2025山东省临沂市、枣庄市、聊城市、菏泽市、济宁市中考数学试卷【含答案】

这是一份2025山东省临沂市、枣庄市、聊城市、菏泽市、济宁市中考数学试卷【含答案】，文件包含八年级英语期中模拟卷陕西专用全解全析docx、八年级英语期中模拟卷陕西专用考试版A4docx、八年级英语期中模拟卷陕西专用答题卡docx、八年级英语期中模拟卷陕西专用听力音频mp3等4份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次．数据“9亿”用科学记数法表示为（ ）
A．9×107B．0.9×108C．9×108D．0.9×109
5．（3分）已知a≠0，则下列运算正确的是（ ）
A．﹣2a+3a＝5aB．（﹣2a3）2＝4a6
C．a2﹣a＝aD．a6÷a2＝a3
6．（3分）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形．若函数y（x＞0）的图象经过点B，则满足y≥2的x的取值范围为（ ）
A．0＜x≤2B．x≥2C．0＜x≤4D．x≥4
10．（3分）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．当x≥1000时，y随x的增大而减小
B．当x＝2000时，y有最大值
C．当y≥0.6时，x≥1000
D．当y＝0.4时，x＝600
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）写出使分式有意义的x的一个值 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（3，4）向下平移2个单位长度，得到的对应点P′的坐标是 ．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
14．（3分）取直线y＝﹣x上一点A（x1，y1），①过点A1作x轴的垂线，交y于点A（x2，y2）；②过点A2作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A3（x3，y3）；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点A1的坐标为（1，﹣1），则点A2025的坐标是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAOB，则线段PQ的最小值是 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．（8分）（1）计算：||π0；
（2）先化简，再求值：（x2﹣1）（1），其中x＝2．
17．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，如图1．
（1）求∠ADC的度数；
（2）已知AB＝3，分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，交AD的延长线于点F．如图2，求DF的长．
18．（8分）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．
（1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式；
（2）已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2万千瓦时？
19．（10分）在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的pH值进行了整理、描述及分析．
【收集数据】
甲基地水体的pH值数据：
7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26．
乙基地水体的pH值数据：
7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21．
【整理数据】
【描述数据】
【分析数据】
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）填空：b＝ ，c＝ ；
（3）请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由；
（4）已知两基地对水体pH值的日变化量（pH值最大值与最小值的差）要求为0.5～1，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求．
20．（10分）如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C，AD⊥OB于点D．AC是∠BAD的平分线．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠AOB＝45°，求CB的长．
21．（9分）【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1．
【问题提出】
部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）．
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，⊙O分别与AC，AD相切于点B，D．用游标卡尺测量出CC′的长度y．
【问题解决】
已知∠CAD＝∠C′A′D′＝60°，l的长度要求是1.9cm∼2.1cm．
（1）求∠BAO的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y＝7.52cm．根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求．（参考数据：1.73）
【结果反思】
（3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．
22．（11分）已知二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b），其中a，b为两个不相等的实数．
（1）当a＝0、b＝3时，求此函数图象的对称轴；
（2）当b＝2a时，若该函数在0≤x≤1时，y随x的增大而减小；在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）若点A（a，y1），B（，y2），C（b，y3）均在该函数的图象上，是否存在常数m，使得y1+my2+y3＝0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
23．（11分）【图形感知】
如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝∠ABC＝∠BDC＝90°，AD＝2，AB＝4．
