江苏省南京市2025年中考模拟预测数学试卷（解析版）

这是一份江苏省南京市2025年中考模拟预测数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 近期，江苏省城市足球联赛（“苏超”）火爆出圈，据统计，首轮比赛现场观众人数达35000人，第二轮现场观众人数增长至42000人，将第二轮现场观众人数用科学记数法表示，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】确定系数：将42000的小数点左移4位，得到4.2000，即，满足．
确定指数：小数点移动了4位，故．
组合表达式：科学记数法表示为，
故选：B.
2. 已知，，，则a，b，c之间满足的等式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，
∴．
故选A．
3. 长跑因为其便捷性及有效性成为人们最喜爱的运动方式之一，普通人长跑的平均速度约为，估计的值在（ ）
A. 1到2之间B. 2到3之间
C. 3到4之间D. 4到5之间
【答案】B
【解析】依题意，，∴，
∴，
故选：B．
4. 如图，是正五边形的外接圆，这个五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系是错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，，交于点，
A.由垂径定理和勾股定理可得，该选项正确，故不符合题意；
B.由题意可得，，由等腰三角形的三线合一性质可得，
∴，
由垂径定理得，
该选项正确，故不符合题意；
C. 由题意可得，，由等腰三角形的三线合一性质可得，
∴，
由垂径定理得，
该选项正确，故不符合题意；
D. 由题意可得，，由等腰三角形的三线合一性质可得，
∴，
即
该选项错误，故符合题意；
故选：D．
5. 已知，下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. 若m，n同号，则D. 若m，n异号，则
【答案】D
【解析】、．显然成立，故该选项不符合题意；
、展开得：，
故该选项不符合题意；
、∵，又m，n同号，
∴，
∴m，n是一元二次方程的两个同号根，
∴，
∴，
又∵
∴，故该选项不符合题意；
、∵，又m，n异号，
∴，
∴m，n是一元二次方程的两个异号根，
∴，
∴，则或,
又∵
综上可，故该选项符合题意；
故选：D．
6. 记住是两个实数a与b的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（ ）
A. 12B. 16C. 20D. 24
【答案】A
【解析】∵为正比例函数，
∴设，
∵，
∴只需令中即可，
即，
∴，
∴，
∴要求中，令，代入，
∴，
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7. 计算：________．
【答案】7
【解析】；
故答案为：7．
8. 分解因式：________．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
9. 在我国古代数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？其最小正整数解记为a．又知，则a________b（填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】∵三三数之剩二，
∴
，
∵五五数之剩三，
∴
∵七七数之剩二．
∴
∵最小正整数解记为a．
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
10. 分式方程的解是______．
【答案】
【解析】去分母得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．
11. 将平面镜，按如图所示的方式放置，从点M处射出一束光线经上的D点反射至上的E点，再经E点反射出的光线恰好与平行，若，则的度数________．
【答案】
【解析】由光的反射定律可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 如图，四边形为平行四边形，以点A圆心，长半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长_____．（结果保留根号和）．
【答案】
【解析】∵四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由作图可知，，
∴是等边三角形，
∴，
∴的长，
故答案为：．
13. 如图，在一个正方形的网格上有、、、、五个点，任意连接其中3个点，在构成的三角形中，是直角三角形的概率为________．
【答案】
【解析】从在格点上的点中任取三个点构成的三角形有、、、、、、、，共9个，根据网格的特点可得、、、、、、是直角三角形，不是直角三角形，即在构成的三角形中，是直角三角形的个数是7个，∴在构成的三角形中，是直角三角形的概率为．
14. 为了适应新的考试评价改革，需要对学生的原始分进行转换．一次数学测试中，全班最高分是95分，最低分是45分．现将全班学生成绩作线性转化、原始分记x，转化后的分数记为y．满足其中．转化后使得最高分100分、最低分30分，某同学原始分是80分，则转换后的分数是________分．
【答案】
