2024-2025学年北京市东城区下学期八年级数学期末考试试卷

这是一份2024-2025学年北京市东城区下学期八年级数学期末考试试卷，共46页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
东城区 2024-2025 学年度第二学期期末统一检测
初二数学
考生须知
1 ．本试卷共 8 页，共三道大题，28 道小题，满分 100 分，考试时间 100 分钟.
2 ．在试卷上和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育 ID 号.
3 ．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4 ．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5 ．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，符合题意的 选项只有一个．
1 ．下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A ． ·、 B ． C ． D ．
2 ．下列计算正确的是( )
A ． B ．
C ． D ．
3 ．某排球队 6 名场上队员的身高（单位：cm ）是：180 ，184 ，188 ，190 ，192 ，196 ．现用 一名身高为189cm 的队员换下场上身高为196cm 的队员，与换人前相比，场上队员的身高 ( )
A ．平均数变小，方差变小 B ．平均数变小，方差变大
C ．平均数变大，方差变小 D ．平均数变大，方差变大
4 ．在 △ABC 中，上A，上B，上C 的对边分别为a，b，c ，下列条件中不能判定△ABC 为直角 三角形的是( )
A ．上A +上B = 上C B ．上A : 上B : 上C = 3 : 4 : 5
C ．(a + b)(a - b) = c2 D ．
5 ．如图，在 △ABC 中，上A = 50° , AB = AC ，点D 在AB 边上，以BC ，BD 为边作平行四 边形CBDE ，则 Ð E 的度数为( )
A ．50° B ．60° C ．65° D ．70°
6 ．一次函数y ＝3x＋b（b≥0）的图象一定不经过( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
7 ．以下四种情景分别描述了两个变量之间的关系：
①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系．
②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系．
③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系．
④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距 离与时间的关系．
下面四个图象分别刻画了以上变量之间的关系，图象对应的情景的正确排序是( )
A ．①②③④ B ．①④③② C ．①②④③ D ．②④③①
8 ．如图，直线y= -x + 4 交坐标轴于 D，E 两点，等边三角形OBC 的边OB 在 x 轴上，且点 B 为线段OD 的中点，若将△OBC 沿y 轴竖直向上平移，当点 C 落在直线DE 上时，点 C 平 移的距离为( )
A ． B ． C ． D ．
9 ．如图，在。ABCD 中，BD = 2CD ，BC = 15 ，F 为AD 的中点，E 为OC 的中点，则EF
的值为( )
A ．7.5 B ．8 C ．8.5 D ．9
10 ．□ABCD 中EF 经过两条对角线的交点 O，分别交AB 、CD 于点 E、F，在对角线AC 上 通过作图得到点 M、N，如图 1，图 2，图 3，下面关于以点 F、M、E、N 为顶点的四边形 的形状说法正确的是( )
A ．都为矩形
B ．都为菱形
C ．图 1 为平行四边形，图 2、图 3 为矩形
D ．图 1 为矩形，图 2、图 3 为平行四边形
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
11 ．已知一条直线经过坐标原点和点A(x1, y1 ), B (x2, y2 ) ，当x1 < x2 时，有y1 > y2 ，则这条直 线的解析式可以是 （写出一个即可）．
12 ．若式子 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．
13．如图，从一个大正方形中裁去面积为 12 和 27 的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积
以点 O 为圆心，OE 的长
为半径作弧，交AC 于点
M、N
分别作 △AOE 、△COF 中OA 、 OC 边上的中线EM 、FN
分别作 △AOE 、 △COF 中
上AEO 、上CFO 的平分线EM 、
FN
为 ．
