2024_2025学年_北京东城区高一第一学期期中联考数学试卷[附解析]

这是一份2024_2025学年_北京东城区高一第一学期期中联考数学试卷[附解析]，共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
1．（4分）集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）定义在R上的函数，对任意，，有，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）已知命题p：，是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．有且仅有一个零点
B．在，上单调递减
C．的定义域为
D．的图象关于点对称
6．（4分）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
7．（4分）如果a，b，c满足且，那么下列选项中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9．（4分）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）函数，其中P，M为实数集R的两个非空子集．又规定，．下列四个判断其中正确的是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
A．①③B．②③C．②④D．①④
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）
11．（5分）已知集合，B＝{a，a2+3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为 ．
12．（5分）函数的定义域为 ．
13．（5分）设，是方程的两根，不解方程，求下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
14．（5分）设函数，若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
15．（5分）设A是非空数集，若对任意x，，都有、，则称A具有性质P，给出以下命题：
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若A具有性质P，且，则具有性质P；
③若、具有性质P，且，则具有性质P；
④若、具有性质P，则具有性质P．
其中所有真命题的序号是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．已知全集，集合，，．
（Ⅰ）集合A＝_____；B＝_____；_____；_____；
（Ⅱ）若，求a的取值范围；
（Ⅲ）若，求a的取值范围．
17．已知函数，为R上的奇函数且．
（1）求a，b；
（2）判断在上的单调性并证明；
（3）当时，求的最大值和最小值．
18．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
（Ⅰ）求出当时，的解析式；
（Ⅱ）如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递减区间；
（Ⅲ）结合函数图象，讨论函数在上的值域．
19．近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足（k为常数，且，，），日销售量Q（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：
已知第10天的日销售收入为505元．
给出以下三个函数模型：
①；②；③．
（Ⅰ）请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
（Ⅱ）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的解析式．
（Ⅲ）该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？
20．对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性．
（Ⅰ）分别判断集合，是否具有可分性，并说明理由；
（Ⅱ）判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由．
（Ⅲ）若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值．
答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
1．
【正确答案】B
【分析】由题意集合，，分别解出集合P，M，从而求出．
解：∵集合，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
2．
【正确答案】D
【分析】判断函数的奇偶性以及函数的零点，判断选项即可．
解：，函数是偶函数，存在零点，所以A不正确；
，不是偶函数，所以B不正确；
