2024-2025学年广东省深圳市南山区八年级下学期数学期末试卷

这是一份2024-2025学年广东省深圳市南山区八年级下学期数学期末试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024－2025 学年度第二学期期末教学质量监测
八年级数学试题
注意事项：
1 ．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的姓名、 班级、学校，并把条形码粘贴在指定位置．
2 ．请按照要求答题，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题 卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答 案；不准使用涂改液．不按以上要求作答，视为无效．
3 ．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．
第一部分 选择题
一、选择题（本题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，每小题有 4 个选项，其 中只有一个是正确的）
1 ．二十四节气是中国古代通过观察太阳周年运动，认知时令、气候、物候变化规律形成的 知识体系，下图分别代表“立春”“立夏”“ 白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是( )
A．
B．
C ． D．
2 ．已知 x＞y，下列不等式一定成立的是( )
A．x -6＜y -6 B ．3x＜3y C ． -2x＞ -2y D ．2x＋1＞2y＋1
3 ．若分式 的值为 0，则a 的值是( )
A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2
4 ．中国古代建筑具有悠久的历史和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如
图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的一个内角的度数为( )
A ．105° B ．110° C ．120° D ．135°
5 ．如图，l1 反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，l2 反映了该产品的销售成本与 销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．根据图中信息判断该 公司在赢利时的销售量为( )
A ．小于 4 件 B ．大于 4 件 C ．等于 4 件 D ．不小于 4 件
6 ．依据所标数据，如图一定为平行四边形的是( )
A ． B ．
C．
D．
7 ．一件商品售价x 元，利润率为a%(a > 0) ，则这种商品每件的成本是( )
A ．(1+ a%)x 元 B ．(1- a%) x 元 C ． 元 D ． 元
8 ．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于 85”为一次程序操作，如 果结果得到的数小于或等于 85，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了 两次才停止，那么x 的取值范围是( )
A ．x > 21 B ．5 < x ≤ 21 C ．5 ≤ x ≤ 21 D ．x ≤ 21
第二部分 非选择题
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分，请将正确的答案填在答题卡上）
9 ．在 △ABC 中，AB = AC ，若 上A = 40° ,则 上C = ．
10 ．已知正方形的面积是9x2 + 6xy + y2 (x > 0, y > 0)，利用因式分解写出表示该正方形的边
长的代数式为 ．
11 ．如图，在Rt△ABC 中， 上C = 90° , 以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ， AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P ， 作射线AP 交边BC 于点D ，若 CD = 2 ，AB = 5 ，则△ABD 的面积是 ．
12 ．已知关于x 的方程4x + a = x - 6 的根为负数，则实数a 的取值范围是
13 ．如图，在 △ABC 中，上ACB = 120。，AC = BC = 4 ，E 是边BC 上的一点，F 是BC 延长 线上的一点，G 为AF 的中点，连接EG ．若CF = 2BE ，则 GE 的长为 ．
三、解答题（本题共 7 小题，其中第 14 题 7 分，第 15 题 7 分，第 16 题 9 分， 第 17 题 9 分，第 18 题 9 分，第 19 题 10 分，第 20 题 10 分，共 61 分）
14 ．解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来．
15．先化简 再从 3 、-1，0 中选一个合适的数作为x 的值代入求 值．
16．如图，每个小正方形的边长为 1 个单位、每个小方格的顶点叫格点， △ABC 的三个顶点 都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图．
(1)在图 1 中画出 △ABC 向右平移 4 个单位后的△A1B1C1 ；
