 8)2 + 162 ，解得：a = 20 ，即AE 的长为
20．
【详解】解：（1）Q AC = 32, EC = 7 ， : AE = AC - EC = 32 - 7 = 25 ，
由折叠的性质得：BE = AE = 25 ， : 上C = 90° ,
:在Rt△BCE 中，由勾股定理得：BC = = = 24 ， 即BC 的长为24；
（2）Q 四边形ABCD 是长方形，
: AD = BC = 16, 上A = 90°, AD∥BC ，
:上EDB = 上CBD ，
由折叠的性质得：上EBD = 上CBD ，
:上EDB = 上EBD ，
:BE = DE ，
设AE = x ，则 BE = DE = 16 - x ，
在Rt△ABE 中，由勾股定理得：AE2 + AB2 = BE2 ， 即x2 + 82 = (16 - x)2 ，
解得：x = 6 ，即 AE 的长为 6；
（3）Q 四边形ABCD 是长方形，
: AD = BC = 8, 上B = 90°, AD∥BC ，
设线段BC 的垂直平分线交BC 于点M ，交 AD 于点N则MN = AB = 5 ，分两种情况：
①如图，当点F 在长方形内部时，
Q 点F 在线段BC 的垂直平分线MN 上，
由折叠的性质得：BF = BA = 10, AE = FE ，
在Rt△BFM 中，由勾股定理得
:FN = MN - FM = 10 - 6 = 4 ，设 AE = FE = y ，则EN = 8 - y ， 在Rt△ENF 中，由勾股定理得：EF2 = EN2 + FN2 ，
即y2 = (8 - y)2 + 42 ，
解得：y = 5 ，即 AE 的长为 5；
@如图，当点F 在长方形外部时，
由折叠的性质得：BF = BA = 10, AE = FE ，同①得：FM = 6 ，
:FN = MN + FM = 10 + 6 = 16 ，设 AE = FE = a ，则 EN = a - 8 ，
在Rt△ENF 中，由勾股定理得：EF2 = EN2 + FN2 ，即 a2 = (a - 8)2 + 162 ， 解得：a = 20 ，即 AE 的长为 20；
综上所述，点F 刚好落在线段BC 的垂直平分线上时，AE 的长为 5 或 20．