2024-2025学年河北省石家庄市辛集市高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省石家庄市辛集市高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=(3−i)，则z的共轭复数z−的模为( )
A. 5B. 2 2C. 2D. 2 5
2.已知向量a=(1,x),b=(4,−x)，则“x=2”是“a⊥b”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形O′A′B′C′，已知O′A′=2，O′C′=B′C′=1，则原四边形OABC的面积为，( )
A. 3 2
B. 3
C. 3 22
D. 32
4.设α，β，γ是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题：
①若m//α，n//α，则m//n
②若m⊥γ，n⊥γ，则m//n
③若m//α，n⊥α，则m⊥n
④若m//n，n//α，则m//α
其中正确命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.一组数据由小到大排列为2，4，5，x，11，14，15，39，41，50，已知该组数据的40%分位数是9.5，则x的值是( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
6.在△ABC中，G为△ABC的重心，M为AC上一点，且满足MC=3AM，则( )
A. GM=13AB+112ACB. GM=−13AB−112AC
C. GM=−13AB+712ACD. GM=13AB−712AC
7.中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中.某瓷器如图1所示，该甁器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高(高为6cm)的圆台组合面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为20cm，底面直径AB=10cm，底面直径CD=20cm，EF=16cm，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为( )
A. 669πcm3B. 1338πcm3C. 650πcm3D. 1300πcm3
8.如图，圆锥PO的底面直径和高均为12，过PO上一点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为( )
A. 12π
B. 24π
C. 36π
D. 72π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于非零复数z1，z2，下列结论正确的是( )
A. 若z1和z2互为共轭复数，则z1z2为实数
B. 若z1为纯虚数，则|z1|2=z12
C. 若|z1|=|z2|，则z1=z2
D. 若|z2+2−i|=1，则|z2|的最大值为 5+1
10.已知向量a，b满足|a|=|b|=1且|b−2a|= 5，则下列结论正确的是( )
A. |a−b|= 2B. |a+b|=2C. =60°D. a⊥b
11.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，下列说法正确的是( )
A. 若A=45°，a= 2，b= 3，则△ABC有两解
B. 若acsB=bcsA，则△ABC为等腰三角形
C. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
D. 若△ABC的外接圆的圆心为O，且2AO=AB+AC，|AO|=|AB|，则向量CA在向量CB上的投影向量为34CB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，完全浸没水中，水面升高4cm，则钢球的半径是 cm．
13.为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处的仰角为30°，从A处向正东方向走210米到地面B处，测得塔顶T处的仰角为60°，若∠AOB=60°，则铁塔OT的高度为______米．
14.如图，圆锥AO的底面圆半径为1，侧面积为3π，一只蚂蚁要从B点沿圆锥侧面爬到AB上的D点，且AD=13AB，则此蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，若AB=2e1−e2，BP=e1−3e2，PC=e1+2e2．
(1)证明：A，B，C三点共线；
(2)若e1=(1,0)，e2=(0,1)，点D(2,1)，B，C，D，P恰好构成平行四边形BCDP，求点P的坐标．
16.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且csC=2a−c2b．
(1)求角B的大小；
(2)若b=3，sinC= 33，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=6，AB=2CD=6，AB//CD，AB⊥AD，F为PD的中点，E为AB的中点．
(1)证明：PE//平面ACF．
(2)证明：AF⊥平面PCD．
(3)求直线AC与平面PCD所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