【解析】∵转化前全班最高分是95分，最低分是45分，转化后使得最高分100分、最低分30分，∴，解得，∴，
当时，，
∴某同学原始分是80分，则转换后的分数是分，
故答案为：79．
15. 在平面直角系中．将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点在抛物线上．点在抛物线上．当，时，总有，，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵抛物线 的解析式为 ．将 向右平移 2 个单位得到 ．
∴平移后， 的解析式为：，
∵，点 在 上，点 在 上，且 ．
∴点 的横坐标为 ．代入的解析式，
得，
则代入到的解析式，得
，
∵点抛物线上．
∴．
条件时， 最大值小于 ，
∵，
∴抛物线开口向上，最大值在端点处取得，
当时，
，
当时，
，∴，且．
解不等式：，
，
，
，
∵，
∴ ．
解得 ．
解不等式：，
即，
∵，
∴，
解得：，
综上所述，的取值范围为 ．
16. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，弧所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则阴影部分面积为________．
【答案】
【解析】如图所示：过点C作，
∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∵圆心C恰好是的内心，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，
∴弓形的面积为：，
∴阴影部分面积为：．
17. 在水平面内确定一条直线为基准线，规定：对该平面内不重合两点，，若以为斜边能作出直角三角形，且其中一条直角边垂直于基准线，则称两条直角边长度之和为点，的直角距离；若，两点所在的直线垂直或平行于基准线，则线段的长度为点，的直角距离．记点，的直角距离，如图，直线与基准线交于点，点在直线上，垂直于，垂足为，且，，．则的值为________．
【答案】
【解析】如图，作点作基准线的平行线，过点作于点，
依题意，，
又∵，，
∴，
∴设，则，∴，
∵，∴，∴．
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
18. 解方程．
解：，
去括号得：，
移项：，
合并同类项：，
不等式两边同时除以3：，
则不等式的解集为：．
19. 计算．
解：.
20. 已知点与点N关于y轴对称，将点M向右平移4个单位长度得到点P．若N，P在函数的图象上，求点M的坐标．
解：∵点与点N关于y轴对称，∴，
∵将点M向右平移4个单位长度得到点P，∴，
∵N，P在函数的图象上，
∴，解得，
∴点M的坐标为．
21. 如图，在锐角中，，分别是，的中点，点，分别为上的点，且，，证明：四边形为平行四边形．
证明：∵，∴，
又∵，∴，∴，
∵，分别是，的中点，
∴，则，
∴四边形为平行四边形．
22. 【综合与实践】南京文化纪念品的包装优化南京作为历史文化名城，有众多特色文化纪念品．某纪念品生产厂家在20周年厂庆前，为其经典的“南京云锦”主题纪念品设计了长方体包装盒．但在实际生产与使用中发现，装入纪念品后包装盒边角空余空间较多，造成了包装材料的浪费，于是决定开展节省材料的探究活动．
任务1：平面图形探究
南京的传统建筑中常常能看到矩形的窗户等元素．对于面积固定的矩形，我们来探究其周长的变化规律．已知秦淮河畔某古建筑修复时用到的一种矩形装饰砖面积为36平方分米，通过列举不同长和宽的情况，得到以下表格：
根据表格，可猜测：矩形的面积一定时，________时周长最小．
为了证明上述猜测，小宁同学假设矩形面积为，设两邻边长分别为和（s，t均为非负数），则，经化简可得．请表示出周长并补全后续的证明过程．
任务2：立体图形的包装改进
厂家之前设计的长方体包装盒尺寸为：长10厘米、宽8厘米、高6厘米，该包装盒用于包装以南京明城墙为原型的小型纪念品．现打算在保持底面积不变的前提下，将包装盒形状改为底面半径为4厘米的圆柱体，高保持不变，从节省材料（即表面积最小）的角度来看，你觉得这样的改进合理吗？请判断并说明理由．（取，结果精确到平方厘米）
解：任务1：∵矩形两邻边长分别为和，
∴矩形的周长为，
∵，∴矩形的周长为，
∵n为定值，
∴当有最小值时，矩形的周长有最小值，
∴当时，矩形的周长有最小值，
∴矩形的面积一定时，矩形的长和宽相等时周长最小；
（2）合理，理由如下：
长方体的表面积为平方厘米，
圆柱的表面积为平方厘米，
∵，∴这样的改进合理．
23. 学校举办数学嘉年华活动，设计了一款“数字魔方大挑战”游戏道具．有两个特制的正方体魔方，魔方A的六个面分别标有数字1、2、2、3、3、3；魔方B的六个面分别标有数字、0、0、1、1、1．
（1）若同时抛掷这两个魔方，魔方A、B落地后朝上一面数字分别记为a和b．将a、b代入一元二次方程中，求该方程有实数根的概率．
（2）同时抛掷这两个魔方，求魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的概率．
解：（1）∵有实数根，∴，
依题意，列表得：
一共有种等可能的结果，其中使得的有33种结果，
∴方程有实数根的概率；
（2）依题意，且结合（1）的列表情况，
一共有种等可能的结果，其中魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的有33种结果，
∴魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的概率．