（1）求CD的长；
【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．
在线段CD上取一点E，连接BE．将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A′BED′，其中A′，D′分别是A，D的对应点．
（2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点D′恰好落在边BC上，延长A′D′交CD于点F，如图2．判断四边形DBA′F的形状，并说明理由；
②乙：点A′恰好落在边BC上，如图3．求DE的长；
（3）如图4，连接DD′交BE于点P，连接CP．当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．
2025年山东省临沂市、枣庄市、聊城市、菏泽市、济宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
【解答】解：数轴上表示﹣2的点是M．
故选：A．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、C、D中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A、C、D不符合题意；
B、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合题意．
故选：B．
3．（3分）我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从正面看，是一行三个相邻的矩形．
故选：C．
4．（3分）好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省2024年全年接待游客超9亿人次．数据“9亿”用科学记数法表示为（ ）
A．9×107B．0.9×108C．9×108D．0.9×109
【解答】解：9亿＝900000000＝9×108．
故选：C．
5．（3分）已知a≠0，则下列运算正确的是（ ）
A．﹣2a+3a＝5aB．（﹣2a3）2＝4a6
C．a2﹣a＝aD．a6÷a2＝a3
【解答】解：A、﹣2a+3a＝a，故该项不正确，不符合题意；
B、（﹣2a3）2＝4a6，故该项正确，符合题意；
C、a2与a不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故该项不正确，不符合题意；
故选：B．
6．（3分）某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：把以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品分别记为A、B、C，
列表如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的结果有1种，
∴甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是，
故选：A．
7．（3分）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意得：，
故选：D．
8．（3分）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【解答】解：如图：连接AB、DC相交于O，
∵正方形的内切圆的半径是2，
∴AC＝BC＝4，OA＝OB，
∴，，
∴图中阴影部分的面积是，
故选：D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形．若函数y（x＞0）的图象经过点B，则满足y≥2的x的取值范围为（ ）
A．0＜x≤2B．x≥2C．0＜x≤4D．x≥4
【解答】解：∵四边形OABC是面积为4的正方形，设点B的坐标为（b，b），
∴b2＝4，解得：b＝2（已舍弃负值），
∴点B的坐标为 （2，2），
∵函数的图象经过点B，
满足y≥2的x的取值范围为0＜x≤2，
故选：A．
10．（3分）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．当x≥1000时，y随x的增大而减小
B．当x＝2000时，y有最大值
C．当y≥0.6时，x≥1000
D．当y＝0.4时，x＝600
【解答】解：A、当x≥1000时，y随x的增大先增大，后减小，故A选项错误，不符合题意；
B、∵抛物线过点（1000，0.6），（3000.0.6），
∴抛物线的对称轴为：直线x2000，
∵抛物线的开口向下，
∴x＝2000时，y有最大值，
故B选项正确，符合题意；
C、由图象可得：当y＝0.6时，x1＝1000，x2＝3000，
∴当y≥0.6时，1000≤x≤3000，
故C选项错误，不符合题意；
D、由图象可得当y＝0.4时，x对应的值有2个，故D选项错误，不符合题意．
故选：B．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）写出使分式有意义的x的一个值 2（答案不唯一） ．
【解答】解：若分式有意义，
则2x﹣3≠0，
那么x≠1.5，
因此x＝2，
故答案为：2（答案不唯一）．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（3，4）向下平移2个单位长度，得到的对应点P′的坐标是 （3，2） ．
【解答】解：由题知，
将点P（3，4）向下平移2个单位长度后，所得点P′的坐标是（3，2）．
故答案为：（3，2）．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 m＞﹣4 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
即Δ＝42+4m＞0，
解得m＞﹣4．
故答案为：m＞﹣4．
14．（3分）取直线y＝﹣x上一点A（x1，y1），①过点A1作x轴的垂线，交y于点A（x2，y2）；②过点A2作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A3（x3，y3）；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点A1的坐标为（1，﹣1），则点A2025的坐标是 （1，﹣1） ．
【解答】解：已知A1（1，﹣1），过点A1作x轴的垂线，交y于点A2，
∵作x轴垂线时，横坐标不变，
∴A2的横坐标x2＝1，
把x＝1代入y，得y21，
∴A2（1，1）．
过点A2作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A3，作y轴垂线时，纵坐标不变，
