2024_2025学年_北京房山区高一第一学期期中数学试卷

这是一份2024_2025学年_北京房山区高一第一学期期中数学试卷，共5页。
知识：集合与常用逻辑用语；一元二次函数、方程和不等式；函数的概念与性质
能力：数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题中选出符合题目要求的一项．
1. 全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知命题，，则是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知，在下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知奇函数，且在上单调递减，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，其中，若，则正实数t取值范围（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
7. 在新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（为常数）．已知第9天检测过程平均耗时为16小时，第36天和第40天检测过程平均耗时均为8小时，那么第25天检测过程平均耗时大致为（ ）
A. 8小时B. 9.6小时C. 11.5小时D. 12小时
8. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知，则“对任意，”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 已知是定义在上奇函数，且在区间上满足三个条件：①对于任意的，当时，恒有成立，②，③．则（ ）
A. 32B. C. D.
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知，，则的取值范围是 __．
12. 已知函数可用列表法表示如下，则的值是______．
13. 已知函数满足：①；②；③在上单调递减，写出一个同时满足条件①②③的函数_________．
14. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是__________．
15. 函数，给出下列四个结论：
①的值域是；
②且，使得；
③任意且，都有；
④规定，其中，则．
其中，所有正确结论的序号是______________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数的定义域为，集合，．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
17. 已知是定义在上的奇函数，其中，且.
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求非负实数的取值范围.
18. 在经济学中，函数的边际函数，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产x台（）这种设备的收入函数为（单位千万元），其成本函数为（单位千万元）．（以下问题请注意定义域）
（1）求收入函数的最小值；
（2）求成本函数的边际函数的最大值；
（3）求生产x台光刻机这种设备的的利润的最小值．
19. 已知关于y二次方程的两根为，
（1）计算和；
（2）若，化简T并求其最大值．
20. 已知函数的定义域为，且．当时，．
（1）求；
（2）证明：函数在增函数；
（3）如果，解不等式．
21. 设集合，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件：
①，且Q中至少有两个元素；
②对于任意，当，都有；
③对于任意，若，则；
则称集合Q为集合P的“耦合集”．
（1）若集合，求集合P1的“耦合集”；
（2）集合，且，若集合存在“耦合集”．
（i）求证：对于任意，有；
（ii）求集合的“耦合集”的元素个数．
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