14 ．如图，在数轴上找出表示 3 的点 A，过点 A 作直线l 丄 OA ，在 l 上取点 B，使 AB = 2 ， 以点 O 为圆心，OB 为半径作弧，弧与数轴交点为 C，则点 C 表示的数是 ．
15．学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按 百分制计，然后再按控球技能占60% ，投球技能占40% 计算选手的综合成绩（百分制）．选 手李林控球技能得85 分，投球技能得90 分，则李林的综合成绩为 分．
16 ．《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺， 问折者高几何？”问题的大意是：“有一根竹子，原高 1 丈（1 丈= 10 尺），现被风折断，竹 梢触地面处与竹根的距离为 3 尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点
A，B，C 分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC 为x 尺，则可列方程 为 ．
17 ．下图是一次函数y1 = kx + b 与y2 = x + a 的图象，则下列结论：① k < 0 ；② a > 0 ；③方 程kx + b= x + a 的解是x = 3 ；④不等式(k -1)x > a - b 的解集是x > 3 中，结论正确的序号 是 ．
18．如图，矩形ABCD 中，已知AB = 4，AD = 2，AE = BE ，点 F 是EC 上一动点，点 P 是DF 的中点，连接PB ，则 PB 的最小值为 ．
三、解答题（本题共 54 分，第 19 题 6 分，第 20 题 4 分，第 21-26 题每小题 5 分，第 27-28 题每小题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19 ．计算：
(2) ( + 2)( - 2)+ ( - 2)2 ．
20 ．如图在6× 6 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，请按照要求画格点图形．
图
1
图 2
(1)在图 1 中画出一个平行四边形ABCD ，且平行四边形的面积为 5；
(2)在图 2 中画一个以AB 为中位线的格点三角形．
21 ．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点 E、F 分别在边BC 、AD 上，且BE = DF ，连 接AC 、EF 、AE 、CF ，AC 与EF 相交于点P，求证：PA = PC ．
22 ．已知一次函数的图象经过点(5,1) 和(0, -4) ．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)平移该函数图象，使它经过点(-3, 2)，求出平移后的一次函数的解析式，并写出一种平
移方法．
23 ．小泉发现很多斜挎包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成， 如图 1 ．通过调节扣 加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节 扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．单层部分的长度x (cm) 与双层部分的长度y(cm) 满足 函数关系，小泉通过测量，得到如下 6 组数据：
(1)请在图 2 的平面直角坐标系中，描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型， 求出相应的函数解析式，并画出这个函数的图象；
(2)根据小泉的身高和习惯，当挎带的长度为115cm 时，背起来正合适，求此时双层部分的 长度．
24 ．2025 年是中国共产党建党 104 周年，在 7 月 1 日党的生日来临之际，某校七年级和八 年级开展党史知识竞赛．现从两个年级中各随机抽查 10 名学生的竞赛成绩，统计如下（满 分 100 分）：
七年级：72 ，80 ，80 ，82 ，82 ，84 ，87 ，88 ，90 ，95；
单层部分的长度x / cm
20
30
40
50
60
70
双层部分的长度y / cm
55
50
45
40
35
30
八年级：76 ，78 ，79 ，82 ，85 ，85 ，85 ，88 ，90 ，92．
老师现将两个年级的成绩整理成下表，并将 85 分及以上（含 85 分）的成绩评定为优秀，请 根据统计数据回答以下问题：
(1) a = ___________ ；b = ___________；
(2)八年级随后又补查了 3 名同学的成绩，与之前的数据合并后，发现中位数没变，那么这 3 名同学中至少有___________名同学达到优秀；
(3)如果七年级有 700 名学生参加了此次竞赛，请你估计优秀的学生的人数．
25 ．如图，点 D 为Rt△ABC 的斜边AB 的中点，连接CD ，过点 C 作CE Ⅱ AB ，连接 BE、DE ，DE 交BC 于点 O ，BE Ⅱ CD ．
(1)求证：四边形BDCE 为菱形；
(2)若上A = 60° , AC = 4 ，点 M、N 分别为线段OB、CD 的中点，连接MN，求线段MN的 长．