∴A3的纵坐标为y3＝1，
把y＝1代入y＝﹣x，得1＝﹣x，即x3＝﹣1，
∴x3＝﹣1，
∴A3（﹣1，1），
过点A3作y轴的垂线，交y于点A4，
作x轴垂线时，横坐标不变，
∴A4的横坐标x4＝﹣1，
把x＝﹣1代入y，得y41，
∴A4（﹣1，﹣1），
过点A4作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A5，
作y轴垂线时，纵坐标不变，
∴A5的纵坐标y5＝﹣1，
把y＝﹣1代入y＝﹣x，得﹣1＝﹣x，即x5＝1，
∴A5（1，﹣1），
∴观察可得，每4个点为一个循环周期，
∴2025÷4＝506…1，
∴A2025坐标与A1相同，
∴A2025的坐标为（1，﹣1），
故答案为：（1，﹣1）．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAOB，则线段PQ的最小值是 4.8 ．
【解答】解：如图，过M作MN⊥AP于N，
∴∠ANM＝∠ABC＝90°，
∵∠MAN＝∠CAB，
∴△AMN∽△ACB，
∴MN：BC＝AM：AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AMAB＝3，PQ＝2PM，
∴MN：8＝3：10，
∴MN＝2.4，
∵PM≥MN，
∴PQ≥2MN＝4.8，
∴PQ的最小值是4.8．
故答案为：4.8．
三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．（8分）（1）计算：||π0；
（2）先化简，再求值：（x2﹣1）（1），其中x＝2．
【解答】解：（1）原式3+1
＝1+1
＝2；
（2）原式＝（x+1）（x﹣1）（）
＝（x+1）（x﹣1）•
＝（x﹣1）（x+2）
＝x2+x﹣2，
当x＝2时，
原式＝4+2﹣2＝4．
17．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，如图1．
（1）求∠ADC的度数；
（2）已知AB＝3，分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，交AD的延长线于点F．如图2，求DF的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
（2）由（1）知：∠ACD＝∠CAD＝30°，
∴AD＝CD，∠ADB＝60°，
∴∠CDF＝60°，
如图2，连接CF，
由作图过程可知：MN是CD的垂直平分线，
∴FC＝FD，
∴△CDF是等边三角形，
∴FC＝FD＝CD＝AD，
∵AB＝3，∠BAD＝30°，
∴AD2，
∴DF＝AD＝2．
18．（8分）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．
（1）请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式；
（2）已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2万千瓦时？
【解答】解：（1）y＝6x+5，
∴蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式为y＝6x+5．
（2）根据题意，得0.4（6x+5）×0.3＝4.2，
解得x＝5．
答：注水5小时可供发电4.2万千瓦时．
19．（10分）在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的pH值进行了整理、描述及分析．
【收集数据】
甲基地水体的pH值数据：
7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26．
乙基地水体的pH值数据：
7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21．
【整理数据】
【描述数据】
【分析数据】
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）填空：b＝ 7.67 ，c＝ 7.79 ；
（3）请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由；
（4）已知两基地对水体pH值的日变化量（pH值最大值与最小值的差）要求为0.5～1，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求．
【解答】解：（1）由题意得：a＝24﹣4﹣2﹣9﹣2＝7，
补全频数分布直方图如下：
（2）在甲基地水体的pH值数据中7.67出现的次数最多，故众数b＝7.67；
把乙甲基地水体的pH值数据从小到大排列，排在中间的两个数分别是7.77，7.81，故中位数c7.79，
故答案为：7.67，7.79；
（3）甲基地水体的pH值更稳定，理由：
因为甲基地水体的pH值的方差比乙基地水体的pH值的方差小，所以甲基地水体的pH值更稳定；
（4）甲基地水体的pH值的极差为：8.26﹣7.27＝0.99＜1，乙基地水体的pH值的极差为：8.21﹣7.11＝1.1＞1，
所以甲基地的pH值符合要求，乙基地的pH值不符合要求．
20．（10分）如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C，AD⊥OB于点D．AC是∠BAD的平分线．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠AOB＝45°，求CB的长．
【解答】（1）证明：∵AD⊥OB于点D，
∴∠ADB＝90°，
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝∠OAD+∠BAC，∠OCA＝∠B+∠BAC，
∴∠OAD+∠BAC＝∠B+∠BAC，
∴∠OAD＝∠B，
∴∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠B+∠BAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AB⊥OA，
∴AB为⊙O的切线．
（2）解：∵∠OAB＝90°，∠AOB＝45°，
∴∠B＝∠AOB＝45°，
∴AB＝OA，
∵⊙O的半径为2，
∴AB＝OA＝OC＝2，
∴OBOA＝2，
∴CB＝OB﹣OC＝22，
∴CB的长是22．
21．（9分）【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1．
【问题提出】
部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）．
