2024-2025学年广东省中山市华辰中学厚德班八年级下学期3月数学检测试卷

这是一份2024-2025学年广东省中山市华辰中学厚德班八年级下学期3月数学检测试卷，共40页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1 ．已知eO 的半径为 3 ，OA = 2 ，则点 A 与eO 的位置关系是( )
A ．点A 在圆上 B ．点A 在圆外 C ．点A 在圆内 D ．不能确定
2 ．如图，数轴的原点O 对应刻度尺的0 刻度线，图中的虚线互相平行，则点A 对应的数是 ( )
A ．10 B ．8 C ．6 D ．5
3 ．关于反比例函数 ，下列说法中错误的是( )
A ．x > 0 时，y 随 x 的增大而减小 B ．当1 < x < 6 时，1 < y < 6
C ．当x ≤ -1时，y 有最大值为-6 D ．它的图象位于第一、三象限
4 ．如图，量角器外缘上有A ，B ，C 三点，且A ，B 两点所表示的读数分别是130° , 100° , 则上ACB 应为( )
A ．15° B ．25° C ．30° D ．40°
5 ．如图，使△ABC - △ADE 成立的条件是( )
A ．上A = 上A B ．上ADE = 上AED
C ．上ABC = 上ADE D ．
6．在反比例函数 的图象上有三个点(-1, y1 ) ，(-2, y2 ) ，(-3, y3 )，则函数值y1 ，y2 ，y3 的大小关系为( )
A ．y2 < y3 < y1 B ．y1 < y3 < y2 C ．y1 < y2 < y3 D ．y3 < y1 < y2
7 ．编织草帽是云南各族尤擅的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口
溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示）．若这种 圆锥形草帽的母线长为 35 厘米，底面圆的半径为 20 厘米，则该圆锥形草帽的侧面积为
( )
A ．700π 平方厘米 B ．900π 平方厘米
C ．1400π 平方厘米 D ．1600π 平方厘米
8 ．如图，一个半径为5cm 的定滑轮带动重物上升了4τcm ，假设绳索与滑轮之间没有滑动， 则滑轮上某一点P 旋转了( )
A ．108° B ．120° C ．135° D ．144°
9 ．如图，矩形ABCD 对角线的交点 M 在 x 轴上，边AB 平行于 x 轴，OE : OF = 1: 3 ，
S△BMF = 1 ，反比例函数经过点 B 、D 两点，则 k 的值是( )
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
10．规定：若两个函数的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公 共点称为“兄弟点” ．下列四个函数中，与二次函数y = 2x2 - 4x - 3 互为“兄弟函数”的是( )
A ．y = x + 1 B ．y = -x2 +1
C ． D ．y = 3x2 -1
二、填空题
11 ．若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是 .
12．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O 为圆心的圆，已知圆心O 在水面上方，且当 圆被水面截得的弦AB 为 6 米时，圆心到水面AB 的距离为 4 米，则该圆在水面下的最深处 到水面的距离为 米．
13 ．如图，一次函数y1 = kx + b (k ≠ 0) 的图象与反比例函数 （ m 为常数且m ≠ 0 ）图 象的都经过A(-1, 2) ，B (2, -1)，结合图象，则不等式 的解集是 ．
14．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C 设计为整个车身黄金分割点的 位置（如图），若该车车身总长 AB 约为 5 米，则车头A 与后视镜C 的水平距离约为
米．（提示：黄金分割比 ）
15 ．如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网1.6 m 远的参赛选手，某次挥拍击球时恰 好将球打过高为0.9 m 的球网，而且落在离球网3.2 m 远的位置上，则球拍击球的高度h 为
m．
16 ．如图，在锐角三角形ABC 中，AB = 6 cm ，AC = 12 cm ，动点 D 从点A 出发到点 B 停 止，动点 E 从点 C 出发到点 A 停止，点 D 运动的速度为1cm/s ，点 E 运动的速度为2cm/s ， 如果两点同时开始运动，那么以点 A，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似时的运动时间为·
三、解答题
17 ．已知 求下列算式的值：
18 ．张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一条弦AB 的垂直平分 线交弧AB 于点C ，交弦 AB 于点D ，测得 AB = 24cm ，CD = 8cm ．