26 ．在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y = kx (k ≠ 0) 的图象与一次函数y= -x + 3 的图 象交于点P(a，b)．
(1)若a = -2 ，求这个正比例函数的解析式；
(2)当x ≥ -2 时，对于x 的每一个值，正比例函数y = kx (k ≠ 0) 的值小于一次函数y = -x + 3 的
值，直接写出k 的取值范围．
27 ．在正方形ABCD 中，E 为平面上一点(不与点A，C 重合)，且 BE = AB ，连接 AE ，
统计量
七年级组
八年级组
平均数
84
84
中位数
a
85
众数
80 ，82
b
BE，CE ．
(1)若E 为正方形内一点，
①在图 1 中依题意补全图形，并求 Ð AEC 的度数；
@射线AE 交CD 于点M ，点N 在BC 边上，CN = CM ，连接EN ，写出EM，EN ，EC 之 间的数量关系，并证明．
(2)如图 2，当 E 为正方形外一点时，上CBE 的平分线交射线AE 于点F ，交CE 于点G ，若 AE = 8，EF = 2 ，直接写出 AB 的长．
28 ．已知点M 为图形W1 上一点，点N 为图形W2 上一点( M，N 不重合)，若一点P 能使得点 M 为线段NP 的中点，则称点P 为图形W2 关于图形W1 的“二倍点” ．若图形W 上每一点都是 图形W2 关于图形W1 的“二倍点”，且图形W2 关于图形W1 的“二倍点”都在图形W 上，则图形W 为图形W2 关于图形W1 的“二倍图” ．在平面直角坐标系中，点
A (1,0)，B (0, 2)，C (2, -1)，D (3,3)．
(1)在点E(3,0)，F (1, 2)，G 中，点___________是点O 关于线段AB 的“二倍点”；
(2)若图形W 为线段AB 关于线段CD 的“二倍图”，则图形W的面积为___________；
(3)点T(t，0) 是x 轴上一动点，正方形A1A2 A3A4 的各顶点坐标为A1 (t -1,1)，
A2 (t -1, -1)，A3 (t + 1, -1)，A4 (t + 1,1)，线段 AB 上任一点都为正方形A1A2 A3A4 关于正方形 A1A2 A3A4 的“二倍点”，直接写出 t 的取值范围．
1 ．D
【分析】本题考查最简二次根式，掌握知识点是解题的关键．
根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开 方数不含分母．逐一验证各选项即可．
【详解】解：选项 A： = 2 ．故不是最简二次根式．
选项 故不是最简二次根式．
选项 故不是最简二次根式．
选项 ．被开方数14 = 2 × 7 ，无完全平方因数且不含分母，符合最简二次根式的条件． 故选 D．
2 ．B
【分析】本题考查了二次根式的运算等知识点，根据二次根式的除法法则对 A 选项进行判 断；根据二次根式的乘法法则对 B 选项进行判断；根据二次根式的加法法则对 C 选项进行 判断，根据二次根式的减法法则对 D 选项进行判断即可，熟练掌握二次根式加减乘除法则 进行运算是解决问题的关键．
2 ，所以 A 选项不符合题意；
B ．2 × = 2 = 2 × 3 = 6 ，所以 B 选项符合题意；
C ． 所以 C 选项不符合题意；
D ．2 和 不是同类项，不能进行减法运算，所以 D 选项不符合题意； 故选：B．
3 ．A
【分析】本题考查了平均数与方差的意义，根据平均数和方差的意义即可得出答案． 比较换人前后的平均数和方差变化，需分别计算两者的数值。
【详解】解：∵换上的队员身高小于下场队员的身高， :平均数变小；
∵数据变的更集中， :方差变小；
故选：A．
4 ．B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理， 平方差公式，掌握知识点 是解题的关键．
根据三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，逐一分析各选项是否满足直角三角形的条件． 【详解】解：A ． 由上A +上B = 上C ，结合三角形内角和为180° ,得 2上C = 180° ,故
上C = 90° , △ABC 为直角三角形，排除 A．
B ． 上A : 上B : 上C = 3 : 4 : 5 ，总份数为 3 + 4 + 5 = 12 ，对应角度分别为 最大角为75° ,非直角，故不能判定为直角三角形．
C ． 展开(a + b)(a - b) = c2 得a2 - b2 = c2 ，即 a2 = b2 + c2 ，满足勾股定理的逆定理， △ABC 为直角三角形，排除 C．
D ． 设 验证a2 + b2 = k2 + 2 = 10k2 , c2 = 10k2 即a2 + b2 = c2 ， 满足勾股定理的逆定理， △ABC 为直角三角形，排除 D．
故选 B．
5 ．C
【分析】本题主要考查了等边对等角， 三角形内角和定理，平行四边形的性质，由等边对等 角和三角形内角和定理可得上B = 65° ,由平行四边形对边平行结合平行线的性质可得
∠E = ∠ADE = ∠B = 65° .