(2)在图 2 中画出 △ABC 绕点B 顺时针旋转90° 后的 △A2BC2 ；
(3)在图 3 中画出所有格点M ，使△MBC 面积与△ABC 面积相等（点M 与点A 不重合）．
17 ．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数” ．例如， 3 = 22 -12 ，12 = 42 - 22 ，16 = 52 - 32 ，我们称 3 ，12 ，16 这三个数为“智慧数”．
(1)试判断 21 是否为“智慧数”，并说明理由；
(2)假设存在两个连续的偶数分别记为2k 和2k + 2 （其中 k 取正整数），请证明由这两个连续 偶数所构造出的“智慧数”是 4 的倍数．
18 ．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AB 和CD 上，且AE = CF ．
(1)求证：四边形DEBF 是平行四边形；
(2)若DE = BE ，上A = 60 ，AD = 2 ，AB = 3 ，求平行四边形 DEBF 的面积．
19．荷兰花卉小镇是融城市民休闲娱乐、赏花购花的生态休闲区．小镇某花店现推出小雏菊 和玫瑰两种特价鲜花，一扎玫瑰比一扎小雏菊多 5 元，甲公司现场购买小雏菊花费 300 元， 购买玫瑰花费 400 元，且两种鲜花扎数相等．请解决以下问题：
(1)一扎小雏菊和一扎玫瑰的价格各是多少元？
(2)如图 1 ．该店现有区内配送服务，结合图 2 信息可得a = _____ ；当鲜花数量超过 8 扎时， 一次性配送，配送费y （元）与鲜花数量 x （扎）之间的函数关系式为______．
(3)区内乙公司计划购买小雏菊和玫瑰两种鲜花共 18 扎，若购进玫瑰的数量不低于 13 扎， 且不超过小雏菊数量的 5 倍．
①此次购花的费用最少需要多少元？
②现公司需要配送服务，则此次配送费最少需要__________元．
20 ．【定义】若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样 的图形称为“直角等邻对补”四边形．简称“直等补”四边形．
【概念理解】
（1）如图1，四边形 ABCD 是正方形，点E 在AB 上，将 △BCE 绕点C 顺时针旋转，使CB
和CD 重合，此时，点E 的对应点F 在AD 的延长线上，四边形AECF 是“直等补”四边形吗？
请说明理由．（请将以下证明过程补充完整）
证明：四边形AECF 是“直等补”四边形，理由如下： Q 四边形ABCD 是正方形，
:上A = 上B = 上BCD = 上ADC = 90° , 由旋转性质，得：
: CF = _________ ，_________ = 上BCE ，
:上FCE = 上FCD + 上DCE = 上BCE + 上DCE = 上BCD = 90° ,
:上A + 上FCE = __________ ° ,
: 四边形AFCE 是“直等补”四边形． 【性质初探】
（2 ）如图2 ，四边形ABCD 是“直等补”四边形，AD = CD ，上ABC = 90° , 连接BD ．若AB = m ， BC = n ，学习小组探究发现，通过将△BCD 绕点D 顺时针旋转90° , 可以求得BD 的长（用 含m ，n 的式子表示）．请完成探究过程．
【拓展应用】
（3 ）如图3 ，四边形ABCD 是“直等补”四边形，AD = CD ，上ABC = 90° , 连接AC ，BD ，
,当CD 取何值时， △ABC 的面积最大？最大值是多少？
1 ．D
【分析】此题主要考查中心对称图形的定义， 根据中心对称图形的定义，即可判断答案．关 键是掌握把一个图形绕着某一个点旋转180° ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故 A 不符合题意；
B、不是中心对称图形，故 B 不符合题意；
C、不是中心对称图形，故 C 不符合题意；
D、是中心对称图形，故 D 符合题意； 故选：D．
2 ．D
【分析】根据不等式的基本性质进行判断即可．
【详解】A. ∵x＞y，
: x - 6＞y- 6 ，故 A 错误； B. ∵x＞y，
:3x＞3y ，故 B 错误； C. ∵x＞y，
:-2x＜- 2y ，故 C 错误；
D. ∵x＞y ， : 2x＞2y ，
:2x +1＞2y +1，故 D 正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质， 注意不等式两边同除以或乘同一个负数，不等 号方向发生改变．
3 ．A
【分析】本题考查了分式的值为零的条件， 根据分式的值为零的条件可以求出a 的值．熟知 需同时具备两个条件：（1）分子为 0；（2）分母不为 0 ．是解题的关键．
【详解】解：由分式的值为零的条件得 a + 2 = 0 且a -1≠ 0 ，
解得a = -2 ， 故选：A．
4 ．D
【分析】本题考查了多边形的内角， 掌握多边形的内角和公式是解题的关键．多边形的内角 和为(n - 2)×180° ,其中 n 为正多边形的边数．根据多边形的内角和公式求出内角和，再除 以边数即可得到答案．
【详解】解：正八边形的一个内角的度数为 故选：D．
5 ．B
【分析】根据图像即可求解． 【详解】解：由图可知，
当销售收入大于销售成本时，即l1 的图像在l2 的上方，
则x > 4 的部分l1 的图像在l2 的上方，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用问题，审清题意，理解函数图像的信息是解题的关 键．
.