(1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求（1）中所作圆的半径．
19 ．边长为 4 的正方形 ABCD，在 BC 边上取一动点 E，连接 AE，作 EF⊥AE，交 CD 边于
点 F．
(1)求证：△ABE∽△ECF；
(2)若 CF 的长为 1，求 CE 的长．
20．《黑神话：悟空》在全球上线迅速吸引了全球游戏爱好者的目光， 游戏中选取的 27 处山 西极具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蕴．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼， 某实践小组欲测量飞红塔的高度AB ．如图，塔前有一棵高 4 米的小树CD ，发现水平地面 上点E ，树顶C 和塔顶A 恰好在一条直线上，测得BD = 64.5 米，D, E 之间有一个花圃距离 无法测量；在点E 处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿BE 所在直线后退，退到点 G 处恰好在平面镜中看到树顶C 的像(上CED = 上FEG), GE = 2.4 米，测量者眼睛到地面的距 离FG 为 1.6 米．已知AB 丄 BG ，CD 丄 BG, FG 丄 BG ，且点B, D, E, G 在同一水平线上．求 飞虹塔的高度AB ．
21 ．心理学家研究发现，一般情况下，一节课 40 分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化 而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想 的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y 随时 间x （分钟）的变化规律如图所示（其中 AB 、BC 分别为线段，CD 为双曲线的一部分）：
(1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
(2)一道数学竞赛题，需要讲 19 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到
36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？请说明 理由.
22 ．小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 图象上的点 和点B 为顶点，分别作菱形AOCD 和荾形OBEF ，点D ，E 在x 轴上，以点O 为圆心，OA 长为半径作 ，连接 BF
(1)求k 值；
(2)计算图形阴影部分面积之和．
23 ．一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边 BC=120mm，高 AD=80mm，把它加工成正方 形零件如图 1，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB 、AC 上．
（1）求证：△AEF ∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图 2，问这个矩形的最大面积是多少？
24 ．操作：小明准备制作棱长为1cm 的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：
说明：
方案一：图形中的圆过点 A 、B 、C ；
方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶 点.
纸片的利用率= 纸片被利用的面积× 100%
纸片的总面积 .
发现：
（1）方案一中的点A 、B 恰好为该圆一直径的两个端点.你认为小明的这个发现是否正确， 请说明理由.
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率小于38.2% .请帮忙计算方案二的利用率， 并写出求解过程.
探究：
（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方 案三的利用率（精确到0.01% ）.
说明：方案三中三角形的每条边均过其中两个正方形的顶点.
1 ．C
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有 3 种．设ΘO 的半径为r ， 点P 到圆心的距离 OP = d ，则有（1）点P 在圆外 Û d > r ；（2）点P 在圆上 Û d = r ；（3） 点P 在圆内 Û d < r ．
由ΘO 的半径为3, OA = 2 ，知点到圆心的距离小于半径，从而得出答案．
【详解】解：:ΘO 的半径为3, OA = 2 ， :点到圆心的距离小于半径，
:点A 在圆内， 故选：C．
2 ．A