【详解】解：∵在△ABC 中，上A = 50° , AB = AC ，
∵四边形CBDE 是平行四边形， : BD∥CE，BC∥DE ，
:∠E = ∠ADE = ∠B = 65° , 故选：C．
6 ．D
【分析】根据一次函数的性质可得其经过的象限，进而可得答案． 【详解】解：一次函数y = 3x + b(b ≥ 0) ，
∵ k = 3＞0
:图象一定经过一、三象限，
:当b＞0 时，函数图象一定经过一、二、三象限， 当b = 0 时，函数图象经过一、三象限，
:函数图象一定不经过第四象限，故 D 正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，属于基础题型，熟练掌握一次函数的性质是解题 关键．
7 ．C
【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，充分理解两个量之间的关系是解题关键 先理解图象的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图象
【详解】解：根据题意可得，与图象的顺序相对应的情景分别是：
第一幅图：因变量随着自变量的增大而减小，直至为零，符合①将水箱中的水匀速放出， 直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系；
第二幅图：因变量随着自变量的增大而增大，且起始值大于零，符合②在受力范围内，弹 簧的长度与弹簧受到的拉力的关系；
第三幅图：因变量随着自变量的增大，先由 0 开始增大，再保持不变，最后减小到 0，且起 始值大于零，符合④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返 回，小亮离家的距离与时间的关系；
第四幅图：因变量随着自变量的增大而增大，且起始值为零，符合③汽车以某一固定的速 度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系；
正确的排序是：①②④③
故选：C．
8 ．C
【分析】过点 C 作CM 丄 OD 于点 M，延长MC 交DE 于点 N，先根据题意求出 OM 的长， 再求出CM , MN 的长即可求出答案．
【详解】解：如图，过点 C 作CM 丄 OD 于点 M，延长MC 交DE 于点 N，
令y=0 ，则 -x + 4 = 0 ， 解得x=4 ，
:点 D 的坐标为(4，0) ，
∵点 B 为线段OD 的中点， : OB=2 ，
Q△OBC 是等边三角形，
:上COM =60°, OC=BC ， 又∵ CM 丄 OD ，
: CM = OM = ，
将x=1代入y = -x + 4 ， 得y = -1+ 4 = 3 ，
即MN = 3，
: CN = MN - CM = 3 - ， 即点 C 平移的距离为3 - ． 故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、坐标与图形变化 -平 移，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等边三角形的性质和平移的性 质解答．
9 ．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质， 熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
连接DE ，根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分可得 BD = 2OB = 2OD ，
AD = BC = 15 ，推得OD = CD ，根据等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合，可得 DE 丄 OC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：连接DE ，如图：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
: BD = 2OB = 2OD ，AD = BC = 15 ， ∵ BD = 2CD ，
: OD = CD ，
∵ E 为OC 的中点， : DE 丄 OC ，
在Rt△ADE 中，F 为AD 的中点，
故选：A．
10 ．D
【分析】本题考查了几何作图， 平行四边形的判定与性质，矩形的判定，熟练掌握相关知识 是解题的关键．根据平行四边形的性质易证 △EAO≌△FCO ，可得OE = OF ，由图 1 作图可 知OE = OF = OM = ON ，即可得证图 1 以点 F，M，E，N 为顶点的四边形为矩形；在图 2 中证OM = ON ，即可得证图 2 以点 F，M，E，N 为顶点的四边形为平行四边形；在图 3 中 证明 △FON≌△EOM ，可得 OM = ON ，即可得证图 3 以点 F，M，E，N 为顶点的四边形为
平行四边形．
【详解】解：在平行四边形 ABCD 中，ABⅡDC ，OA = OC ， :上EAO = 上FCO ，上AEO = 上CFO ，
在 △EAO 和 △FCO 中，
:△EAO≌△FCO(AAS) ，
: OE = OF ，
由图 1 作图可得OE = OF = OM = ON ，
: 以点 F，M，E，N 为顶点的四边形为平行四边形，且EF = MN ，
: 图 1 以点 F，M，E，N 为顶点的四边形为矩形；
由图 2 作图可得OM = AM = OA ，ON = NC = OC ， QOA = OC ，
: OM = ON ，
又Q OE = OF ，
:图 2 以点 F，M，E，N 为顶点的四边形为平行四边形；
由图 3 作图可得上AEM = 上OEM = 上AEF ，上CFN = 上NFO = 上CFE ， Q 上CFO = 上AEO ，