6 ．C
【分析】本题主要考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理判断即可；
【详解】解：平行四边形对角相等，故 A 错误；
一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故 B 错误；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故 C 正确；
一组对边平行另一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故 D 错误；
故选：C．
7 ．D
【分析】此题主要考查了列代数式， 正确掌握售价= （1+利润率） × 成本是解题关键. 根据 售价= （1+利润率） × 成本求解即可.
【详解】解：∵商品售价x 元，利润率为a%(a > 0) ，
:故选： D
8 ．B
【分析】本题主要考查了程序框图，一元一次不等式组的应用，根据第一次不停止、第二次
ì4x +1 ≤ 85
停止列不等式组 íl4 (4x +1) +1 > 85 ，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：设输入的为 x，
ì4x +1 ≤ 85
由题意知 íl4 (4x +1) +1 > 85 ， 解得：5 < x ≤ 21，
故选：B．
9 ．70° ##70 度
【分析】根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵ AB＝AC ，上A＝40° ,
故答案为：70° .
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质， 主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，熟记性 质是解题的关键．
10 ．3x + y
【分析】本题考查了因式分解．先分解因式，再求算术平方根即可． 【详解】解：9x2 + 6xy + y2 = (3x + y)2 ，
∵ x > 0, y > 0 ，
:该正方形的边长的代数式为 故答案为：3x + y ．
11 ．5
【分析】本题考查了角平分线的作图过程与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．
作DE TAB 于E，利用基本作图得到AP 平分 7BAC ，根据角平分线的性质得到DC = DE = 2 ， 然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：作 DE TAB 于 E，如图，
由作法得AP 平分 ÐBAC ， : DC = DE = 2 ，
:△ABD 的面积 ．
故答案为：5．
12 ．a > -6
【分析】本题考查了一元一次方程的解．
先求出x 的解，再根据根为负数计算即可． 【详解】解：解 4x + a = x - 6 得 :关于x 的方程4x + a = x - 6 的根为负数，
解得：a > -6 ，
故答案为：a > -6 ．
13 ．
【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定及性质，勾股定理，由已知可得
上ACF = 60° , 上ACF = 60° ,过点 A 作AH 丄 CF ，交CF 于H ，可得
CH = AC·cs 60° = 2 ，过点G 作GT 丄 CF ，交CF 于T ，则AH Ⅱ GT ， 得到△AFH∽△GFT ，即得 可得 设BE = a ，
CF = 2a ，得到 FH = CF - CH = 2a - 2 ，CE = 4 - a ，进而得到 即得
CT = CF - FT = a +1 ，即得到ET = CE + CT = 5 ，最后根据勾股定理解答即可求解，正确作出 辅助线是解题的关键．
【详解】解：: 上ACB = 120。，AC = BC = 4 ， : 上ACF = 60° ,
:点G 为AF 的中点，
: AF = 2GF ，
过点A 作AH 丄 CF ，交CF 于H ，
过点G 作GT 丄 CF ，交CF 于T ，则 AH Ⅱ GT ，
:△AFH∽△GFT ，
∵ CF = 2BE ，
:可设BE = a ，CF = 2a ，
: FH = CF - CH = 2a - 2 ，CE = 4 - a ，
: CT = CF - FT = 2a - (a -1) = a +1， : ET = CE + CT = 4 - a + a + 1 = 5 ，
故答案为：2 ．
