福建省厦门第一中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试卷(开学考)试题（含答案）

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满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则集合与集合的关系是（ ）
A. B. C. D.
2. 设等差数列的前n项和为，且公差不为0，若，，，成等比数列，，则（ ）
A. 7B. 8C. 10D. 123
3. 已知偶函数的定义域[a﹣1，2]，则函数的值域为（ ）
A. （﹣∞，1）B. （﹣∞，1]C. [﹣3，1]D. [1，+∞）
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，四条侧棱的长均为，则该四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数是偶函数，将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．若曲线的两个相邻对称中心之间的距离为，则（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称
D. 若，则在区间上的最大值为
8. 已知函数、的定义域均为，函数的图象关于点对称，函数gx+1的图象关于y轴对称，，，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则（ ）
A. 两人均获得满分概率
B. 两人至少一人获得满分的概率
C. 两人恰好只有甲获得满分的概率
D. 两人至多一人获得满分的概率
10. 已知函数，则（ ）
A. 函数在时，取得极小值
B. 对于，恒成立
C. 若，则
D. 若，对于恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1
11. 已知曲线C是平面内到定点和定直线l：的距离之和等于4的点的轨迹，若在曲线C上，则（ ）
A. 曲线C关于x轴对称
B. 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过
C. 曲线C及其内部共包含了19个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
D. 点到点和点距离之和最小为
三、填空题：本题共3小题， 每小题5分，共15分．
12. 展开式中的系数为__________.
13. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，且|AF|＝5，O为坐标原点，则
的面积为___________.
14. 已知函数在上单调，，则的可能取值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若，点D是线段AC上的一点，且，．求的周长．
16. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．
（1）若为线段中点，求证：平面．
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
17. 已知偶函数和奇函数均为幂函数，，且.
（1）若，证明：；
（2）若，，且，求的取值范围；
（3）若，，，证明：在区间单调递增.
18. 已知椭圆：的离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，的面积的最大值为.
（1）求E的方程；
（2）设O为原点，点N在直线上，N，P分别在x轴两侧，且与的面积相等.
（i）求证：直线与直线斜率之积为定值；
（ⅱ）是否存在点P使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
19. 甲和乙两个箱子中各装有N个大小、质地均相同的小球，并且各箱中是红球，是白球.
（1）当时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y，求，，，；
（2）当时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设表示“第k次取出的是红球”，比较与的大小；
（3）由概率学知识可知，当总量N足够多而抽出个体足够少时，超几何分布近似为二项分布.现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即)的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：)