四川省2024_2025学年高二数学上学期期中调研测试含解析

这是一份四川省2024_2025学年高二数学上学期期中调研测试含解析，文件包含20252026学年广东佛山禅城区佛山市第二中学高三下学期开学考试数学试卷金太阳开学考试卷版pdf、20252026学年广东佛山禅城区佛山市第二中学高三下学期开学考试数学试卷金太阳开学考答案解析版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共6页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1，考查范围：必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章和第二章.
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A B. C. D.
2. 直线与之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
3. 圆与圆的公切线条数为（ ）
A B. C. D.
4. 过点作圆的切线，则切线的斜率为（ ）
A. 或B. C. 或D.
5. 若连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次抛掷骰子的点数之积为奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 在正方体中，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，是棱长为1的正方体内部（含表面）一动点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在直三棱柱中，为腰长为的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，为平面内一动点，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在空间直角坐标系中，下列叙述正确是（ ）
A 点与点关于轴对称
B. 点与点关于轴对称
C. 点与点关于平面对称
D. 坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分
10. 已知直线在轴上的截距大于0，直线与轴交于点，则（ ）
A. B. 恒过定点2,1
C. 点到直线的距离可能为3D. 不存在使得
11. 已知平面内一动点到坐标原点的距离为1，以为圆心、1为半径的动圆与圆交于两点，则（ ）
A. 存在唯一的圆，使得两点重合B.
C. 若存在，则其不可能为等边三角形D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知空间向量满足，则______．
13. 已知圆过三点，则圆的面积为______．
14. 在正三棱锥中，平面，点在底面内的投影为点是平面内以为圆心、1为半径的圆上一动点，则异面直线与所成角的余弦值最大为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知三点，点在圆上运动．
（1）若直线与圆有唯一公共点，求；
（2）求的最小值．
16. 已知在中，，分别在线段上，且．
（1）求边上的高所在直线的斜截式方程；
（2）若的面积为面积的，求直线的一般式方程.
17. 如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）．
（1）以为基底表示；
（2）求的最小值．
18. 已知在空间直角坐标系中，点．
（1）证明：不共面；
（2）求点到平面距离；
（3）设为平面上的一个动点，且，求的夹角取得最小值时，的值．
19. 现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”．若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”．已知圆．
（1）若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状；
（2）已知圆，且均为圆“”的“牵连点”．
（ⅰ）求直线的方程；
（ⅱ）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得（和分别为直线和的斜率）恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．四川省2024-2025学年上学期期中调研测试
高二数学试卷
试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1，考查范围：必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章和第二章.
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线的方程可得出其倾斜角.
【详解】因为为常数，故直线的倾斜角为.
故选：A.
2. 直线与之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两平行直线的距离公式计算即可求解.
【详解】因为直线和平行，
由两条平行直线间的距离公式可得．
故选：D．
3. 圆与圆的公切线条数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两圆的位置关系可判断两圆公切线的条数.
【详解】圆，则圆心，半径，
圆，则圆心，半径，
则，由于，即，
故圆与圆相交，其公切线条数为．
故选 ：C．
4. 过点作圆的切线，则切线的斜率为（ ）
A. 或B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出直线的方程，由点到直线距离得到方程，求出或．
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
易知过点的切线斜率存在，设的方程为，
即，则，
解得或．
故选：A．
5. 若连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次抛掷骰子的点数之积为奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用列举法写出满足题意的样本点，结合古典概型的概率公式计算即可求解.
【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件总数为个．
其中事件“两次抛掷骰子的点数之积为奇数”包含的样本点有：
，共9个，
故．
故选：B．
6. 在正方体中，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设正方体的棱长为1，利用向量法求平面与平面夹角的余弦值.
【详解】两两垂直，故以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，取的中点为，连接，
则， A1,0,0，，
则，
又因为，，，平面，故平面，
所以为平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
则，所以
为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
故选：D．
7. 如图，是棱长为1的正方体内部（含表面）一动点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出向量坐标，然后根据模的坐标求法求出最值即可.