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，⊙O分别与AC，AD相切于点B，D．用游标卡尺测量出CC′的长度y．
【问题解决】
已知∠CAD＝∠C′A′D′＝60°，l的长度要求是1.9cm∼2.1cm．
（1）求∠BAO的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y＝7.52cm．根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求．（参考数据：1.73）
【结果反思】
（3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．
【解答】解：（1）∵⊙O分别与AC，AD相切于点B，D，
∴AB＝AD，；
（2）∵钢柱的底面圆半径为1cm，
∴BC＝OB＝1，
∵∠OAB＝30°，∠OBA＝90°，
∴，
∴，
同理，
∴，
∵1.9＜2.06＜2.1，
该部件l的长度符合要求；
（3）能，将圆柱换成正方体．
22．（11分）已知二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b），其中a，b为两个不相等的实数．
（1）当a＝0、b＝3时，求此函数图象的对称轴；
（2）当b＝2a时，若该函数在0≤x≤1时，y随x的增大而减小；在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）若点A（a，y1），B（，y2），C（b，y3）均在该函数的图象上，是否存在常数m，使得y1+my2+y3＝0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）当a＝0，b＝3 时，二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）可化为：y＝x（x﹣0）+（x﹣0）（x﹣3）+x（x﹣3）＝3x2﹣6x，
∴此函数图象的对称轴为直线；
（2）当 b＝2a时，二次函数y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）可化为：y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣2a）+x（x﹣2a）＝3x2﹣6ax+2a2，
∴抛物线对称轴为直线，
∵3＞0，
∴抛物线开口方向向上，
∵在0≤x≤1时，y随x的增大而减小，
∴a≥1，
∵在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，
∴a≤3，
∴1≤a≤3；
（3）若点A（a，y1），B（，y2），C（b，y3）均在该函数的图象上，
∴y＝a（a﹣a）+（a﹣a）（a﹣b）+a（a﹣b）＝a2﹣ab，
y＝x（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）+x（x﹣b）＝3x2﹣2（a+b）x+ab，
∴





，
；
∵y1+my2+y3＝0，
∴，
整理得：，
∵a，b为两个不相等的实数，
∴a﹣b≠0，
∴，解得：m＝4．
23．（11分）【图形感知】
如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝∠ABC＝∠BDC＝90°，AD＝2，AB＝4．
（1）求CD的长；
【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．
在线段CD上取一点E，连接BE．将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A′BED′，其中A′，D′分别是A，D的对应点．
（2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点D′恰好落在边BC上，延长A′D′交CD于点F，如图2．判断四边形DBA′F的形状，并说明理由；
②乙：点A′恰好落在边BC上，如图3．求DE的长；
（3）如图4，连接DD′交BE于点P，连接CP．当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵∠BAD＝∠ABC＝∠BDC＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴△ADB∽△DBC，
∴，
∵∠BAD＝90°，AD＝2，AB＝4，
∴，
∴，
∴；
（2）①四边形DBA'F是矩形，理由如下，
由折叠的性质得∠A＝∠A'＝90°，∠ABD＝∠A'BD'，
∵∠ABD+∠DBC＝∠ABC＝90°，
∴∠A'BD＝∠A'BD'+∠DBC＝90°，
∴四边形DBA'F是矩形；
②延长AD和A'D'相交于点Q，连接BQ，
由折叠的性质得∠A＝∠A'＝90°，∠ABD＝∠A'BD'，∠EBD＝∠EBD'，
∵点A'恰好落在边BC上，
∴AB＝A'B＝4，∠ABA'＝90°，
∴四边形ABA'Q是矩形，
∵AB＝A'B＝4，
∴四边形ABA'Q是正方形，
∵∠ABE＝∠ABD+∠EBD＝∠A'BD'+∠EBD′＝∠ABE＝5×90°＝45°，
∴点E在对角线BQ上，
∴DQ＝AQ﹣AD＝2，，
∵四边形ABA'Q是正方形，
∴AQ∥CB，
∴△DQE∽△CBE，
∴，
∴；
（3）由折叠的性质得∠EBD＝∠EBD'，BD＝BD'，
∴BE是线段DD'的垂直平分线，
∴∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的⊙O上，连接OC，OP，
∴CP≤OC﹣OP，即点P在OC上时，线段CP存在最小值，
∵，
线段CP的最小值为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/19 19:38:01；用户：大胖001；邮箱：15981837291；学号：22699691 7.00≤x＜7.30
7.30≤x＜7.60
7.60≤x＜7.90
7.90≤x＜8.20
8.20≤x≤8.50
甲
2
5
7
7
3
乙
4
2
9
a
2
平均数
众数
中位数
方差
甲
7.79
b
7.81
0.10
乙
7.78
7.77
c
0.13
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
C．
B
A
D
D
A
B
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
7.00≤x＜7.30
7.30≤x＜7.60
7.60≤x＜7.90
7.90≤x＜8.20
8.20≤x≤8.50
甲
2
5
7
7
3
乙
4
2
9
a
2
平均数
众数
中位数
方差
甲
7.79
b
7.81
0.10
乙
7.78
7.77
c
0.13