【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段，列出比例式求出
,再根据两点间的距离公式求出点 A 在数轴上表示的数即可．
【详解】解：如图，由题意，得：BDⅡAC ，OD = 6 ，BC = 5 - 3 = 2cm, OB = 3cm ，
:点A 所表示的数为：6 + 4 = 10 ；
故选：A．
3 ．C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 根据反比例函数的性质对各选项逐一分析即可．
【详解】解：A ．Q 反比例函数y = ，k = 6 > 0 ，:该函数图像的两个分支位于一、三象限， 且在每一象限内y 随x 的增大而减小，故本选项正确；
B ．Q 当x =1 时，y = 6 ，当 x = 6 时，y = 1 ，: 当1 < x < 6 时，1 < y < 6 ，故本选项正确；
C ．Q 反比例函数 ，k = 6 > 0 ，:该函数图像的两个分支位于一、三象限， 且在每一象
限内y 随x 的增大而减小，: 当x = -1 时，y = -6 ，: 当x ≤ -1时，-6 ≤ y < 0 ，故本选项错 误；
D ．Q反比例函数 ，k = 6 > 0 ，:该函数图像的两个分支位于一、三象限， 故本选项正 确；
故选：C．
4 ．A
【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一 半．由已知条件可得出上FOA = 50° , 上FOB = 80° ,再根据角的和差关系即可得出
上AOB = 上FOB - 上FOA = 30° ,最后根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：如下图：A ，B 两点所表示的读数分别是130° , 100° ,
: 上FOA = 50° , 上FOB = 80° ,
: 上AOB = 上FOB - 上FOA = 30° ,
∵ = ，
故选：A
5 ．C
【分析】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和运用相似三角形的判定定理是解题的 关键．因为上A = 上A ，则△ABC 和△ADE 只有一组对应角相等，所以不能判定△ABC 和
△ADE 相似，可判断 A 不符合题意；由于上ADE = 上AED 不是△ABC 和△ADE 的对应角相 等，则 △ABC 和△ADE 只有 Ð A 与∠A 这一组对应角相等，所以不能判定△ABC 和△ADE 相 似，可判断 B 不符合题意；由上ABC = 上ADE ，上A = 上A ，可根据“两角分别相等的两个三 角形相似”证明△ABC ∽△ADE ，可判断 C 符合题意；因为 上A = 上A ，不符合“两 边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件，不能判定△ABC 和△ADE 相
似，可判断 D 不符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵ 上A = 上A ， △ABC 和△ADE 只有一组对应角相等， :不能判定△ABC 和△ADE 相似，
故 A 不符合题意；
∵ 上ADE = 上AED 不是△ABC 和△ADE 的对应角相等， : △ABC 和△ADE 只有 Ð A 与Ð A 这一组对应角相等，
:不能判定△ABC 和△ADE 相似， 故 B 不符合题意；
∵ 上ABC = 上ADE ，上A = 上A ， :△ABC ∽△ADE ，
故 C 符合题意；
, 上A = 上A ，不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的 条件，
:由 ，上A = 上A ，不能判定△ABC 和△ADE 相似，
故 D 不符合题意， 故选：C．
6 ．C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，比较反比例函数值，先分别求出 y1、y2、y3 的值，再比较大小即可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：Q在反比例函数 的图象上有三个点(-1, y1 ) ，(-2, y2 ) ，(-3, y3 )，
:y1 < y2 < y3 ．
故选：C．
7 ．A
【分析】本题考查了圆锥的侧面积， 先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公 式计算即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：圆锥的底面圆周长为 2τ ×20 = 40π 厘米， :圆锥的侧面积为× 40π × 35 = 700π 平方厘米，
故选：A．
8 ．D
【分析】本题考查了弧长的计算， 根据弧长公式：l = （弧长为 l，圆心角度数为 n，圆 的半径为 R），即可得滑轮上某一点 P 旋转的度数．
【详解】解：:半径为5cm 的定滑轮带动重物上升了4τcm ，
根据 得：
解得n = 144° .
所以，滑轮上某一点 P 旋转了144° .