，不是偶函数，所以C不正确；
是偶函数，没有零点，所以D正确．
故选：D．
3．【正确答案】A
【分析】由题意函数的单调性，得出结论．
解：定义在R上的函数，对任意，（），有，则函数在R上单调递减，
∵，∴，
故选：A．
4．
【正确答案】D
【分析】由题意得恒成立，然后结合二次函数的性质可求．
解：因为p：，是假命题，
故，恒成立，
所以，
所以．
故选：D．
5．
【正确答案】D
【分析】求解零点判断A；化简函数的解析式，判断函数的单调性，判断B；求解定义域判断C；判断对称性，判断D．
解：函数，令，可知，函数值域一个零点，所以A正确；
函数，可知函数在，上单调递减；所以B正确；
函数关于点对称，所以D不正确．
的定义域为，所以C正确．
故选：D．
6．
【正确答案】C
【分析】由已知结合分式不等式的求法即可求解．
解：关于x的不等式的解集为，则，
关于x的不等式可化为，
即，
解得或．
故选：C．
7．
【正确答案】C
【分析】本题根据，可以得到与的符号，当时，则A成立，时，B成立，又根据，得到D成立，当时，C不一定成立．
解：对于A，∵且，
∴则，，
必有，
故A一定成立，
对于B，∵，
∴，
又由，则有，故B一定成立，
对于C，当时，不成立，
当时，成立，
故C不一定成立，
对于D，∵且，
∴，
∴，故D一定成立，
故选：C．
8．
【正确答案】D
【分析】根据题意作差可得，由此结合充要条件的定义，判断出正确答案．
解：由，可得：
若，则，当时，，故不能推出；
若，则当时，，可得，也不能推出．
综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
9．
【正确答案】B
【分析】偶函数在上是减函数，则不等式对任意恒成立，即不等式对任意恒成立，即可得到答案．
解：由题意，偶函数在上是减函数，
则不等式对任意恒成立，即不等式对任意恒成立，
∴对任意恒成立，
∴，则
故选：B．
10．
【正确答案】C
【分析】通过取特殊集合分析①③；先分析的结果，根据结果判断②；先考虑的情况，然后分析0的唯一性，由此判断④．
解：对于①：若，，满足，
此时，，，故错误；
对于②：若，则由函数定义可知，即，所以，
则，所以，故正确；
对于③：若，，满足，
此时，，，故错误；
对于④：若，则，；
若，，假设，
则，，所以，，
所以，，所以，，，
这显然与矛盾，所以假设不成立，
所以若，则，故正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）
11．
【正确答案】见试题解答内容
【分析】利用交集定义直接求解．
解：∵集合，．，
∴或，
当时，，，成立；
无解．
综上，．
故1．
12．
【正确答案】见试题解答内容
【分析】根据函数的解析式有意义，可得，从而解出x的取值范围，得到函数的定义域．
解：由题意可知，，
解得：，且，
∴函数的定义域为，
故．
13．
【正确答案】；．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可解．
解：设，是方程的两根，
则，，
（1）；
（2）．
故；．
14．
【正确答案】0，1．
【分析】对函数分段函数的分界点进行分类讨论，研究其不同图像时函数取最小值时a的范围即可．
解：当时，函数图像如图所示，不满足题意，
当时，函数图像如图所示，满足题意；
当时，函数图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足，解得：；
当时，函数图像如图所示，不满足题意，
当时，函数图像如图所示，要使得函数有最小值，需，无解，故不满足题意；
综上所述：a的取值范围是，
故0，1．
15．
【正确答案】①③．
【分析】举特例判断①；利用性质P的定义证明③即可；举反例说④错误；利用反证法判断②，元素0是关键．
解：设A是非空数集，若对任意x，，都有、，则称A具有性质P，
对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确；
对于③，取x，，则，，，，又，具有性质P，∴，，，，∴，，所以具有性质P，故③正确；
对于④，取，，，，但，故④错误；
对于②，若A具有性质P，且，假设也具有性质P，
设，在中任取一个x，，此时可证得，否则若，由于也具有性质P，则，与矛盾，故，
由于A具有性质P，也具有性质P，
所以，，
而，这与矛盾，
故当且A具有性质P时，则不具有性质P，
同理当时，也可以类似推出矛盾，故②错误．
故①③．
三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．
【正确答案】（Ⅰ），，
，；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
【分析】（Ⅰ）先求出集合A，B，再利用集合的基本运算求解；
（Ⅱ）由可得，分和两种情况讨论，分别求出a的取值范围，最后取并集即可；
（Ⅲ）先求出时a的取值范围，再取补集即可．
解：（Ⅰ）集合，，
∴，，
∴；
（Ⅱ）∵，∴，
①当时，，∴，
②当时，则，
解得，
综上所述，a的取值范围为；
（Ⅲ）若，
①当时，，∴，
②当时，或，
∴或，
综上所述，若，则a的取值范围为，
故，则a的取值范围．
17.
