2025年新疆维吾尔族自治区中考数学试题（原卷版+解析版）

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3．考生不得使用计算器；必须在答题卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：的相反数是2，
故选D．
2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
3. 计算：（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查同分母分式的减法运算．根据分式减法法则，分母相同时，分子直接相减，分母保持不变，再约分计算即可．
【详解】解：
故选：A．
4. 如图，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质．直接根据平行线的性质作答即可．
【详解】解：∵，，
∴
故选：B．
5. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察一次函数解析式，确定出k与b的符号，利用一次函数图象及性质判断即可．
【详解】解：∵一次函数y=x+1，其中k=1>0，b=1>0，
∴图象过一、二、三象限，
故选C．
【点睛】此题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
6. 若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
解得：，
故选：B．
7. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可.
【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的宽为，
∴
故选：A.
8. 如图，是的直径，是弦，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理．
先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理即可得到．
【详解】解：连接．
∵是的直径，是弦，，
∴，
∴，
故选：C．
9. 一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. 两车出发后相遇
B. A，B两地相距
C. 快车比慢车早到达目的地
D. 快车的速度为，慢车的速度为
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据时，，时，可判断A、B；根据函数图象可得快车出发到达目的地，慢车出发到达目的地，据此根据速度等于路程除以时间求出两车的速度，即可判断C、D．
【详解】解：∵时，，
∴A，B两地相距，故B结论正确，不符合题意；
∵时，，
∴两车出发后相遇，故A结论正确，不符合题意；
由函数图象可得快车出发到达目的地，慢车出发到达目的地，
∴快车比慢车早到达目的地，故C结论错误，符合题意；
，，
∴快车的速度为，慢车的速度为，故D结论正确，不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
10. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法解答即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
11. 不透明袋子中有3个红球、2个白球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求概率，根据概率公式直接进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：；
故答案为：．
12. 不等式组的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式的解集为：，
故答案为：．
13. 如图，在中，平分线交于点E，若，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，等角对等边，根据平行四边形的性质，得到，得到，角平分线的定义，得到，进而得到，进而得到即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵的平分线交于点E，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交x轴于点C，连接，则的面积是______．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，求出的值，设，根据，利用勾股定理求出的值，进而求出的长，进而求出的面积即可．
【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点，
∴，
∴，
∴，
设，
则：，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积是；
故答案为：20．
15. 对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则______．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，；
当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，，当时，，
∴，，
∴
，
∵不含项，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∵均为的整数幂，为偶数，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：15．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，平方差公式和单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算算术平方根和零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案；
（2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. （1）解方程组：；
（2）如图，，求证：．
【答案】
（1）
（2）证明过程见详解
【解析】
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，全等三角形的判定和性质，掌握加减消元法，全等三角形的判定和性质是关键．
（1）运用加减消元法求解即可；
（2）根据题意证明，即可求解．
【详解】解：（1）；
得，，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
∴原方程组的解为；
（2）证明：∵，
∴，
∴．
18. 根据国家卫生健康委等16个部门联合印发的《“体重管理年”活动实施方案》有关要求，2025年将持续推进“体重管理年”活动．目前，国际上常用身体质量指数（）来衡量胖瘦程度，其计算公式是，数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖； 为肥胖．某单位随机抽取50名员工，测得他们的身高、体重数据，将所得数据进行了整理、描述．
【整理数据】
根据样本的数据分成A，B，C，D四个组进行整理，如下表：
【描述数据】根据数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
【分析数据】
（1）填空：______，______；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是______°；
（4）该单位总人数为300人，请估计其中体重偏胖（）的人数是多少？
【答案】（1）20；10
（2）见解析 （3）72
（4）60人
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图信息关联，样本估计总体等知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）先由抽取的50名员工乘以的占比即可求解，再由50减去的人数即可求解；
（2）根据（1）中求出的数据即可补全条形统计图；
（3）由乘以的占比即可求解圆心角；
（4）用样本估计总体的方法即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
故答案为：20；10；
【小问2详解】
解：补全条形统计图如图：
【小问3详解】
解：，
故答案为：72；
小问4详解】
解：（人），
答：其中体重偏胖（）的人数是60人．
19. 如图，在四边形中，，是对角线．
（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）；
（2）在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）分别以B、D为圆心，以大于长一半画弧，二者交于M、N，连接分别与与边分别交于点E，F，则点E和点F即为所求；
（2）由线段垂直平分线的定义打得到，，，再由等边对等角和平行线的性质可推出，则可证明，得到，据此可证明结论．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
证明：如图所示，
∵垂直平分，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
20. 某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：
请你根据以上实验过程和测量数据，计算校徽的高度的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确找到直角三角形进行解直角三角形是解题的关键．
由题意得，四边形，四边形为矩形，则，，然后分别解求出，解求出，再由即可求解．
【详解】解：由题意得，四边形，四边形为矩形，
∴，，
∵在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
答：校徽的高度为．
21. 天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
【答案】（1）
（2）能安全通过，见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式；
（2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可．
【小问1详解】
解：由题意得，顶点为，即，
设抛物线的解析式为：
代入点得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：能安全通过，理由如下：
如图，
由题意得：，
将代入，
则，
∵，
∴能安全通过．
22. 如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，证明，得到，即可证明结论；
（2）证明，求出，得到，即可求出的长．
【小问1详解】
证明：连接，
∵于点F，
∴,
∵
∴，
∵
∴，
∴，
即
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
∵为的直径，
∴
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴
解得，
∵
∴
解得，
∴
∴，
∴
【点睛】此题考查了解直角三角形、切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握切线的判定、相似三角形的判定和性质是关键．
23. 如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点．
（1）当点D和点N分别是和的中点时，求a的值；
（2）当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值；
（3）当时，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）勾股定理求出的长，中点求出的长，的长，根据，求出的值即可；
（2）设，得到，，进而得到，分和两种情况进行讨论，列出比例式进行求解即可；
（3）作于点，连接，易得为等腰直角三角形，得到，，进而得到四边形为平行四边形，得到，将绕点旋转90度得到，连接，证明，得到，进而得到，得到，勾股定理求出的长即可．
【小问1详解】
解：∵等腰直角三角形中，，，，，
∴，
∵点D和点N分别是和的中点，
∴，，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
设，则：，，
∵等腰直角三角形中，，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
当点C，D，N为顶点的三角形与相似时，分两种情况：
①当时，则：，
∴，
此方程无解，不符合题意；
②当时，则：，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）或；
∴；
综上：；
【小问3详解】
∵，，
∴，
作于点，连接，
则：，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
又，
∴四边形为平行四边形，
∴，
将绕点旋转90度得到，连接，则：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点在线段上时，的值最小为的长，
在中，，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，求线段和的最小值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键．
组别
A
B
C
D
BMI
人数
8
m
n
12
实验主题
测量校徽的高度
工具准备
测角仪，卷尺等
实验过程
1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）；
2．测量A，D两点和B，D两点间的距离；
3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角；
4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离；
5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角．
实验图示
测量数据
1．
2．
3．
4．
5．
备注
1．图上所有点均在同一平面内；
2．均与地面垂直．
参考数据：，，；
，，．