:上OEM = 上NFO ，
在 △FON 和 △EOM 中，
ï
ì上MOE = 上NOF
íOE = OF ， ïl上OEM = 上OFN
:△FON≌△EOM (ASA) ，
: OM = ON ， 又Q OE = OF ，
: 图 3 以点 F，M，E，N 为顶点的四边形为平行四边形． 故选 D．
11 ．y = -x （答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关
键．设这条直线的解析式是y = kx + b (k ≠ 0) ，先根据这条直线经过坐标原点可得b = 0 ，再 根据一次函数的增减性可得k < 0 ，由此即可得．
【详解】解：设这条直线的解析式是 y = kx + b (k ≠ 0) ，
:这条直线经过坐标原点， : b = 0 ，
又:这条直线经过点A(x1, y1 ), B (x2, y2 )，且当x1 < x2 时，有y1 > y2 ， : k < 0 ，
:这条直线的解析式可以是y = -x ，
故答案为：y = -x （答案不唯一）．
12 ．x > 1
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”、分式有意义的 条件“分式的分母不等于0”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的和分式的分母不等于 0 是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的、分式的分母不等于 0 求解即可得．
【详解】解：若式子 在实数范围内有意义，
则x -1 > 0 ， 解得x > 1 ，
故答案为：x > 1 ．
13 ．36
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的性质．
直接利用二次根式的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答 案．
【详解】解：∵两个小正方形面积为 12 和 27，
:大正方形边长为 :大正方形面积为 ，
:留下的阴影部分面积和为：75 - 27 -12 = 36
故答案为：36．
14 ．
【分析】根据数轴上的点及勾股定理求解即可．
【详解】解：在直角三角形ABO 中
:点 C 所表示的数为- ·、 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了数轴上点的含义、勾股定理解直角三角形等知识点， 求出OB 的长 度是解题关键．
15 ．87
【分析】本题考查了加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键． 根据题意，运用加权平均数的计算方法计算即可．
【详解】解： 控球技能占60% ，投球技能占40% 计算选手的综合成绩，李林控球技能得85 分，投球技能得90 分，
:85× 60% + 90 × 40% = 51+ 36 = 87 （分），
:李林的综合成绩为87 分， 故答案为：87 ．
16 ．32 + x2 = (10 - x)2
【分析】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题关 键．先求出AC 的长，再在Rt△ABC 中，利用勾股定理建立方程即可得．
【详解】解：由题意得：AC = 10 - BC = (10 - x)尺， AB = 3 尺，BC 丄 AB ， 在Rt△ABC 中，由勾股定理得：AB2 + BC2 = AC2 ，即32 + x2 = (10 - x)2 ， 故答案为：32 + x2 = (10 - x)2 ．
17 ．①③
【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数的关系，一次函数与坐标轴的交点问题，一 次函数与不等式之间的关系，一次函数与一元一次方程之间的关系，根据函数经过的象限可 判断①；根据函数与 y 轴交点的位置可判断②；根据两函数的交点的横坐标可判断③④ .
【详解】解；:一次函数y1 = kx + b 的图象经过第一、二、四象限， : k < 0 ，故①正确；
:一次函数y2 = x + a 的图象与y 轴交于负半轴， : a < 0 ，故②错误；
:一次函数y1 = kx + b 与y2 = x + a 的交点横坐标为 3， :方程kx + b= x + a 的解是x =3 ，故③正确；
:不等式kx + b > x + a 的解集为x < 3 ，
:不等式(k -1)x > a - b 的解集为x < 3 ，故④错误， :正确的有①③ ,
故答案为：①③.
18 ．2
【分析】根据中位线定理可得出点 P 的运动轨迹是线段P1P2 ，再根据垂线段最短可得当
BP 丄 P1P2 时，PB 取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1 丄 P1P2 ，故BP 的最
小值为BP1 的长，由勾股定理求解即可．
【详解】解：如图：
当点 F 与点 C 重合时，点 P 在P1 处，CP1 = DP1 ，
当点 F 与点 E 重合时，点 P 在P2 处，EP2 = DP2 ，
ⅡCE 且 ．
当点 F 在EC 上除点 C、E 处的位置时，有DP = FP ．
由中位线定理可知：P1PⅡCE 且 ． :点 P 的运动轨迹是线段P1P2 ，
:当BP 丄 P1P2 时，PB 取得最小值．
:矩形ABCD 中，AB = 4，AD = 2 ，E 为AB 的中点， : △CBE、△ADE、△BCP1 为等腰直角三角形，CP1 = 2 ． :上ADE = 上CDE = 上CP1B = 45°, 上DEC = 90° .
:上DP2P1 = 90° .
:上DP1P2 = 45° .