某高校的入学面试中有4道题目，第1题2分，第2题2分，第3题3分，第4题3分，每道题目答对给满分，答错不给分.小明同学答对第1，2，3，4题的概率分别为12,12,13，13，且每道题目答对与否相互独立．
(1)求小明同学恰好答对1道题目的概率；
(2)若该高校规定学生的面试分数不低于6分则面试成功，求小明同学面试成功的概率．
19.(本小题17分)
为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分(满分100分)，并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品．
(1)求图中a的值，并求综合评分的平均数；
(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；
(3)已知落在[50,60)的平均综合评分是54，方差是3，落在[60,70)的平均综合评分为63，方差是3，求落在[50,70)的总平均综合评分z−和总方差s2．
参考答案
1.A
2.A
3.A
4.B
5.C
6.B
7.B
8.C
9.AD
10.AD
11.ACD
12.3
13.30 21
14. 13
15.解：(1)证明：因为已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，
又因为BC=BP+PC=2e1−e2，所以AB=BC．
所以A，B，C三点共线．
(2)设点P的坐标为(x,y)，则PD=(2−x,1−y)，BC=BP+PC=2e1−e2=(2,−1)，
因为B，C，D，P恰好构成平行四边形BCDP.所以PD=BC，
即2−x=21−y=−1，解得x=0y=2，
所以点P的坐标为(0,2)．
16.解：(1)在△ABC中，csC=2a−c2b，
∴由正弦定理得csC=2sinA−sinC2sinB，∴2sinA=sinC+2sinBcsC，
又sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，∴sinC=2csBsinC，
∵C∈(0,π)，∴sinC≠0，∴csB=12，
∵B∈(0,π)，∴B=π3；
(2)在△ABC中，B=π3，b=3，sinC= 33，
∴由正弦定理得bsinB=csinC，∴c=bsinCsinB=2，
∴由余弦定理得csB=a2+4−94a=12，解得a=1+ 6(负值舍去)，
∴△ABC的面积为12acsinB=12×(1+ 6)×2× 32= 3+3 22．
17.(1)证明：因为AB=2CD=6，AB/​/CD，AB⊥AD，F为PD的中点，E为AB的中点，
连接EC，ED，设ED∩AC=O，连接OF，
可得四边形ADCE为矩形，
可得O为DE的中点，所以OF//PE，
又因为PE⊄平面ACE，OF⊂平面ACE，
所以PE/​/平面ACE；
(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以AD⊥CD，
易证得CD⊥AD，AD∩PA=A，
所以CD⊥平面PAD，
因为AF⊂平面PAD，
所以AF⊥CD，
又因为PA=AD，F为PD的中点，
所以AF⊥PD，
又因为PD∩CD=D，
所以AF⊥平面PCD；
(3)解：PA=AD=6，AB=2CD=6，
可得AC= AD2+CD2= 36+9=3 5，AF=12PD=12 PA2+AD2=12 36+36=3 2，
由(2)可得AF⊥平面PCD，
所以∠ACF为直线AC与平面PCD所成的角，
所以sin∠ACF=AFAC=3 23 5= 105．
所以直线AC与平面PCD所成角的正弦值为 105．
18.解：(1)设事件A=“小明同学恰好答对1道题目”，
则小明同学恰好答对1道题目的概率P(A)=12×12×23×23+12×12×23×23+12×12×13×23+12×12×23×13=13．
(2)设事件B=“小明同学面试成功”，
若小明同学恰好答对2道题目面试成功，则必定答对了第3题和第4题，
则小明同学恰好答对2道题目面试成功的概率为P1=12×12×13×13=136，
小明同学恰好答对3道题目的概率为P2=12×12×13×13+12×12×13×13+12×12×23×13+12×12×13×23=16，
小明同学答对4道题目的概率为P3=12×12×13×13=136，
所以小明同学面试成功的概率P(B)=P1+P2+P3=29．
19.解：(1)由频率分布直方图可得：
(0.005+0.010+0.025+a+0.020)×10=1，
解得a=0.040，
则综合评分的平均数为
x−=10×(55×0.005+65×0.010+75×0.025
+85×0.040+95×0.020)=81；
(2)由题意，抽取5个产品，
其中一等品有3个，非一等品有2个，
一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E，
从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间Ω={ab,ac,aD,aE,bc,bD,bE,cD,cE,DE}，共10个样本点，
记事件A=“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”，
则A={aD,aE,bD,bE,cD,cE,DE}，共7个样本点，
所以所求的概率为P=710；
(3)z−=13×54+23×63=60，
s2=13[3+(54−60)2]+23[3+(63−60)2]=21．