山东省青岛市即墨区2024~2025学年高三数学上册11月期中教学质量检测试题[附解析]

这是一份山东省青岛市即墨区2024~2025学年高三数学上册11月期中教学质量检测试题[附解析]，共23页。
注意事项：
1．答第I卷前考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上．
2．选出每小题答案前，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数满足，为虚数单位，则等于（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据复数代数形式的除法法则计算可得；
【详解】解：因为，所以
故选：A
【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.
2. 已知向量，且，则m=
A. −8B. −6
C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．
【详解】∵，又，
∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．
故选D．
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．
3. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】由下标和性质先求得的值，然后根据等差数列前项和公式化简计算即可.
【详解】因为，所以，所以，
所以，
故选：B
4. 已知函数的最小正周期为，则的图象（ ）
A. 关于点对称B. 关于对称
C. 关于直线对称D. 关于直线对称
【答案】D
【解析】
【分析】根据周期求出，代入，计算检验即可判断各选项.
【详解】因为函数的最小正周期为，
所以，
因为，所以AC错误；
，所以B错误，D正确.
故选：D
5. 将0，1，2，10四个数字排成一行，可以组成不同的5位数的个数是（ ）
A. 6B. 12C. 15D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出数字0不在首位，再求出数字1和0相邻且1在0之前的排法，即可得解.
【详解】将0，1，2，10四个数字排成一行，且数字0不在首位，
则有种，
数字1和0相邻且1在0之前的排法有种，
去掉重复的（类似10102这样的数），满足题意的不同的5位数的个数为，
故选：C
6. 已知锐角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义及二倍角的余弦公式得解.
【详解】由三角函数定义，，
所以，
解得或（由为锐角知，舍），
故选：D
7. 已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共线定理设(t∈R)，得，两边平方根据二次函数知识可得结果.
【详解】因为向量与共线，所以可设(t∈R)，
所以，所以，
因为向量，为单位向量，且，
所以，
所以，所以的最小值为.
故选：A
8. 已知成等比数列，且，为自然对数的底数．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等式的形式，构造函数，利用导数的性质，结合等比数列的性质逐一判断即可.
【详解】由不等式，
可得，则，所以．
当时，，
矛盾，
则，所以，综上，．
故选：B
【点睛】关键点睛：根据已知等式运用不等式是解题的关键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A. 在第一象限B. C. D. 的虚部为
【答案】BC
【解析】
【分析】确定，进而根据复数概念及几何意义、模的运算逐项判断即可.
【详解】由，
可得：在第二象限，，，的虚部为3.
故选：BC
10. 已知，则（ ）
A. 为偶函数B. 是的最小正周期
C. 在区间上单调递增D. 的值域为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据奇偶函数定义判断A，取特值判断B，根据符合函数单调性判断C，根据偶函数及在时的值域判断D.
【详解】由可知，，定义域为，
故定义域关于原点对称，又，所以函数为偶函数，故A正确；
取，则，，即，所以不是函数的周期，故B错误；
当时，，令且为减函数，
而在时单调递减，所以由复合函数的单调性知，单调递增，故C正确；
由为偶函数，只需研究时的值域，当时，，
因为，即时，是函数的一个周期，当时，，当且仅当，即时取等号，当时，，
令，则在上是增函数，所以，
当时，，所以，综上的值域为，故D正确.
故选：ACD
11. 如图，平面四边形中，对角线的交点为，△的面积是△面积的两倍，又数列满足，当时，，为数列的前项和，则（ ）

A. B.
C. 是等差数列D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据面积比可得线段长之比判断A，由向量的线性运算判断哪B，根据三点共线消元后得出可判断C，由错位相减法求和可判断D.
【详解】过A作，垂足为，过作，垂足为，连接，交于点，
如图所示，