:上P2P1B = 90° ,即 BP1 丄 P1P2 ，
: BP 的最小值为BP1 的长．
在等腰直角BCP1 中，CP1 = BC = 2 ，
: PB 的最小值是2 ．
故答案是：2 ．
【点睛】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题， 有难度．
19 ．
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握如何化简二次根式、平 方差公式和完全平方公式．
（1）先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 解：原式
原式
20 ．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要几何图形的变换， 理解题意，根据图形的面积公式及三角形中位线的定义 即可求解，解题的关键就是对图形性质的理解．
（1）根据平行四边形的面积为 5，可先构造一个底为 5，高为 1 的三角形ABC ，进而可作 出平行四边形ABCD ．
（2）先以 A 为中点构造DE 边，连接DB 并延长，即可找到 F 点，连接EF 即可． 【详解】（1）
如图， S△
Y △ABCDABC ，
:S = 2S = 5
:YABCD 即为所求；
（2）
如图，A 点为DE 的中点，B 点为DF 的中点，
: AB 是 △DEF 的中位线， : △DEF 即为所求．
21 ．证明过程见详解
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键， 平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应 用时应注意它们的区别与联系．
根据DF = EB 可得AF = CE 且平行，证明四边形AECF 是平行四边形，再根据平行四边形 的性质:对角线互相平分得到AC 与EF 互相平分即可得结论．
【详解】证明: Q 四边形ABCD 是平行四边形， : AD = CB ，AD∥CB ，
Q BE = DF ，
: AD - DF = BC - EB ，
: AF = CE ，
Q AD Ⅱ BC ，
: 四边形AECF 是平行四边形，
:PA = PC ．
22 ．(1) y = x - 4
(2) y = x + 5 ；向上平移9 个单位（或其他合理平移，如先右移再上移等，只要最终得到y = x + 5 即可 ）
【分析】此题主要是考查了利用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的平移，能够熟 练掌握待定系数法是解答此题的关键．
（1）设一次函数的解析式为y = kx + b ，把点(5,1) 和(0, -4) 代入解析式求得k 与b 的值即可；
（2）设平移后的直线表达式为y = x + m ．把(-3, 2) 代入y = x + m 求出 m 的值，对比原解析 式y = x - 4 与平移后y= x + 5 ，通过纵坐标变化确定平移方向和距离，如向上平移 9 个单位 （或其他合理组合平移 ）．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为y = kx + b ， Q 一次函数的图象经过点(5,1) 和(0, -4) ，
解得
:一次函数的解析式为y = x - 4 ．
（2）设平移后的直线表达式为y = x + m ． 把(-3, 2) 代入y = x + m 得到，2 = -3+ m ， 解得m = 5 ，y = x + 5
:平移后的直线表达式为y = x + 5 ．
平移方法：原函数y = x - 4 ，要得到 y= x + 5 ，需向上平移 9 个单位（或其他合理平移，如 先右移再上移等，只要最终得到y = x + 5 ）．
23 ．(1) y = -0.5x + 65(0 ≤ x ≤ 130) ；图象见详解
(2)双层部分的长度为15cm
【分析】本题主要考查了一次函数的应用．画一次函数，求一次函数解析式等．
（1）描点并根据这些点的分布情况判断 y 与 x 之间的函数关系类型，根据待定系数法求其 解析式并画出图象即可；
（2）根据得x + y = 115 求出 x 的值，从而求出y 的值即可． 【详解】（1）解：描点如下：
∵这些点分布在同一条直线上， :y 是 x 的一次函数，
设y 与 x 的函数解析式为y = kx + b (k、b 为常数，且k ≠ 0 )， 将坐标(30, 50) 和(50, 40) 分别代入y = kx + b ，
得： 解得： 则y = -0.5x + 65 ，
当x = 0 时，y = 65 ，当 y = 0 时，得-0.5x + 65 = 0 时，解得x = 130 ，
:y 与 x 的函数解析式为y = -0.5x + 65(0 ≤ x ≤ 130) ，其图象如上图所示．
（2）解：根据题意，x + y = 115 ， 即x - 0.5x + 65 = 115 ，