14 ．-4 ≤ x < 2 ，数轴见解析
【分析】本题考查了不等式组的解法， 首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就 是不等式组组的解集．
解不等式①得：x < 2
解不等式②得：x ≥ -4 解集在数轴上表示：
:不等式组的解集为：-4 ≤ x < 2
15 ． 当x = 0 时，原式
【分析】本题考查了分式的化简求值及分式有意义的条件，解题的关键是把握好通分与约分， 分式加减的本质是通分，分式乘除的本质是约分．熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题 的关键．先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再根据分式有意的条件，求出 x 的取值 范围，再在所给的值中取一个符合题意的值代入求值即可．
解
Qx +1 ≠ 0 且x - 3 ≠ 0 ， :x ≠ -1且x ≠ 3，
:x 只能取0 ，
当x = 0 时，原式
16 ．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图- 平移变换、旋转变换、三角形面积， 熟练掌握平移、旋转的性质是 解答本题的关键．
（1）将△ABC 三个顶点向右平移 4 个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）作出 A 、C 绕点B 顺时针旋转90° 后的对应点A2 、C2 ，顺次连接即可；
（3）过点 A 作BC 的平行线与网格线的交点即为所求的点 M．
【详解】（1）如图所示， △A1B1C1 即为所求；
（2）如图所示， △A2BC2 即为所求；
（3）如图所示，点M1 ，M2 即为所求；
17 ．(1)21 是“智慧数”，理由见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了新定义，平方差公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合“智慧数”的定义，且21 = 25 - 4 = 52 - 22 ，则 21 是“智慧数”．
（2）理解题意，得W = (2k + 2)2 - (2k)2 = 4 (2k +1) ，结合 k 取正整数，得2k + 1 是正整数， 即可作答．
【详解】（1）解：21 是“智慧数”，理由如下：
依题意，21 = 25 - 4 = 52 - 22 ， :21 是“智慧数”；
（2）解：依题意，设由这两个连续偶数所构造出的“智慧数”为W
则W = (2k + 2)2 - (2k)2 = (2k + 2 + 2k)(2k + 2 - 2k) = 2 (4k + 2) = 4 (2k +1) : k 取正整数
: 2k + 1 是正整数，
: W = 4 (2k +1) 是 4 的倍数．
18 ．(1)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，30 度角的性质，勾股定理．
（1）由平行四边形的性质可得ABⅡCD ，AB = CD ，再根据一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形即可求证；
（2）过D 作DG 丄 AB 于G ，由平行四边形的性质得到 AB = CD = 3 ，AD = BC = 2 ，根据
30 度角的性质得到AG = 1，根据勾股定理得到 DG = 、/3 ，设 DE = BE = x ，根据勾股定理求
出 ，即可求出平行四边形 DEBF 的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， : AB∥CD ，AB = CD ，
∵ AE = CF ， : BE = DF ，
:四边形DEBF 是平行四边形；
（2）解：如图所示，过D 作DG 丄 AB 于G ，
∵四边形ABCD 是平行四边形， : AB = CD = 3 ，AD = BC = 2 ， ∵ 上A = 60 ，
设DE = BE = x ， : GE = 2 - x ，
: (2 - x)2 + ( )2 = x2 ，
解得 ，
19 ．(1)一扎小雏菊和一扎玫瑰的价格分别是15 元，20 元；
(2)2 ，y = 2x - 6
(3)① 335 元②24 元
【分析】本题考查了分式方程的应用， 不等式组的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性
质内容是解题的关键．