由题意可得：，则，
且，则，故，故A正确；
，故B错误；
∵三点共线，则，
可得，则，，
整理得：，
故数列是以首项，公差为2的等差数列，故C正确；
则，即，
所以,
，
两式相减得：
，
所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：根据三角形面积的关系，得出线段长之比，再由向量线性运算，及三点共线得出关于的递推关系式，是解题的关键所在.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 二项式展开式的常数项为_________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】二项式展开式：
当即时，
故答案为：
【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.
13. 已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）=___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题求得θ的范围，结合已知求得cs（θ），再由诱导公式求得sin（）及cs（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ）的值．
【详解】解：∵θ是第四象限角，
∴，则，
又sin（θ），
∴cs（θ）．
∴cs（）＝sin（θ），sin（）＝cs（θ）．
则tan（θ）＝﹣tan（）．
故答案为．
【点睛】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
14. 在△中，若，则角A的范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】将正切化为正弦和余弦，化简后结合余弦定理可得到，结合基本不等式和余弦函数的图象即可求角A的范围.
【详解】
,
在,
,
即,
,
当且仅当时等号成立，
,
故答案为:
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）若，求；
（2）设，若，求的夹角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）两边平方后，根据向量的数量积运算性质即可求解；
（2）两边平方后，根据向量的数量积运算性质即可求的，然后结合公式即可得解.
【小问1详解】
由题意得，即，
又因为，所以，即；
【小问2详解】
由题意得，即；
又，
所以，
所以，即，
所以，又
所以
16. 在中，.
（1）求B；
（2）若的周长为，求边上中线的长.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理，结合二倍角的正弦公式进行求解即可；
（2）根据余弦定理，结合（1）的结论进行求解即可.
【小问1详解】
根据正弦定理由，
因为，所以，即，所以；
【小问2详解】
由（1）可知，而，所以，
因此，由余弦定理可知：，
因为的周长为，所以有，
设边上中点为，所以，
由余弦定理可知：，
所以边上中线的长.
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析，并求出在上的值域；
（2）若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称.求的最小值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）代入两点，建立方程，根据解出参数的值，即可得解解析式，再根据函数的定义域求出函数的值域；
（2）根据题意得到平移后的函数解析式，结合函数的对称性，得到，根据及取对应的值，即可得解.
【小问1详解】
由，得，
又点及附近点从左到右是上升的，则，
由，点及附近点从左到右是下降的，
且上升、下降的两段图象相邻，得，
联立解得，，
而，于是，，
当时，，所以，
即在上的值域为.
【小问2详解】
令将函数的图象向右平移个单位后得到的图象
所以，
由题意的图象曲线关于轴对称，即为偶函数，
所以，解得，
因为，所以当时，取得最小值.
18. 如果正项有穷数列满足，即，我们称其为“1的对称数列”，例如：数列2，3，，与数列3，2，1，，都是“1的对称数列”．
（1）设是项数为8的“1的对称数列”，其中是等差数列，且，请依次写出的每一项；
（2）设数列是13项的“1的对称数列”，其中是等比数列，，求数列的所有项和的最小值；
（3）设数列是项的“1的对称数列”，数列前项的通项公式为，求数列的前项和．（注：）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列写出前四项，再由新定义写出后四项即可；
（2）由等比数列可求出数列前五项，再由新定义得出后五项及中间项，所以第六项及第八项可设为，求和后利用基本不等式得最值即可；
（3）当时直接由公式求和，当时，利用裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
设为前四项的公差，
，
，
的各项为.
【小问2详解】
设前五项公比为，显然，
，
则，可得，
解得或，
当时，，当时，（舍去），
因为数列是13项的“1的对称数列”，所以，
设，
，
当且仅当时取等号，
所以数列的所有项和的最小值为.
【小问3详解】
当时，
，
当时，
，
所以.
【点睛】关键点点睛：新定义问题关键在于理解定义，运用定义解题，求和时利用所给公式及裂项相消法.
19. 已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列：
①；
②对于，使得的正整数对恰有个．
（1）若等差数列1，3，5，7，9为增数列，求的值；
（2）若数列为的8增数列，求的最小值；
（3）若存在60的增数列，求的最大值．
【答案】（1）35 （2）8
（3）450
【解析】
【分析】（1）根据题意，由m的k增数列的定义求得m和k的值.
（2）根据题意，由m的8增数列的定义，有，并且对于，使得的正整数对恰有个，根据这两个条件分析m的取值范围，求出最小值.
（3）由题意得，若存在60的增数列，则根据定义分析当k最大时数列各项的特征，包括各项是否相等，各项的值为多少，相邻项的差值是多少，确定出数列的特征后再具体计算出k的值.
【小问1详解】
由题意得，根据m的k增数列的定义，
，
因为，
所以对于，使得的正整数对有：
共10对，
所以，于是.
【小问2详解】
由题意得，数列为的8增数列，
即，
且对于，使得的正整数对恰有个.
所以数列各项中必有不同的项，所以且.
若，则满足要求的数列中有五项为1，一项为2，
所以，不符合题意，所以；
若，则满足要求的数列中有四项为1，两项为2，
此时数列为，满足要求的整数对分别为
，符合m的8增数列，
所以当时，存在m的8增数列，
故m的最小值为8.
【小问3详解】
由题意得，若数列中的每个项都相等，则，
若，则数列中存在大于1的项，
若首项，则将拆分成个1后k变大，
所以此时k不是最大值，故.
当时，若，
则交换和顺序后k变为，
所以此时k不是最大值，所以.
若，则，
此时将变为，并在数列首位添加一项1，
则k值变大，所以此时k不是最大值，
所以.
若数列中存在相邻的两项，
设此时中有x项为2，
将改为2，并在数列首位前添加个1后，
k的值至少变为，
所以此时k也不是最大值.
综上，若k为最大值，则数列中的各项只能为1或2，
所以数列为的形式.
设其中有x项为1，y项为2，
因为存在60的k增数列，所以，
所以，
所以当且仅当时，k取最大值450.
【点睛】本题是数列有关的新定义问题，这类问题的关键是要准确理解题中对于“的增数列”的定义，特别是条件②中的正整数对指的是数列下标而非数列项本身；其次在最后一问的证明过程中，需要把多种情况都考虑到，只有全面分析数列满足的条件才能准确得出项的特征，而考虑的方面其实从前两问中可以分析出来.