浙江省绍兴市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附答案）

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注意事项：
1 ．请将学校 、 班级 、姓名分别填写在答卷纸相应位置上 。 本卷答案必须答在答卷相应 位置上。
2 ．全卷满分 150 分， 考试时间 120 分钟。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1 ．已知集合 A = {x | 一1 < x < 2} ， B = {x | -2 < x < 3} ，则 A∩ B =
A ． (一1，2) B ． (一1，3) C ． (一2，2) D ． (一2，3)
2 ．已知 一 则 z =
A ． B ． C ． D ． 1
3 ．若函数 f(x) = ax一2 +1 (a > 0，且a ≠ 1) 的图象恒过定点 A ，则 A 的坐标为
A ． (0，1) B ． (2，1) C ． (1，2) D ． (2，2)
4 ．设函数 ，则曲线 y = f (x) 在(1，f(1)) 处的切线方程为
C ． D ．
5 ．已知某防御系统的导弹拦截目标的命中率为 70% ，为提高拦截成功率，决定同时发射三
枚导弹拦截同一目标，若这三枚导弹彼此间互不干扰，则拦截成功的概率为
A ．70% B ．97.3% C ．100% D ．210%
6 ．已知函数 f(x) 的定义域为 R ，则“ x，y ∈ R ， f(xy) = f(x) 一 f(y) ”是“ f(x) = 0 ”的
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
高二数学试卷 第 1 页（共 4 页）
7．现有红黄蓝绿四种颜料，给四棱锥五个不同的面染色，要求每个面染一种颜色，且有公共 棱的面颜色不同，则不同的染色方案有
A ．108 种 B ．96 种 C ．72 种 D ．54 种
8．已知函数 f(x) = 3tan(wx - φ) (w > 0，0 < φ < ) 在[1，2] 上单调递增，且其图象经过点(1，1) 和 (2，6) ，则 w =
A ． B ． C ． D ．
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9 ．设函数 则
A ． 是f(x) 的一个极大值点 B ． f(x) 的图象关于直线对称
C ． f(x) 在区间(0，) 内有零点 D ． f(x) 在区间 上单调递减
10 ．设函数 f(x) = x +1 ， g(x) = (x +1)2 ，用M (x) 表示 f(x) ， g(x) 的最大者，记为 M (x) = max{f(x)，g(x)} ，则
A ． M (1) = 2
C ． M (x) 的值域为[0，+ ∞)
D ．不等式M (x) >M (x +1) 的解集为
11 ．已知实数 x ， y 满足cs x = sin y ，则下列命题正确的是
时，则
则y 是x 的减函数
C ．若 x ∈ R， 则y 是x 的周期函数
则y 是x 的偶函数
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 ．已知样本相关系数 则成对样本数据(0，0) ， (1，-1) ， (2，3) ， (3，5) ， (4，3) 的相关系数为 ▲ .
13 ．已知向量 a ，b 满足| a |= 2 ， a . b = 3 ，则向量 a - b 在向量a 上的投影向量的长度为
▲ .
14．在棱长为 4 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点M 为 BC1 的中点，点 P 为正方体表面上
的一动点，且满足PD = PM ，则 P 的轨迹的长度为 ▲ .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 ．（13 分）
已知函数 的图象经过点 ．
（1）求a 的值；
（2）求 f(x) 的定义域并判断其奇偶性．
16 ．（15 分）
已知平面四边形 ABCD 的对角线分别为 AC ， BD ，且 AB = 2 ．
若cs 上上 求 △ABC 的面积；
（2）若上 ， AD = 2AB ， 上BAD 的平分线 AE 交 BD 于点E ，求 AE ．
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17 ．（15 分）
如图，在四棱锥 P 一 ABCD 中，AB∥CD ，上BAP = 上BAD ，CD = 1 ，AB = AP = AD = 2 ，
（1）求证： AB 丄 DP ；
（2）若 CD 丄 AD ，求直线 BP 与平面 CDP 所成角的正弦值．
B
18 ．（17 分）
P
A D
C （第 17 题图）
某模拟投资游戏中，有一种项目投资成功的概率为p ．若成功，将获得投资额的b+ 1 倍 的回报，若失败，回报为零．其中 p，b 是给定的常数，且满足0 < p < 1 ，b > 0 ，pb + p > 1．现 决定投入当前总资金额的x 倍(0 < x < 1) ．定义投资对数收益为 其中 W，W , 分别 为投资前后的总资金额．
（1）求ξ 的分布列；
（2）当ξ 的数学期望最大时，求x 的值；
（3）设初始资金额为 1 个单位，按照（2）的策略先后投资n 轮该种项目后，求最终总 资金额η 的数学期望．
19 ．（17 分）
“ 地板函数 ” |Lx」| 表示不超过 x 的最大整数 ， 如 |L3.14」| = 3 ， |L一1.5」| = 一2 ． 设函数
求 的值及函数 f(x) 的最小正周期；
（2）已知函数 g(x)= x(2 一 x) ，方程g(f(x)) 一 λx =0 恰有 30 个非负实数解，它们构成一 组数据 x1，x2，. . .，x30 ．
（i）求这组数据的中位数的取值范围；
（ii）设这组数据的方差为 SEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),x) ，求|L10SEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),x)」| ．
参考公式