（1）先设一扎小雏菊的价格是x 元，则一扎玫瑰的价格(x + 5) 元，结合甲公司现场购买小 雏菊花费 300 元，购买玫瑰花费 400 元，且两种鲜花扎数相等．列出分式方程，即可作答．
（2）认真分析图片的信息，得出a =(16 -10) ÷ (11- 8) = 2 ，理解，配送费y （元）与鲜花数 量x （扎）之间的关系，再列式化简，即可作答．
（3）①先得出13 ≤ m ≤ 15 ，再得出购花的费用 W = 5m + 270 ，根据一次函数的性质进行分 析，即可作答．
②分别算出当一次性配送的费用以及当分两次配送的费用，再进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：设一扎小雏菊的价格是x 元，则一扎玫瑰的价格(x + 5) 元，
依题意 解得x = 15 ，
经检验：x = 15 是原分式方程的解， :15 + 5 = 20 （元）
:一扎小雏菊和一扎玫瑰的价格分别是15 元，20 元；
（2）解：: 11扎玫瑰配送费为16 元，不超过8 扎的配送费为10 元， : a = (16 -10) ÷ (11- 8) = 2
则当鲜花数量超过 8 扎时，一次性配送，配送费y （元）与鲜花数量x （扎）之间的函数关 系式为y = 10 + 2 (x - 8) = 2x - 6
（3）解：①购买玫瑰鲜花m 扎，则小雏菊(18 - m) 扎，
ìm
依题意，得 í
lm
≥ 13
≤ 5(18 - m)
解得13 ≤ m ≤ 15
设购花的费用为W
则W = 20m +15 (18 - m) = 5m + 270 : 5 > 0
: W 随着m 的增大而增大 当m = 13 时，W 有最小值，
且W = 5 × 13 + 270 = 335
:此次购花的费用最少需要335 元．
②当一次性配送18 扎，则y = 2x - 6 = 2 × 18 - 6 = 30 ； 当分两次配送，第一次配送8 扎，所需配送费为10 元，
第二次配送10 扎，所需配送费为y = 2x - 6 = 2 × 10 - 6 = 14 元， 此时配送费为10 +14 = 24
: 30 > 24
:现公司需要配送服务，则此次配送费最少需要 24 元．
【分析】（1）利用正方形和旋转的性质证明即可；
（2 ）由旋转可得△ADF≌△CDB ，上BDF = 90° ,即得FD = BD ，FA = BC = n ， 上DAF = 上DCB ，进而由 上BAD + 上DAF = 180° 可得点B、A、F 三点共线，即得 FB = AB + FA = m + n ，再利用勾股定理得到 2BD2 = (m + n)2 ，即可求解；
（3 ）由（ 2 ）可得 BD = (AB + BC )，即得 AB + BC = 8 ，设 AB = x ，则 BC = 8 - x ，可 得S△ 由二次函数的性质得到当x = 4 ， △ABC 的 面积最大，最大值是8 ，再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出CD 即可．
【详解】（1）证明：四边形 AECF 是“直等补”四边形，理由如下：
Q 四边形ABCD 是正方形，
:上A = 上B = 上BCD = 上ADC = 90° , 由旋转性质，得：
: CF = CE ，上DCE = 上BCE ，
:上FCE = 上FCD + 上DCE = 上BCE + 上DCE = 上BCD = 90° , :ÐA +ÐFCE = 180° ,
: 四边形AFCE 是“直等补”四边形,
（2 ）由旋转可得， △ADF≌△CDB ，上BDF = 90° , : FD = BD ，FA = BC = n ，上DAF = 上DCB ，
: 上ABC + 上ADC = 180° ,
: 上BAD + 上DCB = 180° ,
: 上BAD + 上DAF = 180° , :点B、A、F 三点共线， : FB = AB + FA = m + n ， : BD2 + FD2 = FB2 ，
: 2BD2 = (m + n)2 ，
由 可得
: AB + BC = 8 ，
设AB = x ，则 BC = 8 - x ，
:当x = 4 ， △ABC 的面积最大，最大值是8 ， : x = 4 ，
: AB = 4 ，BC = 8 - 4 = 4 ，
: AD = CD ，上ADC = 90° ,
综上，当CD = 4 时， △ABC 的面积最大，最大值是8 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质补角性质，勾股定理， 二次函数的性质等，理解“直等补”四边形的定义是解题的关键．