故选：D．
9 ．B
【分析】本题考查了矩形的判定和性质， 全等三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性 质，利用数形结合的思想解决问题是关键．连接OB ，根据矩形的性质证明
△AMD≌△CMB (SAS) ，得到ME = MF ，再结合已知条件，得到 ，
进而得出 求出S△ 即可求出 k 的值．
【详解】解：如图，连接OB ，
Q矩形ABCD 对角线的交点 M 在 x 轴上，
: MA = MC ，MD = MB ，上DAB = 上ABC = 90° , 又Q 上AMD = 上CMB ，
:△AMD≌△CMB (SAS)，
Q边AB 平行于 x 轴，
: AB Ⅱ EF ，
:上AEF = 上BFE = 90° ,
:ME和MF 是 △AMD 和 △CMB 的高，
:ME = MF ，
Q OE : OF = 1: 3
QS△BMF = 1， ,
Q反比例函数 经过点 B 、D 两点，
Q k > 0 ， :k = 3 ， 故选：B．
10 ．C
【分析】本题考查了在新定义下的一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质．画出函 数图象，由函数图象及“兄弟点”的定义即可得到答案．
【详解】解：如图：
,
由图可知，与二次函数y = 2x2 - 4x - 3 有 3 个交点的是 ， 故选：C．
11 ．k>2
【分析】根据图象在第二、四象限， 利用反比例函数的性质可以确定 2-k 的符号，即可解答． 【详解】∵反比例函数 的图象在第二、四象限，
:2-k＜0，
:k＞2．
故答案为 k＞2．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆当 k＞0 时，图象分别位于第一、三 象限；当 k＜0 时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键．
12 ．1
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直 角三角形解决问题．如图，作OD 丄 AB 于点 E，交⊙O 于点 D，设圆的半径为 r 米，利用勾
股定理构建求解即可．
【详解】解：如图，过点 O 作OD 丄 AB 交AB 于点 E， 交⊙O 于点 D，如图，
: OD 丄 AB ，
根据题意得：OE = 4 米， 设圆的半径为 r 米，
（米），
:圆心到水面AB 的距离为 4 米， : 5 - 4 = 1（米），
:该圆在水面下的最深处到水面的距离为为 1 米， 故答案为：1．
13 ．x < -1或0 < x < 2
【分析】本题考查一次函数图象与反比例函数图象的交点，函数图象与不等式，熟练利用数 形结合是解题的关键．根据一次函数图象y1 = kx + b (k ≠ 0 ) 在反比例函数图象 为
常数且m ≠ 0 ）上方的x 的取值范围便是不等式 的解集．
【详解】解：由 kx > - b ， 得kx + b > ，
由函数图象可知，当一次函数y1 = kx + b (k ≠ 0 ) 的图象在反比例函数 为常数且 m ≠ 0 ）的图象上方时，x 的取值范围是：x < -1或0 < x < 2 ，
:不等式kx + b > 的解集是：x < -1或0 < x < 2 ，
:不等式kx > - b 的解集是：x < -1或0 < x < 2 ，
故答案为：x < -1或0 < x < 2 ．
14 ．
【分析】本题考查了黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC 和BC(AC > BC ) ，且使AC 是 AB 和BC 的比例中项（即 AB : AC = AC : BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点 C 叫做线段AB
的黄金分割点．根据黄金分割比= 即可求解．
【详解】解： Q汽车后视镜C 设计为整个车身黄金分割点的位置，该车车身总长AB 约为 5 米，
:车头A 与后视镜C 的水平距离约为米， 故答案为
15 ．1.35
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关 键，根据题意可得：BC 丄 AE ，DE 丄 AE ，从而可得 Ð ACB = Ð AED = 90° ,然后证明
△ACB∽△AED ，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：如图，
由题意得：BC 丄 AE ，DE 丄 AE ， : Ð ACB = Ð AED = 90° ,
Q Ð BAC = ÐDAE ， :△ACB∽△AED ，
解得：DE = 1.35
:球拍击球的高度h 为1.35m ，
故答案为：1.35 ． 16 ．4.8s 或 3s