24. 为了提升社区居民的健康水平和生活质量，市政府决定对社区内的健身设施进行全面升级计划，采购两种不同类型的健身器材共720台．经过市场调研，发现A种器材的价格y（百元/台）与采购数量x之间的函数关系如图所示，而B种器材的价格为固定值30百元/台．
（1）当时，求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）假设A种器材采购数量不低于60台，且B种器材采购数量不低于A中器材采购数量的3倍．如何分配两种器材的采购数量才能使采购费用w（百元）最少？最少是多少？
解：（1）由题意得，当时，；
当时，设，
把代入中得：，解得，
∴；
综上所述，；
（2）设采购A种器材m台，则采购B种器材台，
由题意得，，解得；
当时，则，
∵，∴w随m增大而增大，
∴当时，w有最小值，最小值为；
当时，则
，
∵，对称轴为，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵，
∴当时，w有最小值，最小值为，
∵，
∴当，时，w有最小值，
答：当采购A种器材180台， B种器材540台时，采购费用w最少，最少为22500（百元）．
25. 如图，这是小伟同学为准备实验考试组装的制取氧气的实验装置．已知试管，，试管倾斜角为，实验时，导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且垂直，平行（点C，D，N，F在同一条直线上）．经测量得，，，，请求出铁架杆与水槽之间的水平距离．（结果精确到，参考数据：，，）
解：如图，过点作于点，作于点，
∵，，
∴，
∵试管倾斜角为，
∴，
∴在中，，
，
∵，
∴，
∵，平行，
∴，
又∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴在中，，
∵垂直，，，
∴在中，，
∴，
答：铁架杆与水槽之间的水平距离约为．
26. 如图，四边形内接于，是的直径，与相交于点E，点F是延长线上一点，．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线．
（2）解：∵，，∴，
∴，∴，
∴．
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
的半径为．
27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，该抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，点D为线段上的一动点．
（1）求a，b的值；
（2）如图①，连接，并延长交抛物线于点E，若垂直平分，求点E的坐标；
（3）如图②，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求P点的坐标，并求此时S的最大值．
解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴，
∵二次函数的图象与x轴交于点，
∴，即，
∴；
（2）由（1）得抛物线解析式为，
在中，当时，，
当时，解得或，∴，
∴，的中点坐标为，
∵垂直平分，∴，
∴直线经过的的中点，即直线经过点，
设直线解析式为，∴，∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或（不合题意，舍去），
∴点E的坐标为；
（3）设直线的解析式为，
∴，∴，
∴直线的解析式为；
如图所示，过点P作轴交于F，连接，
∵，
∴，
∴；
设，则，
∴；
∴
，
∵，
∴当，即时，S有最大值，最大值为，
∴此时，∴．
28. 在中，，为直线上一点，为直线上异于点的一点，连接，，使．
（1）如图1，若点在线段上，，求证；
（2）如图2，若点在线段上，，求的长；
（3）如图3，若点在线段的延长线上，点在线段上，交于点F，，，求的值．
（1）证明：，
，即，
，
，
．
（2）解：如图过点作的垂线，交延长线于点，
，
，
由（1）可知，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如图过点作的平行线，交延长线于点，过点作的垂线，交于点，
，
为等边三角形，
，
，
为等边三角形，即，
又，
∴，
，
∴设，
则，
又，即,
∴，
，
，
∴，
，
，
∴，即，
，
在中，，
，
．
29. 已知，是抛物线上的两个不同点．
（1）若P，Q两点都在直线上，且和是于的一元二次方程的两根，求k的值以及线段的长；
（2）若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值；
（3）若点P，Q在抛物线对称轴的左侧，，为整数，且，同时满足，证明：正值．
（1）解：∵和是于的一元二次方程的两根，
∴，，，
把代入可得：，
整理可得出：，此时：， ，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：∵抛物线关于轴对称，
∴
∴抛物线
若直线落在轴上，
∴当时，即
解得
∴
∴；
若直线不在轴上，
设直线的解析式为，联立方程，
得，
解得．
不妨设，
∴，，
∴
（3）证明：，
∵，且，为整数，
∴，即
∴，
又，
∴为正值．长（分米）
36
18
12
9
6
宽（分米）
1
2
3
4
5
周长（分米）
74
40
30
26
24
a
b
1
2
2
3
3
3
0
0
1
1
1