【详解】以A为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，
则，
则.
故，当时取到最大值．
故选：C．
8. 如图，在直三棱柱中，为腰长为的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，为平面内一动点，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设关于平面的对称点为，利用对称点、到平面距离相等，得出关于平面的对称点为，利用对称点求出最短路径即可
【详解】由题意，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设关于平面的对称点为，
则，
设平面的法向量，
则即
令，则，
所以为平面的一个法向量，
所以与到平面的距离，
即①，又，所以②，
所以由①②得，又由可得，所以，
所以，
当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为．
故选：A．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在空间直角坐标系中，下列叙述正确的是（ ）
A. 点与点关于轴对称
B. 点与点关于轴对称
C. 点与点关于平面对称
D. 坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分
【答案】AC
【解析】
【分析】ABC选项，根据空间直角坐标系内点坐标特征得到AC正确，B错误；D选项，坐标轴确定的平面把空间分为8个部分.
【详解】A选项，点与点关于轴对称，A正确；
B选项，点关于轴的对称点是，B错误；
C选项，点与点关于平面对称，C正确；
D选项，坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分，D错误．
故选：AC．
10. 已知直线在轴上的截距大于0，直线与轴交于点，则（ ）
A. B. 恒过定点2,1
C. 点到直线的距离可能为3D. 不存在使得
【答案】BD
【解析】
【分析】运用截距概念求解即可判断A、C；运用消去参数判断B；根据恒过定点判断D
【详解】对于A，把代入，得，所以或，A错误；
对于B，将直线改写为，
所以，所以，所以恒过定点，B正确；
对于C，对于，令可得，易得当时，
点到直线的距离取得最大值，C错误；
对于D，因为直线恒过的定点也在直线上，即至少有一个交点，D正确．
故选：BD．
11. 已知平面内一动点到坐标原点的距离为1，以为圆心、1为半径的动圆与圆交于两点，则（ ）
A. 存在唯一的圆，使得两点重合B.
C. 若存在，则其不可能为等边三角形D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由给定条件可得坐标原点与点之一重合，利用动圆与圆的位置关系判断A；由圆上的点与定点距离最值判断B；求出最大值判断C；由余弦定理求解判断D.
【详解】依题意，坐标原点与点之一重合，不妨设坐标原点为，圆的圆心，半径，
对于A，当动圆与圆内切或外切时，均有两点重合，A错误；
对于B，点在以为圆心、1为半径的圆上运动，，，B正确；
对于C，，要使为等边三角形，则，而，
当且仅当点共线时取等号，则不可能为等边三角形，C正确；
对于D，要使最大，即最大，只需取最大值2，
此时，，D正确．
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知空间向量满足，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解.
【详解】因为，
故，
解得．
故答案为：4
13. 已知圆过三点，则圆的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】设圆的一般方程，将3点的坐标代入方程，利用待定系数法求解圆的方程，结合圆的面积公式计算即可求解.
【详解】设圆方程为，
代入三点坐标可得解得
所以圆的方程为，
其标准方程为，
故其面积．
故答案为：
14. 在正三棱锥中，平面，点在底面内的投影为点是平面内以为圆心、1为半径的圆上一动点，则异面直线与所成角的余弦值最大为______.
【答案】
【解析】
【分析】过点作的平行线交于点，以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，设，由异面直线所成角的向量公式结合三角函数的性质即可得出答案.