解得：x = 100 ，
当x = 100 时，得100 + y = 115 ， 解得：y = 15 ，
:此时双层部分的长度为15cm ．
24 ．(1)83 ，85
(2)1
(3)估计优秀的学生的人数为280 人
【分析】本题考查求中位数和众数，利用样本估计总体，熟练掌握中位数和众数的确定方法， 是解题的关键：
（1）根据中位数和众数的确定方法进行求解即可；
（2）根据中位数的确定方法，进行判断即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】（1）解：七年级的数据排序后第 5 个和第 6 个数据分别为：82,84 ，
八年级数据中出现次数最多的是：85， : b = 85 ；
（2）补录三位同学，数据变为 13 个，其中中位数为排序后的第 7 个数据，且为 85， 又:原来的第 5 到第 7 个数均为 85，
:补录的三位同学的成绩至少有 1 个数据大于等于 85， 即：这 3 名同学中至少有 1 名同学达到优秀；
（3）
答：估计优秀的学生的人数为280 人．
25 ．(1)见解析
【分析】本题主要考查了菱形的判定、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等 知识点，掌握菱形的性质成为解题的关键．
（1）先证明四边形 BDCE 为平行四边形，再证明CD = BD 即可证明结论；
（2）根据直角三角形的性质可得 再根据菱形的性质可得 △BED 为等边三角形，进而求得 、 如图：过 N 作 NF 丄 OC ,再求得NF = 1 、 ，最后运用勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：: CE Ⅱ AB ，BE Ⅱ CD ， :四边形BDCE 为平行四边形，
:点 D 为Rt△ABC 的斜边AB 的中点，连接CD ，
:四边形BDCE 为菱形．
（2）解：:点 D 为Rt△ABC 的斜边AB 的中点，连接CD ，
:在Rt△ABC 中，上A = 60° , AC = 4 ， : 上DBC = 30° ,
: AB = 2AC = 8 ，即 :四边形BDCE 为菱形，
: BD = BE = CD = 4, ED 丄 BC , 上DBE = 2上DBC = 60° , OD = OE , : △BED 为等边三角形，上DCB = 上DBC = 30° ,
: DE = BD = 4 , 即OD = OE = 2 ,
:点 M、N 分别为线段OB、CD 的中点，
如图：过 N 作NF 丄 OC ,
: 上DCB = 30° ,
、 ， : OF = OC - CF = 、/3 ，
: MF = MO + OF = 2 ，
【分析】本题考查一次函数和正比例函数的综合问题，运用数形结合思想是解题的关键．
（1）将 a = -2 代入一次函数解析式求出b，再将点 P 代入一次函数解析式求出 k 的值即可 得解；
（2）求出根据点 P 的坐标结合图象求解即可．
【详解】（1）解：当 a = -2 时，b = - (-2) + 3 = 5 ， ∴ P (-2，5)，
将点P(-2，5) 代入y = kx (k ≠ 0) 得：5 = -2k ， 解得：
∴这个正比例函数的解析式是： ；
（2）由题意可知：正比例函数y = kx (k ≠ 0) 图象介于如下两根虚线之间(含平行的虚线，不 含过点 P 的虚线)，
27 ．(1)① 上AEC = 135° ; ② EN + EM = CE ，理由见解析
(2) AB = 2
【分析】（1）①先画出图形，利用等边对等角得到
上上 ，两式子相加，结合 上CBE + 上ABE = 90° 即可 得解；
②作出图形，并将△CME 绕着点 C 逆时针旋转 90°,则 上MEC = NPC ，证明
上NPC = 上EPC = 45° ,得到点 E、N、P 三点共线，再利用△CPE 是等腰直角三角形即可得 解．
（2）过点 B 作BQ 丄 AE 于点 Q，则 AQ = EQ = AE = 4 ，EQ = EQ - EF = 2 ，三线合一得 到 BG 丄 CE ，与（1） ①同理可得 上AEC = 45° 得到上BFQ = 上EFG = 上AEC = 45° = 上FBQ ， 继而求出BQ，最后用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：①依题意画图如下：
则AB = BC = BE ，上ABC = 90° ,
180° - 上CBE 180° - 上ABE
: 上AEC = 上BEC + 上BEA = +
2 2
② EN + EM = CE ，理由如下：
作出图形图下，并将△CME 绕着点 C 逆时针旋转 90° , 连接MN 、EP ，由 CM = CN 可知点 M 旋转到点 N 处， 则上MEC = 上NPC ，
: 上EPC = 45° ,
由①可知：上AEC = 135° ,则 上MEC = 180° - 上AEC = 45° ,