【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质 ．根据对应角不同进行分类讨论：①当
上AED = 上ABC 时，②当∠ADE = ∠ABC 时，即可求解．
【详解】解：设经过 x s 后，以点A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似， : AD = x ，AE = 12 - 2x ，
由图得：上A = 上A ，
①当上AED = 上ABC 时， : △AED∽△ABC ，
解得：x = 4.8 ；
②当∠ADE = ∠ABC 时， : △ADE ∞△ABC ，
解得：x = 3 ；
:经过4.8 s 或3 s 后，以点A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似． 故答案为：4.8 s 或3 s ．
【分析】本题考查分式的化简求值．
设 ，则 a = 3k ，b = 2k ，把 a 、b 的值代入（1）、（2）分式式进行计算即可． 【详解】（1）解：设 = = k (k ≠ 0) 则a = 3k ，b = 2k ，
（2）解：设 = = k (k ≠ 0)，则 a = 3k ，b = 2k ，
2a - b 2 × 3k - 2k 4
a + 2b 3k + 2 × 2k 7
: = = ．
18 ．(1)见解析
(2)13cm
【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作 AC ，BC 的中垂线交于 点O ，则点 O 是弧ACB 所在圆的圆心；
（2）在 Rt△OAD 中，由勾股定理得出方程，解方程可求得半径OA 的长．
【详解】（1）解：作弦AC 的垂直平分线与弦BC 的垂直平分线交于O 点，以O 为圆心OA 长 为半径作圆O 就是此残片所在的圆，
如图 1 所示．
（2）连接 OA ，如图 2 所示：
设OA = x ，
: CD = 8cm ，AD = 12cm ， : OD = (x - 8)cm ，
则根据勾股定理列方程：
x2 = 122 + (x - 8)2 ， 解得：x = 13．
答：圆的半径为13cm ．
【点睛】本题考查了作图， 垂径定理，中垂线的性质，勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾
股定理得出方程是解决问题（2）的关键．
19 ．(1)见解析
(2)CE=2
【分析】（1）结合图形由∠AEB+∠FEC=90° , ∠AEB+∠BAE=90°推出∠BAE=∠FEC，根据正方 形的性质得到∠B=∠C=90°,从而推出△ABE-△ECF；
（2）根据相似三角形的性质和线段之间的和差关系求解即可． 【详解】（1）证明：:EF丄AE，
:∠AEB+∠FEC=90° ,
:四边形 ABCD 是正方形， :∠AEB+∠BAE=90° ,
:∠BAE=∠FEC， ∠B=∠C=90° ,
:△ABE-△ECF；
（2）解：:△ABE-ECF，
解得 CE=2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质， 应从图形入手，寻找判定相 似三角形的条件(∠BAE=∠FEC，∠B=∠C=90°),再根据相似三角形的性质进行求解，注意 运用数形结合的思想方法．
20 ．飞虹塔的高度AB 为47 米．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．先证明
△CDE ∽△FGE ，求出 DE 的长，再证明△ABE ∽△CDE 即可求出答案．
【详解】解： 已知AB 丄 BG ，CD 丄 BG ，FG 丄 BG ，点 B，D，E，G 在同一水平线上，CD = 4 米，FG = 1.6 米，EG = 2.4 米，
: 上CDE = 上FGE = 90° ,
由平面镜反射可知，上CED = 上FEG ， :△CDE ∽△FGE ，
即 ， 解得：DE = 6 ，
: BD = 64.5 米，
: BE = BD + DE = 64.5 + 6 = 70.5 （米）， : AB 丄 BG ，CD 丄 BG ，
: 上ABE = 上CDE = 90° , : 上AEB = 上CED ，
:△ABE ∽△CDE ，
: AB = CD ，即 AB = 4 ，
BE DE 70.5 6
解得：AB = 47 ，
:飞虹塔的高度AB 为47 米．
21 ．(1)第 30 分钟学生的注意力更集中；
(2)能，理由见解析
【分析】（1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得AB 和CD 的函数表达式， 再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；
（3）分别求出注意力指数为 36 时的两个时间，再将两时间之差和 19 比较，大于 19 则能讲 完，否则不能．
