2024-2025学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=21−i，则|z|等于( )
A. 1B. 2C. 2D. 2 2
2.南通轨道交通1号线从南通西站到孩儿巷共10个车站，某时刻各站上车的人数统计如下：10，20，30，40，40，50，50，60，60，70，则这组数据的第75百分位数为( )
A. 25B. 30C. 55D. 60
3.已知向量a，b满足|a|=|b|=1，a⋅b=−12，则a在b上的投影向量为( )
A. 12aB. −12aC. 12bD. −12b
4.在△ABC中，若csABC=csBAC，则△ABC的形状是( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
5.已知α，β，γ是三个不同的平面，l是一条直线，则下列说法正确的是( )
A. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//βB. 若l//α，l//β，则α//β
C. 若l⊥α，l⊥β，则α//βD. 若l//α，α//β，则l//β
6.已知sin(α−π6)=13，则sin(2α+π6)=( )
A. 79B. −79C. 29D. −29
7.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为π的扇环，则该圆台的体积为( )
A. 7 33πB. 8 33πC. 163πD. 563π
8.如图，用X，Y，Z三种不同元件连接成系统N，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响.当元件X，Y都正常工作或Z正常工作时，系统N正常工作.已知元件X，Y，Z正常工作的概率分别为0.7，0.8，0.9，则系统N正常工作的概率为( )
A. 0.504B. 0.846
C. 0.902D. 0.956
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式中，正确的是( )
A. sin21°cs39°+cs21°sin39°= 32B. cs215°−sin215°=12
C. (tan10°+1)(tan35°+1)=2D. 1−tan75°1+tan75∘=− 3
10.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件A，“第二次向上的点数是偶数”为事件B，“两次向上的点数之和是8”为事件C，则( )
A. A与B相互独立B. A与C互斥C. P(A+B)=712D. P(BC)=16
11.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，AA1=4，M为BC的中点，点N在棱CC1上，且C1N=3NC，则( )
A. AM⊥BN
B. A1B//平面AMC1
C. 直线MN与平面ACC1A1所成角为π6
D. 三棱锥C−AMN的外接球表面积为5π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数据2，4，a，6，8的平均数为5，则该组数据的方差为______．
13.在△ABC中，AB= 3，AC=2 3，CD=2DB，且AD⋅BC=1，则∠BAC= ______．
14.在△ABC中，cs2A+cs2B−cs2C=1，∠ACB的角平分线交AB于D，CD=2 2，则△ABC面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a，b满足|a|=2，b=(12, 32)，a与b的夹角为π3．
(1)求|a−b|；
(2)若(ka−b)⊥(a+2b)，求k的值．
16.(本小题15分)
为调查学生体能状况，现从某校高一年级参加体能测试的学生中随机抽取100名学生的体能测试成绩，这组数据均在区间[40,100]，其频率分布直方图如图所示．
(1)求m的值；
(2)用组中值估计该校高一学生的平均体能测试成绩；
(3)现用分层抽样的方法从区间[40,50)，[80,90)，[90,100]抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求这2人体能测试成绩在[80,90)的概率．
17.(本小题15分)
已知α，β∈(0,π2)，sin(α+β)=5sin(α−β)．
(1)求tanαtanβ；
(2)若tanβ=13，求sin(2α−β)的值．
18.(本小题17分)
一副三角板按如图所示的方式拼接，将△BCD折起，使得AB⊥CD．
(1)证明：平面ABC⊥平面BCD；
(2)求二面角A−BD−C的余弦值；
(3)设BD，CD的中点分别为M，N，平面AMN与平面ABC的交线为l，求直线l与BD所成角的余弦值．
19.(本小题17分)
在平面四边形ABCD中，AB=2BC，∠BAC=π6，AD=1，CD=2．
(1)若A，B，C，D四点共圆，求AC；
(2)若∠ADC为锐角，且四边形ABCD的面积为 3，求CB⋅CD；
(3)求BD的取值范围．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.A
5.C
6.A
7.A
8.D
9.AC
10.ABC
11.ABD
12.4
13.2π3
14.8
15.(1)因为b=(12, 32)，所以|b|= (12)2+( 32)2=1，
所以a⋅b=2×1×csπ3=1，
所以(a−b)2=a2−2a⋅b+b2=22−2×1+12=3，