: 上NPC = 上EPC = 45° , :点 E、N、P 三点共线， : CE = CP, 上PCE = 90° , : EP = CE ，
: EN + EM = EN + NP = EP = CE ．
（2）AB = 2 ，理由如下：
过点 B 作BQ 丄 AE 于点 Q，
同理：AB = BC = BE ，上ABC = 90° ,
180° - 上CBE 180° - 上ABE
: 上AEC = 上BEC - 上BEA = -
2 2
又: AB = BE ，
:FQ = EQ - EF = 2 ，
: BC = BE ，上CBE 的平分线交射线AE 于点F ， : BG 丄 CE ，
又:上AEC = 45° ,
: 上BFQ = 上EFG = 上AEC = 45° = 上FBQ ， :BQ = FQ = 2 ，
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质， 勾股定理，正方形的性质和全等三角形的综合 问题等知识，难度较大，正确作出辅助线是解题的关键．
28 ．(1)F
(2)12
【分析】（1）先求出直线AB 的解析式为y= -2x + 2 ，根据题意可知：若点 P 是点O 关于线
段AB 的“二倍点” ， 则OP 的中点在线段AB 上，再分别验证 OE ，OF、OG 的中点是否在线 段 AB 上即可；
（2）根据题意推导图形W 是一个平行四边形，分别求出四个顶点的坐标，再用割补法求面 积即可；
（3）根据题意可知正方形 A1A2 A3A4 关于正方形A1A2 A3A4 的“二倍图”如途中阴影部分所示，
它是由一个与正方形A1A2 A3A4 共对角线的交点即点 T且边长为6 且各边都与坐标轴垂直或平
行的正方形去除正方形A1A2 A3A4 的内部所得到的．分别求出四个临界情况时 t 的值，从而得 解．
【详解】（1）解：设直线 AB 的解析式是：y = kx + b ， 将点 A ，B 的坐标代入解析式得：
解得 ，
:直线AB 的解析式是：y = -2x + 2 ，
由题意可知：若点 P 是点O 关于线段AB 的“二倍点则OP 的中点在线段AB 上， 对于点E(3，0) ，OE 的中点是：点 ，
当 时，y = -2x + 2 = -1≠ 0 ，
:点不在线段AB 上，即点E(3，0) 不是点O 关于线段AB 的“二倍点”；
同理：OF 的中点 在线段AB 上，即点F(1, 2) 是点O 关于线段AB 的“二倍点”；
OG 的中点不在线段AB 上，即点不是点O 关于线段AB 的“二倍点”；
故答案为：F；
（2）解：由题意可知：如下图所示：点关于线段的“二倍图”，就是以这条线段为中位线的 第三边，下图中点 O 关于线段AB 的“二倍图”即为CD ，此时 AB 是三角形OCD 的中位线，
由中位线定理可知 ，即当 AB 长度不变时，CD 的长度不变，
:线段关于线段的“二倍图”就是线段平移产生的图形，这个图形是线段或者平行四边形， 如下图所示，图形W 为线段AB 关于线段CD 的“二倍图”是平行四边形EFHG ，
其中点 A 关于线段CD 的“二倍图”是EG ，点 B 关于线段CD 的“二倍图”是FH ， 则 C 是AG 的中点，设点 G 为(x，y )，
又: A(1，0)，C (2，-1)，
解得：x = 3, y = -2 ，即G(3, -2)，
同理可得：E (5, 6) ，F (6, 4) ，H (4, -4) ，
:阴影部分面积等于长方形面积减去四个直角三角形的面积， 即图形W 的面积为
故答案为：12；
或2 ≤ t ≤ 3 ，理由如下：
如下图所示：正方形A1A2 A3A4 的边长为 2．
正方形A1A2 A3A4 关于正方形A1A2 A3A4 的“二倍图”如途中阴影部分所示，它是由一个与正方形
A1A2 A3A4 共对角线的交点即点 T且边长为6 且各边都与坐标轴垂直或平行的正方形去除正方
形A1A2 A3A4 的内部所得到的．
所以点 T 到阴影部分的外边界与 x 轴的交点的距离是 3，到阴影部分的内边界与 x 轴的交点 的距离是 1，
要使得线段AB 上任一点都为正方形A1A2 A3A4 关于正方形A1A2 A3A4 的“二倍点”，只需阴影部 分包括线段AB 即可．
①如图，当外边界与 x 轴的右交点是点A 时， AT = 3，
所以t = 1- 3 = -2 ，
②如图，当点A4 与在线段AB 上时，
将点A4 ，代入直线 AB 的解析式得：1 = -2(t +1) + 2 ， 解得： ，
③如图，当内边界与 x 轴的左交点是点A 时， AT = 1， 所以t = 1+1 = 2 ，
④如图，当点 B 与在阴影部分的左边界线上时，OT = t = 3
结合以上四种情况可知：t 的取值范围是：-2 ≤ t ≤ - 或2 ≤ t ≤ 3．
【点睛】本题考查中位线定理， 中点坐标公式，正方形的性质，割补法求面积，待定系数法， 平行四边形的判定等知识，审清题意找出“二倍图”是解题的关键．