【详解】（1）设线段 AB 所在直线的解析式为y1 = k1x + 20 ， 把B(10, 40) 代入得, 10k1 + 20 = 40
: k1 = 2 ，
: y1 = 2x + 20 ，
设C ，D 所在双曲线的解析式为 ， 把C(25, 40) 代入得k2 = 1000 ，
当x1 = 5 时，y1 = 2 × 5 + 20 = 30 ； 当x2 = 30 时 : y1 < y2 ．
:第 30 分钟学生的注意力更集中； （2）能
令y1 = 36 ，则36 = 2x + 20 ， : x = 8 ．
令y2 = 36 ，则
: 27.8 - 8 = 19.8 > 19 ，
:经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目
【点睛】本题考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义 中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函 数值．
22 ．(1) 4
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用 ．涉及菱形的性质，扇形的面积．
（1）直接将点 A(2, 2)代入解析式求k 值即可；
（2）利用分割法得到S阴影 = S菱形AOCD - S弓形 = S菱形AOCD - (S扇形AOC - S△AOC ) ，求解即可．
正确的求出函数解析式，掌握相关图形的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关 键．
【详解】（1）:点A(2, 2)在反比例函数图象上，
（2）连接 AC 交OD 于点N ．
∵四边形AOCD 是菱形
: AC 与OD 相互垂直平分, OA = OC ，
: △OAC 是等边三角形
:上AOC = 60° ,

23 ．（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400． 【详解】（1）∵四边形 EGHF 为矩形，
:BCⅡEF，
:△AEF-△ABC；
（2）设正方形零件的边长为 x， 在正方形 EFHG 中，EFⅡBC,
:△AEF-△ABC,
解得：x=48，
即：正方形零件的边长为 48；
（3）设长方形的长为 x，宽为 y，
当长方形的长在
当 x=60 时，
长方形的面积最大为 2400．
考点：1 ．相似三角形的应用；2 ．二次函数的应用．
24 ．（1）小明的这个发现正确；（2）16；（3）约 49.86%
连接 AC 、BC 、AB ，由 根据勾股定理的逆定理， 即可求得上ACB = 90° ,又由 90°的圆周角所对的弦是直径，则可证得 AB 为该圆的直径；
（2）首先证得△ADE ≥△EHF 与△ADE-△ACB，即可求得 AD 与 BC 的长，求得△ABC 的 面积，即可求得该方案纸片利用率；
（3）利用方案（2）的方法，分析求解即可求得答案．
【详解】解：发现：（1）小明的这个发现正确，理由如下： 如图 2：连结 AC 、BC 、AB .
: AC2 + BC2 = AB2 ， : 上ACB = 90° ,
: AB 为该圆的直径.
（2）如图 4 ：: DE = FH ，DE P FH ， : 上AED = 上EFH .
: 上ADE = 上EHF = 90° ,
: ΔADE 三 ΔEHF ，
: AD = EH = 1 .
∵ DEⅡ BC ，
: ΔADE ~ ΔACB ，
: BC = 8 ，
: SΔACB = 16 .
纸片的总面积 16 .
:方案二纸片利用率= 展开图的面积× 100% = 6 × 100% = 37.5%
（3）约为 49.86% .
如图 5，过点C 作CD 丄 EF 于D ，过点G 作GH P AC ，交BC 于点H ，过点H 作HM 丄 GL 于M .设AP = a ，易得上A = 90° , ΔQKE 三 ΔRTP ，ΔCDE 三 ΔCDF 三 ΔRNG ，ΔCEF 、ΔGHL 均为等腰三角形， ΔAPQ ~ ΔKQE ，
: AQ = 2a ，PQ = a ，
∵ 上QEK = 上ECD ，
: sin 上QEK = sin 上ECD ，
解得 则AC = 2a + 5a + a = a ，
由上MGH = 上AQP ，可得 cs 上MGH = cs 上AQP ，解得GH = a .
∵ GH P AC ，
: ΔBGH ~ ΔBAC ，
即 解得：
展开图面积 = 6 × 5a2 = 30a2 .
纸片的总面积 361 .
:方案三纸片利用率= 展开图的面积× 100% = 180 × 100% ≈ 49.86%
【点睛】此题属于圆的综合题， 考查了圆周角的性质，相似三角形与全等三角形的判定与性 质，勾股定理的逆定理等知识．此题综合性很强，难度较大，解题时要注意数形结合思想的 应用．