【正确答案】（1），；
（2）在上为减函数，证明见解析；
（3），．
【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得，变形可得，又由，即可得a的值，
（2）根据题意，设，由作差法利用函数单调性的定义分析可得结论．
（3）根据题意，由函数的单调性，分析可得在上的最小值为、最大值为，结合解析式计算可得答案．
解：（1）根据题意，函数，为R上的奇函数，
则，即，变形可得，
又由，则；
（2）由（1）的结论，，在区间上单调递减，
证明如下：设，
则，
又由，则，，
则，
故在上单调单调递减．
（3）根据题意，由（2）的结论以及函数是奇函数，可知在上递减，
则在上的最大值为，最小值为．
18．
【正确答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）函数的图象如下：
观察图象，得函数的单调递减区间为：，；
（Ⅲ）当时，的值域为；当时，的值域为；当时，
的值域为．
【分析】（Ⅰ）由奇函数的定义求出解析式作答．
（Ⅱ）由奇函数的图象特征，补全函数的图象，并求出单调增区间作答．
（Ⅲ）利用图象，分类讨论，求解值域即可．
解：（Ⅰ）依题意，设，则，
于是，
因为为R上的奇函数，因此，
所以当时，的解析式；
（Ⅱ）由已知及（1）得函数的图象如下：
观察图象，得函数的单调递减区间为：，；
（Ⅲ）由（1）可知，，
显然当时，，
当时，令得，，
解得或（舍去），
当时，在上单调递减，
所以，，
所以的值域为；
当时，
，，
所以的值域为；
当时，
，，
所以的值域为，
综上所述，当时，的值域为；当时，的值域为；当时，
的值域为．
19．
【正确答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）该工艺品的日销售收入第2天最低，最低收入是441．
【分析】（Ⅰ）根据题意易得选择函数模型②，从而再根据题意建立方程，即可求解；
（Ⅱ），从而可求的解析式；
（Ⅲ）利用基本不等式及函数单调性，即可求解．
解：（Ⅰ）由表格中的数据知，当时间x变长时，先增后减，①③函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型，
所以选择函数模型②：，
由，
可得，解得，
因为，解得，
则日销售量与时间x的关系式为；
（Ⅱ）因为第10天的日销售收入为505元，
则，解得k＝1，所以，
由（1）知，
则；
（Ⅲ）当，时，，
当且仅当，即时，等号成立；
当，时，单调递减，
所以函数的最小值为，
综上可得，当时，函数取得最小值441，
所以该工艺品的日销售收入第2天最低，最低收入是441．
20．
【正确答案】（1）集合{1，2，3，4}不具有可分性，集合{1，2，3，4，5}不具有可分性，理由见解析；（2）不存在，理由见解析；（3）7．
【分析】（1）若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数，由此可以快速判断（1）中两个集合不具有可分性；
（2）存在性问题，可先假设存在满足要求的五元集合，再根据新定义进行检验；
（3）根据新定义，设，则容易发现为偶数，若n为偶数，则可进一步得到为偶数，为4的倍数，为8的倍数，……，从而得出矛盾，n必为奇数，易知不符合，由（2）知不符合要求，构造出符合要求的7元集合即可说明n的最小值为7．
解：（1）对于集合{1，2，3，4}，去掉1时，剩下三个元素之和为9，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4}不具有可分性，
对于集合{1，2，3，4，5}，去掉2时，剩下四个元素之和为13，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4，5}不具有可分性；
（2）不存在，理由如下：
假设存在满足要求的五元集，其中，
则去掉时，可能的情况为或，
若，则去掉时，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等，
若，则去掉时，，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等，
故假设不成立，即不存在五元集合具有可分性；
（3）先证明若集合A具有可分性，则集合A的元素个数n为奇数，
否则n为偶数，记，则为偶数，所以为偶数，所以M为偶数，ai为偶数，
所以是一系列偶数的和，也为偶数，所以则为4的倍数，所以为4的倍数，所以M为4的倍数，ai为4的倍数，
所以是一系列4的倍数的和，也为4的倍数，所以则为8的倍数，所以为8的倍数，所以M为8的倍数，为8的倍数，
………，
依次类推下去，可得为的倍数，显然矛盾，故假设不成立，n为奇数，证毕．
又容易检验时，集合A不可分，由（2）知时，集合A也不可分，所以，
当时，取，
划去1时，；
划去3时，；
划去5时，；
划去7时，；
划去9时，；
划去11时，；
划去13时，，
即A具有可分性，
综上可知，集合A中元素个数的最小值为7x
10
15
20
25
30
2（x）
50
55
60
55
50