【详解】正三棱锥中，因为平面，又平面，
因此，故，
故，
则，延长交于点，
过点作的平行线交于点，易知两两垂直，
以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系，
则，设，
则，，
设直线与所成的角为，
则，
当或时，取最大值．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知三点，点在圆上运动．
（1）若直线与圆有唯一公共点，求；
（2）求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出圆心和半径，根据题意得到直线与圆相切，且唯一公共点为点，由勾股定理求出切线长；
（2）设Px,y，且，表达出，而，故当时，取得最小值．
【小问1详解】
由题意知，圆的圆心为，半径，
故，
由题意可得直线与圆相切，且唯一公共点为点，
在中，由勾股定理可得．
【小问2详解】
设Px,y，且，
故
，
而，当时，取得最小值．
16. 已知在中，，分别在线段上，且．
（1）求边上的高所在直线的斜截式方程；
（2）若的面积为面积的，求直线的一般式方程.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由的斜率和垂直关系可得边上的高所在直线的斜率，接着由点斜式即可求出所求直线方程，再转化成斜截式即可.
（2）先由题意得，即为的中点，接着由中点坐标公式、直线的斜率和平行关系即可由点斜式求出直线的方程，再转化成一般式即可.
【小问1详解】
由题直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的方程为，
化为斜截式为.
【小问2详解】
因为的面积为面积的分别在线段上，且，
所以为的中点，即，
又直线的斜率为，
所以直线的斜率也为，
所以直线的方程为，即，
所以直线的一般式方程为.
17. 如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）．
（1）以为基底表示；
（2）求的最小值．
【答案】（1）
（2）-1
【解析】
【分析】（1）利用空间向量基本定理得到，；
（2）设，得到，求出，当时，取得最小值.
【小问1详解】
由题意可得
，
所以
；
【小问2详解】
设，
因为
，
所以
，
故当时，取得最小值，最小值为．
18. 已知在空间直角坐标系中，点．
（1）证明：不共面；
（2）求点到平面的距离；
（3）设为平面上的一个动点，且，求的夹角取得最小值时，的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）用反正法证明即可；
（2）求出和平面的一个法向量，利用空间向量求解即可；
（3）求出和平面的一个法向量，利用空间向量的夹角公式求解余弦值，进而可知正弦值，利用向量的模长公式求解即可.
【小问1详解】
由题意假设存在，使得成立，
则，即，
可得此方程组无解，所以假设不成立，故不共面．
【小问2详解】
由题意可得，
设平面的法向量为n=x,y,z，所以
令，则，故平面的一个法向量为，
故点到平面距离．
【小问3详解】
设的夹角为，则．
所以，
所以
．
19. 现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”．若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”．已知圆．
（1）若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状；
（2）已知圆，且均为圆“”的“牵连点”．
（ⅰ）求直线的方程；
（ⅱ）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得（和分别为直线和的斜率）恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）轨迹方程为，点的轨迹是以为圆心、为半径的圆．
（2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，
【解析】
【分析】（1）由“上进点”的定义知C是圆的“上进点”，则，（其中是圆的半径），由此得点的轨迹.
（2）（ⅰ）由“牵连点”的定义知，若均为圆“”的“牵连点”，则均同时为圆与圆的“上进点”，所以应为圆、圆的“上进点”所成的两轨迹（圆）的交点，由此可求直线的方程；
（ⅱ）先求出圆的方程，设，假设轴上存在点，使得. 则，联立结合韦达定理可求解.
【小问1详解】
因为点为圆的“上进点”，所以，即，
所以轨迹方程为，
所以点的轨迹是以为圆心、为半径的圆．
【小问2详解】
（ⅰ）∵为圆“”的“牵连点”，∴同时为圆与圆的“上进点”，
由为圆的“上进点”，得，所以，
即点在圆上，
由为圆的“上进点”，得点在圆上；
∴点是圆和的交点．
因为均为圆“”的“牵连点”，
所以直线即为圆和的公共弦所在直线，
两圆方程相减可得，
故直线的方程为．
（ⅱ）设的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为3．
直线的方程为，与联立得的中点坐标为，
点到直线的距离为，则，
所以圆的方程为．
假设轴上存在点满足题意，设．
则，即，整理得．
将，代入上式可得，
整理得①，
联立可得，
所以，代入（1）并整理得，
此式对任意的都成立，所以.
故轴上存在点，使得恒成立.