所以|a−b|= 3；
(2)因为(ka−b)⊥(a−2b)，所以(ka−b)⋅(a+2b)=0，
即ka2+(2k−1)a⋅b−2b2=0，
所以4k+(2k−1)−2=0，解得k=12，
16.(1)由题意可得10(0.004×2+0.20×2+m+0.40)=1，解得m=0.012；
(2)平均数为45×0.004×10+55×0.020×10+65×0.040×10+75×0.020×10+85×0.012×10+95×0.004×10=67.8，
故该校高一学生的平均体能测试成绩为67.8；
(3)[40,50)，[80,90)，[90,100]的频率分别为0.04，0.12，0.04，故之比为1：3：1，
所以从[40,50)，[80,90)，[90,100]抽取5个人，
所以需要从[40,50)，[80,90)，[90,100]分别抽取的人数为1，3，1，
设[40,50)的1个人为A，[80,90)的3个人为a，b，c，[90,100]的1一个人为B，
因此样本空间为Ω={(Aa),(Ab),(Ac),(AB),(ab),(ac),(aB),(bc),(bB),(cB)}，共有10个，
则2人体能测试成绩在[80,90)的样本点有{(ab),(ac),(bc)}共有3个，
故2人体能测试成绩在[80,90)的概率为310．
17.(1)由sin(α+β)=5sin(α−β)，
得sinαcsβ+csαsinβ=5sinαcsβ−5csαsinβ，
化简得3csαsinβ=2sinαcsβ，
因为α、β都是锐角，所以csα≠0，sinα≠0，
可得3sinβcsβ=2sinαcsα，即3tanβ=2tanα，故tanαtanβ=32．
(2)若tanβ=13，则tanα=32tanβ=12，
由tanβ=13，且β为锐角，
可得sinβ= sin2β= sin2βcs2β+sin2β= tan2β1+tan2β=1 10，csβ= 1−sin2β=3 10，
同理可得sinα=1 5,csα=2 5，
所以sin2α=2sinαcsα=45，cs2α=cs2α−sin2α=35，
所以sin(2α−β)=sin2αcsβ−cs2αsinβ=45×3 10−35×1 10=9 1050．
18.(1)证明：因为CD⊥BC，CD⊥AB，AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABC，
所以CD⊥平面ABC．
因为CD⊂平面BCD，
所以平面ABC⊥平面BCD．
(2)在△BCD中，取BC的中点O，过O作OH⊥BD，垂足为H，连结AH，
因为AB=AC，O为BC的中点，
所以AO⊥BC．
因为平面ABC⊥平面BCD，
平面ABC∩平面BCD=BC，
AO⊂平面ABC，
所以AO⊥平面BCD，
因为BD⊂平面BCD，
所以AO⊥BD，
因为OH⊥BD，OH∩AO=O，OH，AO⊂平面AOH，
所以BD⊥平面AOH，
因为AH⊂平面AOH，
所以BD⊥AH，
所以∠AHO为二面角A−BD−C的平面角，
不妨设BC=2，则AO=1,OH=12
AH= AO2+OH2= 1+(12)2= 52．
在Rt△AOH中，cs∠AHO=OHAH=12 52= 55，
所以二面角A−BD−C的余弦值为 55；
(3)在△BCD中，M，N分别为BD，CD的中点，
所以MN为△BCD的中位线，
所以MN//BC．
因为MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以MN//平面ABC．
因为MN⊂平面AMN，平面AMN∩平面ABC=l，
所以MN//1，
因为MN//BC，
所以I//BC，
所以l与BD所成角为∠CBD，
在Rt△BCD中，∠CBD=π6，
所以cs∠CBD= 32，
所以直线l与BD所成角的余弦值为 32．
19.解：(1)在△ABC中，AB=2BC，∠BAC=π6，
由正弦定理得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC，
即2BCsin∠ACB=BC12，
可得sin∠ACB=1，
所以∠ACB=π2，
∠ABC=π3，
因为A，B，C，D四点共圆，
所以∠ADC=23π，
在△ACD中，AD=1，CD=2，
由余弦定理得AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅cs∠ADC=1+4−2×1×2×(−12)=7，
可得AC= 7；
(2)设BC=x，则AB=2x，AC= 3x，∠ADC=θ，
在△ACD中，由余弦定理可得AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅cs∠ADC，
即3x2=1+4−2×1×2csθ，
整理可得3x2=5−4csθ，
所以x2=5−4csθ3，
所以S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=sinθ+ 32x2=sinθ+ 32×5−4csθ3
=sinθ−2 33csθ+5 36
因为四边形ABCD的面积为 3，
所以sinθ−2 33csθ= 36，可得csθ= 32sinθ−14，
又因为sin2θ+cs2θ=1，θ为锐角，sinθ>0，
所以sin2θ+34sin2θ− 34sinθ+116=1，
整理可得28sin2θ−4 3sinθ−15=0，
可得sinθ= 32，
所以θ=π3，此时x2=5−4×123=1，
在△ACD中，由正弦定理得BCsin∠ACD=ACsin∠ADC，
即1sin∠ACD= 3 32，
所以sin∠ACD=12，
因为AD