辽宁省沈文新高考研究联盟2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份辽宁省沈文新高考研究联盟2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析），共15页。
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【详解】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，
即.
故选：C.
2. 设，，，则下列说法错误的是（ ）
A. ab的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为9D. 的最小值为
【答案】D
【详解】因为，，，
则，当且仅当时取等号，所以选项A正确；
因为，
故，当且仅当时取等号,即最小值，所以选项B正确；
，
当且仅当且即，时取等号，所以选项C正确；
，
故，当且仅当时取等号，即最大值，所以选项D错误．
故选：D．
3. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
4. 函数在的图像大致为
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
5. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，
则，，
由全概率公式可得
，
所以，
故选：B.
6. 某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司年全年投入研发资金万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金超过万元的第一年是（ ）(参考数据：，)
A. 年B. 年C. 年D. 年
【答案】D
【详解】设2020年起第年投入的研发资金为（2020年为第一年），则，
即，
令，故，故.
故2030年第一次研发资金超过.
故选：D.
7. 在数列中，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】令，则，
又，所以是以3为首项，为公比的等比数列，
所以，得．
故选：C．
8. 已知函数，，表示的最小值，设函数，若有2个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】显然的定义域为，
当时，，
从而，故在上没有零点；
则若有2个零点，有在上存在2个零点，
①若是的零点，则，得，
又，则在上存在1个零点，
又，若，则，在上单调递增，
又，则，则在上不存在零点，不符合题意；
若，则，得；，得；
则在上单调递减，在上单调递增，
则需，得，符合题意；
或，得，符合题意.
②若不是的零点，则，得，
又，则在上存在2个零点，
又，
则，得；，得；
则在上单调递减，在上单调递增，
则，，，，
此时无解，
综上，或．
故选：D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知集合或，则的必要不充分条件可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【详解】解：因为集合或，
当时，，解得，此时，
当时，，解得，若，则，解得，
又，则，
则的充要条件为，
所以的必要不充分条件可能是，，
故选：AB．
10. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【详解】依题可知，，所以，
故，C正确，D错误；
因为，所以，
因为，所以，
而，B正确，A错误，
故选：BC．
11. 已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，因，当时，，则在上单调递增，
故，因，故，所以，故B正确；
对于C，因，则，故C错误；
对于D，令，则，则在上单调递增，
故，即，故，从而，
即，也即，故得.故D正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15 分）
12. 已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【详解】要使函数在R上单调递增，
只需，解得：.
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
13. 期中考卷有8道单选题，小明对其中5道题有思路，3道题完全没思路．有思路的题做对的概率是0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为0.25，则小明从这8道题中随机抽取1道做对的概率为__________．
【答案】
【详解】设事件表示“考生答对”，设事件表示“考生选到有思路的题”
则小明从这道题目中随机抽取道做对的概率为：
.
故答案为：.
14. 正方形位于平面直角坐标系上，其中，，，．考虑对这个正方形执行下面三种变换：（1）：逆时针旋转．（2）：顺时针旋转．（3）：关于原点对称．上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是，，，四个点所在的位置会发生变化．例如，对原正方形作变换之后，顶点从移动到，然后再作一次变换之后，移动到．对原来的正方形按，，，的顺序作次变换记为，其中，．如果经过次变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变换是-恒等变换．例如，是一个3-恒等变换．则3-恒等变换共________种；对于正整数，-恒等变换共________种．
【答案】 ①. 6 ②.
【详解】3-恒等变换必定含，所以一共有，，，，，这6种3-恒等变换；
注意到，作用一次变换相当于两次变换；作用一次变换相当于三次变换．我们记为数字1，为数字2，为数字3，作用相应的变化就增加相应的数字．那么如果作了次变换（其中包含个、个、个），当是4的倍数时，就能得到一个-恒等变换．我们假设作了次变换之后得到的相应数字除以4的余数是0，1，2，3的情况数分别为，，，.
把这次变换分解成次变换和第次变换，
假设经过次变换之后余数为0．如果经过次变换后的余数是0，则第次变换余数不可能为0；如果经过次变换后的余数分别是1，2，3，则第次变换余数必须分别为3，2，1．其他完全类似，因此
，
，
，
．
把后三个式子相加可得，
代入第一个式子可得，．
所以是公比为3的等比数列．
已经算出，而2-恒等变换有，，这三种，故．因此，，从而．
两边同乘，可得．
根据累加法可得
于是．
故答案为：6；
四、解答题（本大题共5小题，共 77 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
【答案】（1）75%；60%；
（2）能.
【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,
乙机床生产的产品中的一级品的频率为.
（2）,
故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.
16. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
（1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
（2）假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【答案】（1）
（2）（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【小问1详解】
甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
比赛成绩不少于5分的概率.
【小问2详解】
（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为，则，，
则，
应该由甲参加第一阶段比赛.
17. 数列满足，，．
（1）设，证明是等差数列；
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即可证得；
（2）由（1）得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1，进而利用累加求通项公式即可.
试题解析：
（1）证明 由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.
又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）解 由（1）得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.
于是(ak＋1－ak)＝(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.
又a1＝1，所以an＝n2－2n＋2经检验，此式对n=1亦成立，
所以，{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.
18. 设函数．
（1）求函数的单调区间．
（2）若方程有且仅有三个实根，求实数的取值范围．
【答案】（1）增区间（-∞,1）和（2，+∞），减区间为（1，2）;（2）
【详解】（1），解或的解集；（2）先求极值点，判断单调性，然后根据图形，判定轴于图像有三个交点时的位置，从而列不等式.
试题解析：（1），当时，或.当时，.
（2）由（1）知，函数在（-∞,1）为增，为减函数，为增函数，根据函数的图像特征，判断轴应在极值之间，得,
考点：1.导数的应用；2.函数的图像；3.函数的零点.
19. 如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”.已知，设曲线在点处的切线为.
（1）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；
（2）如果函数是“正交函数”，求满足要求实数a的集合；
（3）若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围.
【答案】（1）存在，理由见解析
（2）
（3）.
【小问1详解】
当时，，则，即的斜率，
假设存在，则的斜率，
则有解，即在上有解，
该方程化简为，解得或，符合要求，
因此该函数存在另外一条与垂直的切线.
【小问2详解】
，
令，则，
当时，单调递减；当时，单调递增；
设曲线的另一条切线的斜率为，
当时，，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线；
当时，，且，
∴，，且，，
∴在、上各有一个零点，
故当，或时，都有；
当时，，
故必存在，即曲线存在相互垂直的两条切线，
所以，
所以.
【小问3详解】
因为，由（2）知，曲线存在相互垂直的两条切线，
不妨设，，满足，即，
又，，
所以，
故，
当且仅当时等号成立，所以，
解得，
又，即，
解得，
因为，，
所以.一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828